勾股定理解题技巧

初中数学
勾股定理
北京师范大学 田开兰
【重点难点 考点】
学习目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的
两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角
形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
【知识架构】
一）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定 ）:
如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
◆符号语言：

在△ABC中，若a2 + b2 = c2，则△ABC
是直角三角形。
★注意：
【考点二】勾股定理的逆定理
★二）勾股数组： 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个
则CD的长为多少？
C
一）11：如图： CD AB于D，AC 9，BC 12，: AB 15，
你能求出 ABC的面积吗？
【考点三】勾AB股C 定理的应用
A
二）勾股定理在特殊三角形中的应用
例12：如图:一工厂的房顶为等腰
,
AB=AC,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
正整数，称为勾股数组. 常见勾股数组： (1)a=3,b=4,c=_____ (2)a=9,b=____c=15
【考点二】勾股定理的逆定理
三）解题技巧： 在中考中，很多问题常常要证明
两条直线互相垂直，当题中给出线段的长度 要证明它们互相垂直时，往往用到勾股定理 的逆定理通过计算得到证明．
【考点一】勾股定理
例3：如图2，一个3米长的梯子AB，A斜着靠 在竖直的墙AO上，这时AAO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B 距墙角CO多少米？O B ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至CC.

培优专题06 利用勾股定理求最短路径问题【考法导图】解题技巧：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。

◎类型1 台阶中的最值问题1．（2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以222=+=169，AB AC BC所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为（）A B．25C．30D．35【答案】B【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长AB ．由勾股定理得：2AB =220+()2[233]+´=225，解得：25AB =．故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3．（2020·山东淄博·统考一模）地面上铺设了长为20cm ，宽为10cm 的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）A ．50cmB ．100cmC ．150cmD ．200cm4．（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若2AD =，1BE =，3AE =，一只蚂蚁在A 处发现C 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A B．3C D．【点睛】本题考查了平面展开◎类型2 正方体中的最值问题5．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A B．2C D．3【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．6．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）A B．C D．【答案】C【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．7．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A B．4cm C D．5cm8．（2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（）A．BC D【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．◎类型3 长方体中的最值问题9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（）A．3米B．4米C．5米D．6米【答案】C则这只昆虫爬行的路程为②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为因为295>，所以这只昆虫爬行的最短路程为10．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）A．12cm B C D11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到C¢点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．B．14cm C．4)cm D．10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是（）A B C．10D【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，◎类型4 圆柱(锥)中的最值问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，圆柱的底面半径为6pcm，AC是底面圆的直径，点P是BC上一点，且PC＝4cm，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）A．B．cm C．cm D．10cm14．（2022春·全国·八年级假期作业）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．20C．18D．30则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M∴CE=MH=9cm，EH=CM=4∴DE=DH－EH=12－4=8cm∴BE=DE+DB=8+4=12cm，15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）A．cm B．C．D．10cm16．（2019·全国·八年级专题练习）如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要（）A．12m B．13m C．17m D．20m【答案】B【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题△中，这样就可利用转化到Rt ABC。

初二勾股定理练习题难在初中数学学科中，勾股定理是一个重要的定理，广泛应用于解决各种与直角三角形相关的计算问题。

勾股定理的简单表述是：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

在初二阶段，学生们开始接触勾股定理，并进行相关的练习题。

然而，初二勾股定理练习题往往被认为是相对较难的。

本文将为大家探讨初二勾股定理练习题的难点所在，并提供一些解题技巧。

一、难点分析初二勾股定理练习题的难点主要有以下几个方面：1. 智力思维转换：勾股定理需要学生将数学问题转化为几何图形，并在此基础上进行计算。

这要求学生具备一定的智力思维能力，将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合。

2. 计算步骤繁琐：勾股定理的计算步骤相对较多，容易出错。

学生需要进行平方计算、开方运算等，这要求他们在计算中保持准确性。

3. 综合运用与解决实际问题：初二阶段的勾股定理练习题通常会融入实际问题，要求学生在解决问题的过程中灵活运用勾股定理。

这需要学生具备一定的实际问题解决能力与数学知识综合运用能力。

二、解题技巧为了应对初二勾股定理练习题的难点，学生可以采取以下解题技巧：1. 理解勾股定理的几何意义：学生首先需要理解勾股定理的几何意义，即直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

通过绘制几何图形，帮助学生直观地理解该定理，从而更好地应用到具体问题的解决中。

2. 刻意练习基本算术操作：勾股定理的计算过程中，涉及到平方计算、开方运算等基本算术操作。

学生可以通过刻意练习这些基本算术操作，提高计算准确性。

3. 分析归纳解题方法：初二勾股定理练习题常常有多种解题方法，学生可以通过分析归纳来找到最简洁、最有效的解题方法。

例如，可以通过找规律、利用特殊三角形等方法简化计算过程。

4. 尝试解决实际问题：勾股定理常常与实际问题相结合，学生可以尝试解决一些实际问题，提高对勾股定理的应用能力。

例如，计算直角梯形的面积、测量高楼的高度等。

5. 合作学习与请教老师：学生可以与同学一起进行勾股定理练习题的讨论与合作学习，相互答疑解惑。

-勾股定理的空间几何推广：对于空间中长方体的对角线与边长的关系，学生可能难以形成直观的认识。
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。