2015—2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．（理科做)方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣12．设函数f（x）在x=x0处可导，则（)A．与x0，h都有关B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=4．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数"时,需假设原命题不成立,下列正确的是（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n)=2n•1•2…(2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1"时，左边应增添的式子是(）A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）6．已知f（n)=1+++…+（n∈N＊），计算得f（2）=,f（4）＞2,f（8）＞，f(16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有(）A．f（2n)＞（n∈N＊）B．f(2n）＞（n∈N*)C．f（2n)＞（n∈N*）D．f（2n)＞（n∈N*)7．已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n,则下列说法正确的是（)A．若m⊥n，n⊥α,m⊂β，则α⊥βB．若α∥β,n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n,n⊂α,m⊂β，则α⊥βD．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是(）A．①②B．①③C．③④D．②④9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有,那么k的取值范围是（）A．B．C． D．10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（)A．B．C．D．11．已知双曲线两个焦点为分别为F1（﹣1，0），F2（1,0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，N两点，且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则a2为（）A．B．C． D．12．已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a),B=f(a+1)﹣f(a），C=f′（a+1）则（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n 的值为．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．如图，F1，F2是双曲线C1:x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1,C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=｜F1A｜，则C2的离心率是．16．已知点P在曲线y=e x（e为自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知曲线，求曲线在点(2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积．18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2;（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．19．已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：B1N⊥CN;（Ⅱ）设M为AB中点,在棱BC上是否存在一点P,使MP∥平面B1CN？若存在，求的值;若不存在，请说明理由．20．已知数列{a n｝满足a n﹣a n=1，a1=1，试比较与的大小并+1证明．21．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．（I)若AE丄CF，求BE的值；（Ⅱ）求当BE为何值时，二面角E﹣AC﹣F的大小是60°．22．椭圆C的方程为=1（a＞b＞0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0,1）,且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B,直线l的方程为x=4,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值;（Ⅲ）过点Q（1，0)任意作直线m（与x轴不垂直)与椭圆C交于M、N两点,与l交于R 点，，．求证：4x+4y+5=0．2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上）1．（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1﹣k只需异号即可，则解不等式（k+1)(1﹣k）＜0即可求解．【解答】解:由题意知（k+1)（1﹣k）＜0,即（k+1）(k﹣1）＞0解得k＞1或k＜﹣1．故选D．2．设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A．与x0,h都有关 B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关【考点】极限及其运算．【分析】利用导数与极限的关系和导数的定义可知f′（x0）=,由此进行判断．【解答】解：∵函数f（x)在x=x0处可导，∴可得f′（x0)=，∴此极限仅与x0有关而与h无关,故选B．3．已知双曲线C:（a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x,代入可得答案．【解答】解：由双曲线C:(a＞0,b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．4．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数"的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，从而得出结论．【解答】解：由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，故选C．5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…(2n﹣1)(n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是()A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）【考点】数学归纳法．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．【解答】解:当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时,左边等于(k+2）(k+3）…（k+k）(2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是=2(2k+1),故选：C．6．已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=,f（4）＞2,f（8）＞，f(16）＞3，f（32)＞,由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N＊）B．f(2n）＞(n∈N*）C．f（2n)＞(n∈N＊）D．f（2n）＞（n∈N＊）【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f(8）＞，f（16)＞3，f（32)＞，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后,即可得到答案．【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f(4)＞2,即f（22)＞f（8)＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得:f（2n）＞,n∈N＊）故选：D．7．已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m,n，则下列说法正确的是（）A．若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，m⊂β,则α⊥βD．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】A．利用面面垂直的判定定理进行判断．B．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．C．利用面面垂直的定义和性质进行判断．D．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．若n⊥α，m⊥n，则m∥α或m⊂α，又m⊂β,∴α⊥β不成立，∴A．错误．B．若α∥β，n⊥α，则n⊥β，又m⊥β,∴m∥n成立，∴B正确．C．当α∩β时,也满足若m⊥n，n⊂α,m⊂β,∴C错误．D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n或m，n为异面直线，∴D错误．故选：B．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．③④D．②④【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．【解答】解:①中线段为虚线，②正确,③中线段为实线，④正确，故选:D9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B,O是坐标原点,且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则,借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解:设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0(k＞0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B,∴∴4＞∴4＞∵k＞0,∴故选C．10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC==．∴V三棱锥S﹣ABC故选:C．11．已知双曲线两个焦点为分别为F1(﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，N两点，且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则a2为(）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设｜AF1｜=｜AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值，即可得出结论．【解答】解：由题意,设｜MF1｜=｜MN｜=m，则|NF1｜=m，|MF2｜=m﹣2a，|NF2｜=m﹣2a，∵|MN|=|MF2｜+｜NF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m,∴｜MF2｜=（1﹣)m，∵△MF1F2为Rt三角形，∴｜F1F2｜2=｜AF1｜2+|AF2|2∴4c2=(﹣)m2，∵4a=m，∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2．∵c=1，∴a2=．故选：D．12．已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′(a)，B=f（a+1）﹣f（a）,C=f′（a+1）则（）A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A【考点】导数的运算；直线的斜率．【分析】设M坐标为（a,f（a）),N坐标为（a+1，f（a+1）)，利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率,直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小,得到正确答案．【解答】解:记M（a，f(a)），N（a+1，f（a+1)),则由于，表示直线MN的斜率；A=f′(a）表示函数f(x）=log a x在点M处的切线斜率；C=f′(a+1）表示函数f(x）=log a x在点N处的切线斜率．所以，A＞B＞C．故选A二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设曲线y=x n+1（n∈N＊）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n 的值为．【考点】归纳推理；简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=x n+1（n∈N*),求导后，不难得到曲线y=x n+1（n∈N＊）在点（1,1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为x n,分析其特点，易得x1•x2•…•x n的值．【解答】解：对y=x n+1(n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1,在点(1，1）处的切线方程为y﹣1=k(x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1)，不妨设y=0，x n=则x1•x2•…•x n=×××…××=．故答案为：14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解:由乙说：我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．15．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1,C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=｜F1A｜，则C2的离心率是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：由双曲线C1：x2﹣=1可得a1=1,b1=，c=2．设椭圆C2的方程为=1，（a＞b＞0)．则|F1A｜﹣｜F2A｜=2a1=2,|F1A|+｜F2A|=2a，∴2|F1A|=2a+2∵|F1F2｜=｜F1A｜=2c=4，∴2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率==．故答案为：．16．已知点P在曲线y=e x（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上,则丨PQ丨的最小值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数．【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x 的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离【解答】解：∵曲线y=e x(e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x 对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d设曲线y=e x上斜率为1的切线为y=x+b，∵y′=e x，由e x=1，得x=0,故切点坐标为（0,1)，即b=1∴d==∴丨PQ丨的最小值为2d=故答案为三、解答题:共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知曲线，求曲线在点（2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出曲线y的切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点，计算出切线与坐标轴围成的三角形面积．【解答】解：∵曲线，∴y′=x2∴切线的斜率为k=f’（2）=22=4，∴切线的方程为:y﹣4=4(x﹣2）4x﹣y﹣4=0切线与坐标轴的交点为A(1，0),B（0，﹣4），∴切线与坐标轴围成的三角形面积为=×1×4=2．S△OAB18．已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2;(1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）依题意得2a=2，，由此能求出双曲线方程．（2）设点A(x1，y1)，B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）依题意得2a=2,a=1，…，∴，…∴b2=c2﹣a2=2,…∴双曲线方程为：…（2）设点A(x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），…由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0…，…∵点M在圆上，∴，∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．…19．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形．(Ⅰ）求证：B1N⊥CN；（Ⅱ）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP∥平面B1CN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】（Ⅰ）由三视图可知AN=4，BB1=8．在直角梯形ANB1B中，取BB1的中点H，连结NH，证明B1N⊥平面BCN，即可证明：B1N⊥CN；（Ⅱ）在直角梯形ANB1B中，取BH中点Q，由题意得四边形ANB1H是平行四边形，利用面面平行，确定线面平行即可得出结论．【解答】（Ⅰ)证明:由三视图可知AN=4，BB1=8．在直角梯形ANB1B中,取BB1的中点H，连结NH．可得NH⊥BB1，则ABHN是正方形．所以BN=4，NH=BH=HB1=4，NB1=4．可得=，所以BN⊥NB1．因为BN∩BC=B，所以B1N⊥平面BCN，则B1N⊥CN．（Ⅱ）解:在直角梯形ANB1B中，取BH中点Q，由题意得四边形ANB1H是平行四边形．所以AH∥B1N∥MQ．因为NB1⊂平面CNB1，MQ⊄平面CNB1，所以MQ∥平面CNB1．又因为MP∥平面CNB1,MP∩MQ=M，所以平面MPQ∥平面CNB1．且平面MPQ∩平面BCC1B1=PQ,平面CNB1∩平面BCC1B1=CB1，所以PQ∥CB1．所以==．20．已知数列{a n｝满足a n﹣a n=1，a1=1，试比较与的大小并+1证明．【考点】数列与不等式的综合．【分析】由已知求出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明≥．【解答】解：≥．﹣a n=1,a1=1，知数列{a n}为首项是1，公差为1的等差数列，证明如下：由a n+1∴通项公式为a n=n．要证≥，只要证:1+++…+≥，下面用数学归纳证明：n=1时,1+=，结论成立，当n=2时，左边=1+=，结论成立；假设n=k时结论成立，即1+++…+≥,那么：n=k+1时，1+++…++…+＞++…+＞++…+＞+=，即n=k+1时，结论也成立．综上所述，n∈N，结论成立．21．如图，在四边形ABCD中,△ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC,AD=DC，E、F 是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．（I)若AE丄CF,求BE的值；(Ⅱ)求当BE为何值时,二面角E﹣AC﹣F的大小是60°．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】(Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．由已知证得△BAD≌△BCD,得AG=CG,再由线面垂直的判定证明AC⊥平面EBDF,以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设出BE,结合求得BE；（Ⅱ）由(Ⅰ）可知∠EGF是二面角E﹣AC﹣F的平面角，然后利用余弦定理求得使二面角E﹣AC﹣F的大小是60°时的BE．【解答】解:（Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．由已知得△BAD≌△BCD，∴AG=CG，∴G为AC的中点，则BD⊥AC，BE⊥AC，且BD∩BE=B,∴AC⊥平面EBDF，如图,以G为坐标原点，分别以的方向为x轴,y轴正方向，建立空间直角坐标系G﹣xyz，令BE=x，由已知可得B(，0,0），A（0，﹣1，0），E（，0，x），F（﹣1,0,1），C（0,1，0),∴，,由得，x=1+；（Ⅱ）由(Ⅰ）可知∠EGF是二面角E﹣AC﹣F的平面角，即∠EGF=60°，则，FG=，EF=，∴cos∠EGF=，解得．22．椭圆C的方程为=1(a＞b＞0）,F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1)，且离心率e=．（Ⅰ)求椭圆C的方程;（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B,直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；(Ⅲ）过点Q（1，0)任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点,与l交于R 点,，．求证：4x+4y+5=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出b，a，然后求椭圆C的方程;（Ⅱ）设P（x0，y0),推出直线PA、PB的方程,求得D，E两点的坐标求出向量,利用点P(x0，y0）在椭圆C上，即可求的值；（Ⅲ）设M（x1,y1），N（x2，y2)，R(4，t）,利用，得到：（λ≠﹣1)，代入椭圆方程,化简，由得(4+y）2+9t2=9（1+y）2，然后消去t,即可得到4x+4y+5=0．【解答】解:(Ⅰ）椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）,F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0，1），且离心率e=，所以b=1，,解得a=3，所求椭圆方程为：…4分（Ⅱ）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为，，将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为，．由（Ⅰ），，所以，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴,∴．…8分（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2)，R（4,t）,由得（x1﹣4，y1﹣t）=x(1﹣x1,﹣y1）所以(λ≠﹣1），代入椭圆方程得（4+x)2+9t2=9(1+x）2①同理由得(4+y）2+9t2=9(1+y）2②①﹣②消去t,得,所以4x+4y+5=0．…13分．2016年10月25日。
