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九年级数学圆知识点总结

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初三圆的知识点总结 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD过圆心 ∵CD⊥AB

2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD

4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1） （2）（3） （4） 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ

5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1） ∵OC是半径∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2） ∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：

ABCD

O

AB

C

DEO平分优弧

过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧

∴ ACBCADBD==

AE=BE

ABCD

EFO

AB

C

O

PABO

ABCDE

ABCOA

BC

D

∵ ∴ ∥

=ABCD

ACBD

ABC

O是半径

垂直是切线ABO

（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） （1）∵BD是切线，BC是弦 ∴∠CBD =∠CAB

（2） ∵ ED，BC是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF

9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例： （1） ∵PA·PB=PC·PD ∴……… （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB ∴PC2=PA·PB

10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 几何表达式举例： （1） ∵PC是切线， PB是割线 ∴PC2=PA·PB （2） ∵PB、PD是割线 ∴PA·PB=PC·PD

11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1） （2） 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线

12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角n ， 边数n； （2）有关计算在RtΔAOC中进行. 公式举例： (1) n =n360；

(2) n1802n

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形. 三 公式：

ABC

DA

BC

DEF

ABCPA

B

CDP

ABO1O2AO1O2

n n ABC

DE

O

arn

n

nR

ABC

DPAB

C

PO

∵ EFAB=1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180Rn；（3）圆的面积S=πR2. （4）扇形面积S扇形 =LR21360Rn2；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)

（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR21. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心  两边中垂线的交点  三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心  两内角平分线的交点  三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径） 直线与圆相交  d＜r ； 直线与圆相切  d=r ； 直线与圆相离  d＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r） 两圆外离  d＞R+r； 两圆外切  d=R+r； 两圆相交  R-r＜d＜R+r； 两圆内切  d=R-r； 两圆内含  d＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 7．关于圆的常见辅助线：

OCAB 已知弦构造弦心距. OABC 已知弦构造RtΔ. OABC 已知直径构造直角. OAB 已知切线连半径，出垂直.

OBC

ADP 圆外角转化为圆周角. OACDBP 圆内角转化为圆周角. ODCPAB 构造垂径定理. OACDPB 构造相似形.

M

01A

NO2

两圆内切，构造外公切线与垂直. 01CNO2DEABM 两圆内切，构造外公切线与平行. NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直. CBMNADEO102 两圆外切，构造内公切线与平行. CE

A

DB

O

两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. ACBO102 两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BACOP PA、PB是切线，构造双垂图形和全等. OABCDE 相交弦出相似. OP

A

BC 一切一割出相似, 并且构造弦切角. OBCEADP 两割出相似,并且构造圆周角. OABCP 双垂出相似,并且构造直角. BACDEF 规则图形折叠出一对全等，一对相似.

FED

BAC

OG

H

圆的外切四边形对边和相等. ABOCD 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线. EACBOD 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形. EFCDBAO RtΔABC的内切圆半径：

r=2cba.

O 补全半圆. ABCo1o2 AB=2221)rR(OO. CABo1o2 AB=2221)rR( OO.

A

CDPOB PC过圆心，PA是切线，构造 双垂、RtΔ. BCDOAP O是圆心，等弧出平行和相似. DEMABCFNG 作AN⊥BC，可证出: ANAMBCGF.

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初中数学圆的知识点总结3篇

初中数学圆的知识点总结3篇

初中数学圆的知识点总结3篇初中数学圆的知识点总结11.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;同圆或等圆的半径相等。

2.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

3.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4.圆是定点的距离等于定长的点的汇编。

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的汇编;圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的汇编。

6.不在同一直线上的三点确定一个圆。

7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

8.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那它们所对应的其余各组量都相等。

9.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

10.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

11.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

12.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

13.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

15.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角。

16.如果两个圆相切，那切点一定在连心线上。

17.①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交d>R-r)④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d=r)18.定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

19.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

九年级下册数学知识点归纳关于圆

九年级下册数学知识点归纳关于圆

九年级下册数学知识点归纳关于圆在九年级下册数学教材中，圆是一个重要的概念。

本文将对九年级下册数学中关于圆的知识点进行归纳总结。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个确定点的距离恒等于一个常数的所有点组成的集合。

其中，距离常数称为圆的半径。

2. 相关概念- 圆心：圆心是圆上所有点到圆周上所有点的连线的中点。

- 圆心角：圆心角是由圆心所张的弧所对应的角度。

圆心角的度数等于所对应的弧所对应的角度。

- 弧长：弧长是弧上的一部分，它是由圆心角所线的弧所相应的圆周的长度。

- 弧度：弧度是用来表示所对应的圆心角的度量单位，它的定义是沿着圆周的一条弧所对应的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。

- 弦：弦是圆上的两个点所确定的线段。

3. 圆的性质- 圆的半径相等：圆上任意两点到圆心的距离相等，即圆的半径相等。

- 弦的性质：等弧长的弦与半径所夹的圆心角相等；等圆心角的弦所夹的弧长相等。

- 弦长公式：已知圆的半径和所对应的圆心角的度数，可以用弧度制表示为l = rθ。

- 同弧度的弧长：在同一个圆中，如果两条弧所对应的圆心角相等，则它们所对应的弧长也相等。

- 圆的内角与弧度的关系：一个内角所对应的弧度等于一个外角所对应的弧度的补角。

- 圆的内接四边形：内接四边形的两个对角线相等。

- 正多边形的内角和：一个正n边形的内角和等于(n-2)×180°。

4. 圆与三角形的关系- 角平分线定理：圆上的角平分线上的点到圆心的距离等于圆上与该角相对的弧所对应的角度的一半。

- 弦切角定理：一个切线和被它所划分的弦与圆心的连线所夹的角相等。

- 直角三角形中圆的性质：在一个直角三角形中，三角形的斜边恰好是以三角形其他两边中点为圆心、斜边中点到圆心的距离为半径所描述的一个圆的圆周。

总结：通过九年级下册数学知识点的归纳，我们对于圆的相关概念、性质及其与三角形的关系有了更深入的了解。

这些知识点不仅在数学学科中有重要应用，还在日常生活中有很多实际应用，如建筑设计、测量等。

九年级下册数学圆的知识点

九年级下册数学圆的知识点

九年级下册数学圆的知识点【九年级下册数学圆的知识点】数学是一门以逻辑严谨和推理为基础的学科，而数学的各个分支中，圆是一个重要且基础的概念。

在九年级下册数学学习中，圆的知识点是必须掌握的内容。

本文将为大家介绍九年级下册数学中关于圆的重要知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是平面上所有与圆心距离相等的点的轨迹。

2. 圆的元素：圆心、半径和直径。

圆心是平面上距离圆上任意一点的距离都相等的点；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段；直径是通过圆心的，并且两个端点在圆上的线段，直径是半径的两倍。

3. 圆的性质：每条半径都相等；直径是任意圆周上两点的最长线段；圆的半径垂直于圆的弧上的切线；相交于圆上同一条弧的两条弦相等；圆心角所对的弧和该角度所在的圆弧的长度成正比。

二、圆的相关计算1. 圆的周长：圆的周长公式是C=2πr，其中C表示周长，π是一个常数（约等于3.14），r是圆的半径。

2. 圆的面积：圆的面积公式是S=πr²，其中S表示面积，π是常数，r是圆的半径。

3. 弧长和扇形面积：给定圆心角的度数θ和圆的半径r，可以利用公式计算弧长L和扇形面积A。

弧长公式为L=2πr(θ/360°)，扇形面积公式为A=πr²(θ/360°)。

三、圆的位置关系与定理1. 圆内切和外切：当两个圆的内部或外部只有一点重合时，称这两个圆内切或外切。

2. 弦的性质：圆内任意两点可连成一条弦，弦的性质有：等长的弦所对的圆心角相等；垂直于半径的弦是半径所对的圆心角的平分线。

3. 切线的性质：切线与半径垂直；切线与切点间的半径是切线的切点处的切线角的平分线。

4. 切线与圆的位置关系：切线与圆的位置关系有内切、外切和相离三种情况。

内切时切线只与圆的内部相切；外切时切线只与圆的外部相切；相离时切线与圆没有交点。

四、圆的相关定理1. 余弦定理：在任意三角形ABC中，设AB=c、AC=b、BC=a，则有c²=a²+b²-2abcos∠C。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。