高三数学一轮复习必备精品28：数列概念及等差数列 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢

[解析] (1)数列的共同特征是数列中的数按照一定顺 序排列，故相同的一组数按不同顺序排列时表示不同的数
础 列．
(2)数列定义中只规定数列中的数要按照一定顺序排 列，故数列中的数可以重复，－5，－5，－5，…表示常 数列．
(3) 数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 ， 其 定 义 域 是 正 整 数 集 N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，值域是自变量顺 次从小到大依次取值时的对应值．
(1)若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝2an1－1，且 a2＝1，则可以写出数列{an}的第 1000 项．( )
(2)等差数列与等比数列都是递推数列．( ) (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m， 且 a1＝1，那么 a10＝10.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
式叫作这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)， 且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－
1(或前几项)间的关系可以用__一__个__公 ___式____来表示，那么
这个公式就叫作这个数列的递推公式．
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对应的一列函数值．( )
(4)数列的项数是有限的．( )
(5) 数 列 是 特 殊 的 函 数 ， 数 列 也 有 单 调 性 、 奇 偶
性．( )
[答案] 1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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第28讲 数列的概念与简单表示法
•双
向 固 基
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第28讲 数列的概念与简单表示法

高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理 数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. 3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则 4、等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n n a b =5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

高三数学一轮复习必备系列精品——数列（2020-2021届）第九章 数列1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n 项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．第1课时 数列的概念1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+--n n n⑵ a n ＝)673(212+-n n（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+-=--+=-++++++=n n n n n a n⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++,,26,215,204 +++ ∴4)1(1222)1(111++-++=-++=n n n n n a变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n ] ② a n ＝n)(11-+③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解：D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅-)1(1)2(321n n n⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．解：,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n≥2)解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21-n ．(3)∵nn a a n n 11-=-∴a n ＝⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅--变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．解：方法一：由a n ＋1＝22+n n a a 得21111=-+n n a a ，∴{na 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列．∴na 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a nn 21-=-得n n a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1 (1)． 解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得： S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n ＝3×2n －1∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x2＋…＋a n x n∴)('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n×2n )－(1＋2＋…＋n) ＝3[n×2n ＋1－(2＋…＋2n )]－2)1(+n n＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋61．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）． 第2课时 等差数列1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）． 2．等差数列的通项公式： ⑴ a n ＝a 1＋ ×d ⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ． 5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是： ⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q∈R) ⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例1. 在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15， 又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 解：∵d＝a 6－a 5＝－5， ∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72)(75104-=+=+d a a a例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1．⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式． 解：∵ ⑴ a n ＝2a －12-n a a (n≥2)∴ b n ＝)(111112a a a a a a a aa n n n n -=-=---- (n≥2)∴ b n －b n －1＝aa a a a a a n n n 11)(111=------ (n≥2)∴ 数列{b n }是公差为a1的等差数列．⑵ ∵ b 1＝aa -11＝a1故由⑴得：b n ＝a1＋(n －1)×a1＝an即：aa n -1＝an 得：a n ＝a(1＋n1)变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈=，且11=a ， （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和 解：1）1111333,13n n n na a a n n n a nb a a b ++-++===∴-=，即 {}n a 为等差数列。

高三数学知识点归纳数列高三数学知识点归纳 - 数列数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

在高三数学中，数列是非常重要的知识点之一。

本文将对高中数学中涉及的数列知识点进行归纳和总结。

一、数列的概念和性质数列由一系列按照一定规律排列的数字组成，可以用数学公式表示。

数列中的每一个数字称为数列的项，通常用字母a表示。

例如，数列 {1, 2, 3, 4, 5} 可以表示为 a₁, a₂, a₃, a₄, a₅。

根据数列中的项之间的规律，数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。

等差数列是指数列中每两个相邻项之间的差值都相等，常用的表示方式是 a₁, a₁+ d, a₁+2d, a₁+3d, ...；等比数列是指数列中每两个相邻项之间的比值都相等，常用的表示方式是 a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ...。

其中，a₁是首项，d是公差（等差数列）或公比（等比数列），r是公比。

数列的性质包括有限项数、通项公式、递推公式等。

有限项数是指数列中项的个数是有限的，可以通过计算得到。

通项公式是指通过一个公式可以直接计算数列中任意一项的值。

递推公式是指通过计算数列中前一项或前几项的值可以得到数列中下一项的值。

二、等差数列1. 基本概念与性质等差数列是指数列中每两个相邻项之间的差值都相等。

等差数列的性质：公差为d的等差数列的第n项可以表示为 an = a₁ + (n-1)d。

2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式：前n项和Sn = (a₁ + an) * n / 2 = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2。

三、等比数列1. 基本概念与性质等比数列是指数列中每两个相邻项之间的比值都相等。

等比数列的性质：公比为r的等比数列的第n项可以表示为 an = a₁ *r^(n-1)。

2. 等比数列的求和公式等比数列的求和公式：前n项和Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)，当|r| < 1 时，可进一步得到Sn = a₁ / (1 - r)。