高等数学(上)5_3

x
（1）椭球锥面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2
用平行于xoy面的平面
z=t载此曲面，得平面
o
z=t上的椭圆 .
x2 (at)2
y2 (bt)2
1
z y
一、椭球面
（2）椭球面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
6、 xoy 面上的双曲线x2 y2 1, y ； 4
7、 yoz 面 上的直线 z y a, z ；
8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面 面平行的平面；
这样单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动大小位置都改变而产生的这个椭圆在变动中xoy保持所在的平面与面平行且两对顶点分别沿着两个定双曲线2与3滑动单叶双曲面上一页下一页直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两族直母线含两族直母线例如储水塔电视塔等建筑都有用这种结构的
8.8 二次曲面
一、椭球面 二、抛物面 三、双曲面 四、二次锥面 五、空间区域简图
y2 b2
1
z 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y2 z2 y z y z
b2
c2
( b
)( cb
)0 c
平面 x a的截痕是

；
； ； ；
3 2 6、函数 f ( x ) = x − x + 1 的极大点是
′ 7、设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)……(x − 2006) ，则 f (1) =
x 8、曲线 y = xe 的拐点是
； ； ；
9、
∫
2
0
x − 1dx
=
� � � � � � � � � � a = i + 3 j − 2 k , b = i − j + λ k 10、设 ，且 a ⊥ b ，则 λ =
；
⎧ 2x f ( x) = ⎨ ⎩a + x 2、设函数
x<0 x ≥ 0 在点 x = 0 连续，则 a =
； ；
4 3、曲线 y = x − 5 在（-1，-4）处的切线方程是
f ( x )dx = x 4、已知 ∫
1 x lim(1 − ) 2 x = 5、 x →∞
3
+C
，则 f ( x ) =
（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导
9．设函数 f ( x ) 在 ( −∞, ∞) 上连续，且 f (0) = 0 ， f ′(0) 存在，则函数 （A）在 x = 0 处左极限不存在 （B）有跳跃间断点 x = 0 （C）在 x = 0 处右极限不存在 （D）有可去间断点 x = 0
ln cos x dx 2 ∫ 3. cos x
4.
∫
x 2 dx
1 − x2
三、求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） ⎧ e −2 x , x≤o ⎪ 2 f ( x) = ⎨ x 1 , x >0 ⎪ 2 ∫ f (t )dt ⎩1 + x

（2）记 f ( x) e x2 x , x 0,2 , 则 f ( x) e x2 x 2x 1 ,
令 f ( x) 0, 得唯一驻点 x 1 ,
2
又
f
(
1
)
e
1 4
,
f (0) 1, f (2) e 2 ,
2
1
所以 m e 4 , M e 2
1
e 4 2 0
y gx
推论1 若 f x gx, x a, b,
y
则
b
a
f xdx
b
a
g
x
dx
a b.
推论 2
b
a
f
xdx
b
a
f xdx
(a b).
性质6 (估值不等式)
y f x
O xa
xbx
设 M max f x, m min f x, 则
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
mb
a
b
a
f
xdx
加性
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
b
a
f ( x)dx
c
a
c
f ( x)dx b
f ( x)dx
c
a
b
f ( x)dx c
f ( x)dx
1
性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
性质5
若 f x 0, x a,b,
则
b
a
f
xdx
0
a b.
M b
a
a b.
如

title高等数学（五）(国防科技大学)中国大学mooc答案100分最新版content第一周第一讲对弧长的曲线积分的概念与计算1、设有点和，为线段组成的闭曲线，则曲线积分的值为( )．答案:2、设为曲线段，则的值为( )．答案:3、设半圆形状的曲线在处的密度为，则曲线关于轴的转动惯量为( )．答案:4、设是圆周在第一象限内的部分，则的值为( )．答案: 55、设为星形线，则的值为 ( )．答案:6、空间曲线上从点到点的弧长为( )．答案: 57、设为圆周，则的值为 ( )．答案:8、设曲线为球面与平面的交线，则的值为( )．答案:9、若被积函数，则表示曲线的弧长.答案: 正确10、答案: 错误11、对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 正确12、若被积函数，则关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线型构件的质量.答案: 正确13、如果曲线的方程为，则.答案: 错误14、如果曲线的方程为，则.答案: 正确15、设曲线由两段曲线组成，若函数在曲线上的积分存在，则有.答案: 正确第一周第二讲对坐标的曲线积分的概念与计算1、设为由到的直线段，则( )．答案:2、设为圆周上对应从0到的一段弧，则( )．答案: 03、为圆周(方向取逆时针)，则( )．答案:4、设为从点到点的直线段，则（）．答案: 135、设是由直线所围成的按逆时针绕行的矩形回路，则 ( )．答案: -86、设为平面内直线上的一段，则( )．答案: 07、设为上从到的一段弧，则( )．答案:8、设C为依逆时针方向沿椭圆一周的路径，则=( )．答案:9、设为从点到点的一直线段，则( )．答案: 1110、为先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线，则( )．答案:11、曲线上从点到点的一段弧，则( )．答案:12、第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 错误13、当改变积分曲线方向时，第二类型曲线积分将改变符号.答案: 正确14、设是有向曲线弧, 是与方向相反的有向曲线弧，则.答案: 正确15、设由和两段光滑曲线组成，则有.答案: 错误16、如果曲线的方程为起点对应, 终点对应，则答案: 正确17、答案: 错误18、在对坐标的曲线积分定义中，定义，其中，且式中极限与积分曲线的分法和点的取法无关.答案: 正确19、设曲线起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则.答案: 错误20、设曲线为有向光滑曲线，则一定有.答案: 错误21、在将曲线积分化为定积分时，第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.答案: 错误第一周第三讲格林公式1、设为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线，则的值为（）．答案: 02、设为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线，则的值为（）．答案:3、设L为圆周上由到的一段弧，则的值为（）．答案:4、设是单位圆从点到点的上半圆周，则的值为（）．答案:5、使格林公式成立的闭区域D（）．答案: 为单连通或多连通区域6、设是圆周，方向为逆时针方向，则用格林公式计算可化为（）．答案:7、设是圆周,方向取顺时针方向，则的值为（）．答案:8、设为圆周上从到再到的曲线段，则的值为（）．答案: 09、设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续偏导数，则．答案: 正确10、设为正向星形线，则由格林公式有．答案: 正确11、设是椭圆的正向，则由格林公式可知．答案: 错误12、若区域内存在一条简单闭曲线，其所围的部分均在区域内，则称为平面单连通区域．答案: 错误13、设D是由曲线所围成的闭区域，函数. 因为，所以由格林公式有．答案: 错误14、设为平面的有界闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，则区域的面积.答案: 错误第二周第四讲积分与路径无关条件1、下列平面上的力场中，为保守力场的是（）.答案:2、设是以为起点、为终点的曲线段, 则等于（）.答案:3、沿以为起点、为终点的路径所作的功可表示为（）.答案:4、设是从点到点的直线段，则的值为（）.答案:5、向量场的势函数为（）.答案:6、微分方程的通解为（）.答案:7、设是上半圆周上从点到点的圆弧，则曲线积分的值为（）．答案:8、若为保守力场，则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.答案: 正确9、只要在区域上有成立，则向量场必为区域上的保守场.答案: 错误10、曲线积分的值只与起点和终点的位置有关，而与积分的路径无关.答案: 正确11、方程是全微分方程.答案: 错误12、是整个平面区域上的保守向量场.答案: 错误13、若函数为的原函数，则.答案: 正确14、设函数，其中积分路径是从到的某一条光滑曲线，则有.答案: 错误第二周第五讲对面积的曲面积分的概念与计算1、设为圆柱面夹在平面之间的部分,则曲面面积为（）．答案:2、设是锥面，则等于（）．答案:3、设为曲面，则的值为（）.答案:4、设是曲面，则下列各式正确的是（）．答案:5、设为曲面在平面上方的部分,则（）．答案:6、设为上半球面，则（）．答案:7、设为平面在第一卦限部分，则的值为（）．答案:8、若存在一阶连续偏导数，则曲面一定存在有限面积.答案: 错误9、设函数在光滑曲面上连续，且，则.答案: 正确10、设函数在光滑曲面上连续，为曲面的面积，若存在常数使得，则有.答案: 正确11、设为平面上的有界闭区域，函数在上连续，则二重积分等于对面积的曲面积分.答案: 正确12、设为球面，为在面上的投影区域, 函数在上连续，则有.答案: 错误13、设是球面，则曲面积分.答案: 错误第二周第六讲对坐标的曲面积分的概念与计算1、设有曲面，其外法线与正向夹角成锐角, 则等于（）．答案:2、设为旋转抛物面介于和之间部分的下侧，则等于（）．答案:3、设是由平面,,,所围成的四面体的边界，外法线为其正向，则曲面积分等于（）．答案: 04、设曲面为球面，其法向指向外侧，则等于（）．答案:5、设为曲面，其法向指向上侧，则对坐标的曲面积分.答案: 错误6、曲面积分在数值上等于流速场穿过曲面的流量.答案: 正确7、设为球面, 其法向量指向外侧，则.答案: 错误8、设为球面的外侧，为球面在上的投影区域，则.答案: 错误9、如果光滑曲面在平面上的投影是一条曲线，函数在上连续，则.答案: 正确。