高中数学第一章1.1任意角和蝗制1.1.1任意角自我检测

1.1.2 弧度制自我小测1．－330°的弧度数是( )．A．1π6- B．1π3- C．5π3- D．11π6-2．已知角17π9α=，25π9α-=，341π9α=，435π18α=，其中为第四象限角的是( )．A．α1 B．α2 C．α3 D．α43．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合为( )．A.π4⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.π5π,44⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.π|2π,Z4k kαα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.π|π,Z4k kαα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭4．一扇形的面积是3π8，半径为1，则该扇形的圆心角是( )．A.3π16B.3π8C.3π4D.3π25．将－1 480°化为α＋2kπ(0≤α≤2π，k∈Z)的形式是__________．6．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5 rad的角速度旋转，则经过5 s后，点P经过的弧长为__________．7．设两个集合ππ|,Z24kM x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，π|π,Z4N x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，试判断M与N之间的关系．8．2弧度的圆心角所对的弦长为2，试求这个圆心角所夹扇形面积S.9已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求(1) AB的长；(2)弓形ABE的面积．参考答案1答案：D解析：利用180°角对应的弧度数为π来求解．设－330°的弧度数为x ，则由330180πx -=，得33011ππ1806x -==-，故选D. 2答案：D解析：α1为第二象限角，α2为第三象限角，α3为第二象限角，α4为第四象限角． 3答案：D解析：本题可以用排除法来解决．A 与B 都是错误的，因为没有写成终边相同的形式，又a 可正也可负，故选D.4答案：C解析：利用l ＝θR ，211=22S R lR θ=来计算． ∵l ＝θR ，1=2S lR ，∴23π28S R θ=⨯=， ∴3π4θ=，故选C. 5答案：1610ππ9-+ 解析：74161480π=10ππ99-=--+. 6答案：100(cm)解析：l ＝θR ，关键是求出θ的值．θ＝5×5＝25(rad)，点P 所在圆的半径4r == (cm)．∴l ＝4×25＝100(cm)．7解：∵M 、N 中角的终边如图所示．∴M N .8解：如图：过圆心O 作OM ⊥AB 于M ，则OM 平分∠AOB 的弦AB .∴∠AOM ＝1弧度，AM ＝1.∴扇形半径1sin1OA =.122sin1sin1l =⋅=.211211=22sin1sin1sin 1S lR =⋅⋅=. 9解：(1)∵1202120ππ1803==， ∴26π4π3l =⨯=，∴AB 的长为4π.(2)∵114π612π22OAB S lr ==⨯⨯=扇形，如图所示有1126cos30322OAB S AB OD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=∴12πOAB OAB OAB S S S ∆=-=-弓形扇形.∴弓形ABE 的面积为12π-。

1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。

过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。

情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。

二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。

难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。

三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。

通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。

四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。

五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。

A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。

①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。

2019-2020年高中数学第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制自我检测新人教A版必修41．－330°的弧度数是( )．A． B． C． D．2．已知角，，，，其中为第四象限角的是( )．A．α1 B．α2 C．α3 D．α43．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合为( )．A. B.C. D.4．一扇形的面积是，半径为1，则该扇形的圆心角是( )．A. B. C. D.5．将－1 480°化为α＋2kπ(0≤α≤2π，k∈Z)的形式是__________．6．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5 rad的角速度旋转，则经过5 s后，点P经过的弧长为__________．7．设两个集合ππ|,Z24kM x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，π|π,Z4N x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，试判断M与N之间的关系．8．2弧度的圆心角所对的弦长为2，试求这个圆心角所夹扇形面积S.9已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求(1) 的长；(2)弓形ABE的面积．参考答案1答案：D解析：利用180°角对应的弧度数为π来求解．设－330°的弧度数为x ，则由，得，故选D.2答案：D解析：α1为第二象限角，α2为第三象限角，α3为第二象限角，α4为第四象限角． 3答案：D解析：本题可以用排除法来解决．A 与B 都是错误的，因为没有写成终边相同的形式，又a 可正也可负，故选D.4答案：C解析：利用l ＝θR ，来计算．∵l ＝θR ，，∴，∴，故选C.5答案： 解析：74161480π=10ππ99-=--+. 6答案：100(cm)解析：l ＝θR ，关键是求出θ的值．θ＝5×5＝25(rad)，点P 所在圆的半径 (cm)．∴l ＝4×25＝100(cm)．7解：∵M 、N 中角的终边如图所示．∴M N .8解：如图：过圆心O 作OM ⊥AB 于M ，则OM 平分∠AOB 的弦AB .∴∠AOM ＝1弧度，AM ＝1.∴扇形半径. .211211=22sin1sin1sin 1S lR =⋅⋅=.9解：(1)∵，∴，∴的长为4π.(2)∵114π612π22OAB S lr ==⨯⨯=扇形，如图所示有1126cos30322OAB S AB OD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=∴12πOAB OAB OAB S S S ∆=-=-弓形扇形.∴弓形ABE 的面积为.2019-2020年高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1任意角的三角函数教案 苏教版必修4教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin α＝MP OP ＝y r ，cos α＝OM OP ＝x r ，tan α＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋k π(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋k π，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sin α、cos α、tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sin α＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－2＝13.所以sin α＝y r ＝－313＝－31313，cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.图5的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sin α＋tan α的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )．由正弦函数的定义知道，sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π，或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }．点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin α≥0，且tan α有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cot α＝x y ，sec α＝r x ，csc α＝ry.角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数． 二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cos α的值是( ) A.1313 B.1312 C ．±1313 D ．±213132．已知tan αcos α>0，且tan αsin α<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第三、四象限 3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570° A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.－－－－＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°. 6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角． 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0. (2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线． 2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y)，x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标．显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段： 如果x>0，OM 与x 轴同向，规定此时OM 具有正值x ；如果x<0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x.如果y>0，把MP 看作与y 轴同向，规定此时MP 具有正值y ；如果y<0，把MP 看作与y 轴反向，规定此时MP 具有负值y ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段． 于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin α＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cos α＝x r ＝x1＝x ＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan α＝y x ＝ATOA＝AT.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tan α＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tan α＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tanα＝AT.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT ，sin β＝NQ ，cos β＝ON ，tan β＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sin α＝y r ，cos α＝x r ，sec α＝r x ，csc α＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x2＝2＝右边． ∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边. 求证：1＋sec α＋tan α1＋sec α－tan α＝1＋sin αcos α.＝yr ，＝x r ，＝y x ，＝rx .左边＝＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋yx ＋r －y ＝＋r ＋＋r ＋＋r －＋r ＋＝＋r ＋2＋2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry2x 2＋2xr ＝＋＋＋＝r ＋yx，知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.图10(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，即sin2α＋cos2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sin θ<θ<tan θ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sin θ，AT ＝tan θ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sin θ<θ<tan θ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ<cos θ<sin θB ．sin θ<tan θ<cos θC ．cos θ<tan θ<sin θD ．cos θ<sin θ<tan θ 2．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sin α－sin β.5．当α∈[0,2π)时，试比较sin α与cos α的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β. 5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sin α＝y 1，图13cos α＝x 1，∴cos α>sin α.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sin α＝cos α.(3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sin α＝y 2，cos α＝x 2，∴sin α>cos α.(4)当π2<α≤π时，sin α≥0，cos α<0，∴sin α>cos α.(5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sin α＝y 3，cos α＝x 3，∴sin α>cos α.(6)当α＝5π4时，有sin α＝cos α. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sin α＝y 4，cos α＝x 4，∴sin α<cos α.(8)当3π2<α<2π时，cos α≥0，sin α<0， ∴cos α>sin α.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sin α>cos α；当α＝π4或5π4时，sin α＝cos α；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sin α<cos α.。

《1.1 任意角和弧度制（1）》同步测试题
一、选择题
1.下列说法正确的是( ).
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于的角都是锐角
考查目的：考查任意角和象限角的概念.
答案：C.
解析：与角终边相同的角可以用来表示，因此终边相同的角不一定
相等.第一象限的角可以表示为，，因此B不正确. 小于的角有可能是负角，因此D也不正确.正确的只有 C.
2.下列各角中，与终边相同的角是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查终边相同的角的表示.
答案：D.
解析：∵，∴答案选 D.
3.已知为第三象限角，则所在的象限是( ).
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
考查目的：考查象限角的概念及其集合的表示方法.
答案：D.
解析：∵，∴()，∴在第二或第四象限.
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