填空题的解题方法与技巧
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第2讲填空题的解题方法与技巧主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．
解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．
例1在等差数列{a n}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为________．
变式训练1设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.
例2已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、
c，且满足(sin A－sin C)(a＋c)
b
＝sin A－sin B，则C＝_______.
变式训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、
b、c，如果a、b、c成等差数列，则cos A＋cos C
1＋cos A cos C
＝________.
例3如图所示，在△ABC中,AO是BC边上
的中线，K 为AO 上一点，且OA →＝2AK →,
过点K 的直线分别交直线AB 、AC 于不同
的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n
＝________.
变式训练3设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为______．
例4已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14
的等差数列，则|m －n |的值等于________．变式训练4已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x ),且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
例5函数y ＝f (x )的图象如图所示，其定义
域为[－4,4]，那么不等式f (x )sin x
≤0的解集为__________________________________．
变式训练5不等式（|x |-）·sin x <0，x ∈[-π,2π］的解集
为.
例6设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0
3x＋4，x<0
，若互不相等的实
数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
变式训练6已知关于x的不等式ax－1
x＋1
<0的解集是(－∞,－
1)∪(－1
2
，＋∞)，则a的值为________．
例7函数f(x)＝2sin(x＋
π
4
)＋2x2＋x
2x2＋cos x
的最大值为M，最小值
为m，则M＋m＝________.
变式训练7已知函数f(x)＝sin x cos x＋sin x
cos x
＋3，若f(lg a)
＝4，则f(lg 1
a
)的值等于________．
例8已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是__________．
变式训练8若抛物线y＝－x2＋ax－2总在直线y＝3x－1的下方，则实数a的取值范围是________．
知能提升演练
1．设全集U＝R，A＝{x|x－1
x＋m
>0}，∁U A＝[－1，－n]，则
m2＋n2＝________.
2．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
3．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则
cos〈a，b〉＝________.
5．设等差数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为S n与T n，若S n T n
＝
2n
3n＋1
，则
a n
b n
＝________.
6．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝____.
7．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为{a n }*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.
8．直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14
x ＋1的交点在第一象限，则k 的取值范围是________．
9.已知四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长都为1，则x 的取值范围是________．
10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,
13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．
11．设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的x 1∈D 存在
唯一的x 2∈D ，使f (x 1)＋f (x 2)2
＝C (C 为常数)成立，则称函数
f(x)在D上的均值为C.下列五个函数：①y＝4sin x；②y＝x3；③y＝lg x；④y＝2x；⑤y＝2x－1，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是_______．
12．圆x2＋y2＝1的任意一条切线l与圆x2＋y2＝4相交于
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则x1x2＋y1y2
＝________.
13．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和S n满足2S n＝2pa2n＋a n－p(p∈R)，则{a n}的通项公式为________．
14．已知f(x)＝x＋log2
x
9－x
，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)
的值为________．
15．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝5∶6∶8，那么
此三角形最大角的余弦值是_________．
16．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝|log5x|的解的个数为________．。
