2015年考研数学一真题
一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图
所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为
(A )0(B )1(C )2(D )3
【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设211
23
()x x y e x e =
+-(A )321,,a b c =-==-(B )a =(C )321,,a b c =-==(D )3a =【
21=即得
a x xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A ) 3
=依次为级数1
1()n n n na x ∞
=-∑的
(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点 【详解】注意条件级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛等价于幂级数
1
n n
n a
x ∞
=∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1,
即11lim
n n n a a +→∞=,所以11()n n n na x ∞
=-∑的收敛半径1
11lim ()n
n n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,),显然3x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B )
4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上
连续,则
(,)D
f x y dxdy =??()
(A)
1
32
1
422
sin
sin
(cos,sin)
d f r r rdr
π
θ
π
θ
θθθ
??
(B)3
4
(cos,sin)
d f r r rdr
π
π
θθθ
?
(C)
1
32
1
422
sin
sin
(cos,sin)
d f r r dr
π
θ
π
θ
θθθ
??
(D)3
4
(cos,sin)
d f r r dr
π
π
θθθ
?
【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程:
也就是D
:
43
r
ππ
θ
?
<<
??
?
<<
所以(,)
D
f x y dxdy=
??3
4
(cos,sin)
d f r r rdr
π
π
θθθ
?,所以应该选(B).
5.设矩阵
22
1111
12
14
,
A a b d
a d
????
? ?
==
? ?
? ?
????
是
(A),
a d
?Ω?Ω(B),
a d
?Ω
【
6x Py
=下的标准形为222
123
2y y y
+-,其中()
123
,,
P e e e
=,若Q Qy下的标准形为
(A)222
123
2y y y
-+(B)222
123
2y y y
+-
(C)222
123
2y y y
--(D)222
123
2y y y
++
【详解】()()
132123
100100
001001
010010
,,,,
Q e e e e e e P
????
? ?
=-==
? ?
? ?
--
????
,
100
001
010
T T
Q P
??
?
=-
?
?
??
所以
10010010021002
00100100110011
01001001010101 T T
Q AQ P AP
????????????
? ? ????? ?
=-=-=-
? ? ????? ?
? ? ????? ?
---
????????????
故选择(A).
7.若,A B为任意两个随机事件,则()
(A )()()()P AB P A P B ≤(B )()()()P AB P A P B ≥
(C )2()()()P A P B P AB +≤
(D )2
()()
()P A P B P AB +≥
【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2
()()
()P A P B P AB +≤
故选择(C ).
8.设随机变量,X Y 不相关,且213,,EX EY DX ===,则2(())E X X Y +-=()
(A )3-(B )3(C )5-(D )5
【详解】2
2
2225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-= 故应该选择(D ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 9
10【11【详解】设2(,,)cos z
F x y z e xyz x x =+++-,则
且当01,x y ==时,0z =,所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)
y x z z F F z z
x y F F ''??=-=-=-=??''
也就得到01(,)|dz =.dx -
12.设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域,则
23()dxdydz x y z Ω
++=???.
【详解】注意在积分区域内,三个变量,,x y z 具有轮换对称性,也就是
13.n 阶行列式
20021
20
2002200
12
-=-.
【详解】按照第一行展开,得11
11212122()()n n n n n D D D +---=+--=+,有1222()n n D D -+=+ 由于1226,D D ==,得11
122222()n n n D D -+=+-=-.
14.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ,则{}0P XY Y -<=.
【详解】由于相关系数等于零,所以X ,Y 都服从正态分布,1101~(,),~(,)X N Y N ,且相互独立. 则101~(,)X N -. 三、解答题
15.(本题满分10分)设函数
()f x x =+
数,,a b k 的取值.
【详解】当0x →时,把函数()f x x =+3
a k ?=??16.(本题满分10分)
设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且02()f =,求()f x 的表达式. 【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令0y =,得000()
()
f x x x f x =-
'
曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为 整理,得218y y '=
,解方程,得118C x y =-,由于02()f =,得1
2
C =
所求曲线方程为84.y x
=
- 17.(本题满分10分)
设函数(,)f x y x y xy =++,曲线2
2
3:C x y xy ++=,求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数. 【详解】显然
11,f f
y x x y
??=+=+??. (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ??
??==++ ?????
(,)f x y 在(,)x y
处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2
2
1
(,)()F x y x =+2
2
子法求解如下:
令2
2
2
11(,,)()()(L x y x y x λλ=+++++解方程组21202120()()x y F x x y F y y x λλλλ?'=+++=??
'=+++=?=
18(
; (12()()()()n f x u x u x u
x =,写出()f x 的求导公式.
【()(x v x u =由导数的定义和可导与连续的关系
(2)12()()()()n f x u x u x u x =
19.(本题满分10分)
已知曲线L 的方程为z z x
?=??=??,起点为0()A ,终点为00(,)B ,计算曲线积分
2222()()()L
y z dx z x y dy x y dz ++-+++?
.
【详解】曲线L 的参数方程为cos ,cos x t
y t z t =??
=??=?
起点0()A 对应2
t π
=
,终点为00(,)B 对应2
t π
=-
.
20.(本题满分11分)
设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基,113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++. (1)证明:向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基;
(2)当k 为何值时,存在非零向量ξ,使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同,并求出所有的非零向量.ξ
【详解】(1)()1231232
10
202(,,),,βββααα??
?
= ? ?
, 因为2
01
21
20
2
4021
201
k k k
k ==≠++向量空间3
R 的一组基.
(
((1
00k
=,也就是0k =. 此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα?? ?
=++= ? ???
,
由于12,αα线性无关,所以13200x x x +=??=?,通解为1230x C x x C ????
? ?
= ? ? ?
?-?
???,其中C 为任意常数.
所以满足条件的0C C ξ??
?
= ? ?-??
其中C 为任意不为零的常数.
21.(本题满分11分)
设矩阵
023
133
12
A
a
-
??
?
=--
?
?
-
??
相似于矩阵
120
00
031
B b
-
??
?
= ?
?
??
.
(1)求,a b的值;
(2)求可逆矩阵P,使1
P AP
-为对角矩阵.
【详解】(1)因为两个矩阵相似,所以有trA trB
=,A B
=.
也就是
324
235
a b a
a b b
+=+=
??
?
??
-==
??
.
(2)由2
120
050
031
E B
λ
λλ
λ
-
-=-=
--
解方程组0
()
E A x
-=,得矩阵A;
令
005
-
??
22
220
00
ln,
()
,
x x
f x
x
-
?>
=?
≤
?
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为次数.
求Y的分布函数;
(1)求Y的概率分布;
(2)求数学期望.
EY
【详解】(1)X进行独立重复的观测,得到观测值大于3的概率为
显然Y的可能取值为234
,,
,
且
22
1
1
11717
1234
888648
()(),,,,
k k
k
P Y k C k k
--
-
????
==??=-=
? ?
???
?
(2)设
2
2
3
222
2
11
11
()()(),
()
n n n
n n n
x
S x n n x x x x
x x
∞∞∞
-
===
''
''??
??
''
=-====<
?
?--
????
∑∑∑
23.(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
其中θ为未知参数,12,,
,n X X X 是来自总体的简单样本.
(1)求参数θ的矩估计量;
(2)求参数θ的最大似然估计量. 【详解】(1)总体的数学期望为
令()E X X =,解得参数θ的矩估计量:21?X θ
=-. (2)似然函数为
显然()L θ是关于θ的单调递增函数,为了使似然函数达到最大,只要使θ尽可能大就可以,所以
参数θ的最大似然估计量为12
?min(,,,).n x x x θ=
2015年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解,则 (A )321,,a b c =-==- (B )321,,a b c ===- (C )321,,a b c =-== (D )321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根,则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=,同时*x y xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A ) 3.若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛,则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的 收敛为1,即11lim n n n a a +→∞=,所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,) ,显然3x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B ) 4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =-
3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛,则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛,故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2,因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛 点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得,4 π θ= ;由y =得,3 π θ= 由21xy =得,2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得,2 4cos sin 1, r r θθ==
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义, 且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是,存在此时. 当,, = 因此,在连续。选A 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续,其 二阶导函数的图形如右图所示, 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续,除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧,对应的点就是的拐点。
虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,函数在 D上连续,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的 拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ?
考研数学真题及解析 与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸. 指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续,其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示,则曲 线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解,则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛,则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1, 4xy = 1与直线 y = x , y = 面区域,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续,则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3
?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? , b = d ? ,若集合Ω= {1, 2},则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 , 其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ,若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ,则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件,则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是() (A ) 2 +∞ ? (B )2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内() (A )连续 (B )有可去间断点 (C )有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>,若()f x '在0x =处连续,则() (A )1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续,其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为() (A )0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ,满足22 (,)y f x y x y x +=-,则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是() (A ) 12,0 (B)0,12(C )-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域,函数 (,)f x y 在D 上连续,则(,)D f x y dxdy ??=()
(A ) 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (C ) 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7).设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???,b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2,则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为() (A ),a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e ),若 132(,,)Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为( ) (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 (10)函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = (11)设函数()f x 连续,2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=,'(1)5?=,则(1)f = (12)设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取值3,则()y x = (13)若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定,则(0,0)dz = (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵,则行列式B = 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++,2 ()g x kx =,若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小,
Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.下列反常积分收敛的是( ) (A ) (B ) (C ) (D )2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛,所以(A )是发散的;21p dx x +∞? 1p >2+∞?(B )是发散的;22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? (C )是发散的;221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上,对于(D ),应该选(D ).22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2.函数在内( )2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞(A )连续 (B )有可去间断点(C )有跳跃间断点 (D )有无穷间断点 【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义,而,所以应该选(B ).0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3.设函数 ,若在处连续,则( )100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =(A ) (B ) (C ) (D )1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时,,当时,,0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===
2015年考研数学一真题及答案解析
2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个 数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ).
3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微 分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛,即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收 敛区间还是(0,2)。 因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点,发散点.故选(B )。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x = ,y =围成的平面区 域,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】(B ) 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形,
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确; D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则
https://www.doczj.com/doc/bb1562761.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义, 且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数, ().若在处连续,则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.doczj.com/doc/bb1562761.html,/ 【解析】易求出 , 再有 不存在,, 于是,存在,此时. 当时,, = 不存在,, 因此,在连续。选A 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续,其 二阶导函数的图形如右图所示, 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续,除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧 异号,对应的点就是的拐点。 虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足,则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )
2015年考研数学一真题及答案(完整版) 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛, 即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛 区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点,发散点.故选(B ). (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】(B )
2015年考研数学(一)试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C ) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知,212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解, 所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A ) (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛,则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点,收敛点
2015年考研数学一真题 一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图 所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 (A )0(B )1(C )2(D )3 【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设211 23 ()x x y e x e = +-(A )321,,a b c =-==-(B )a =(C )321,,a b c =-==(D )3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A ) 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的 (A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1, 即11lim n n n a a +→∞=,所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,),显然3x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B ) 4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上 连续,则 (,)D f x y dxdy =??()
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题: 1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ... (1) 设函数 f ( x)在,内连续,其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示,则曲线 y f ( x)的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】(C) 【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此,由f(x) 的图形可得,曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选( C) . (2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一 23 个特解,则() (A)a3,b2, c1 (B)a3, b2, c1 (C)a3,b2, c1 (D)a3, b2, c 1 【答案】(A ) 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此 类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法. 1 e 2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解,所以【解析】由题意可知, 2,1 23
为特征方程 r 2ar b 0 的根,从而a (12)3,b 1 2 2 ,从而原方程变为 y 3y 2 y ce x,再将特解 y xe x代入得c1.故选(A) (3) 若级数a n条件收敛,则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的() n 1n 1 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(B ) 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为a n条件收敛,即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点,所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1 的收敛半径为1,收敛区间为(0, 2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故na n (x 1)n的收 n 1 敛区间还是 (0, 2)。因而 x3与 x 3 依次为幂级数na n ( x 1)n的收敛点,发散点.故选(B)。 n 1 (4) 设D是第一象限由曲线 2 xy 1, 4 xy 1与直线 y x ,y3x 围成的平面区 域,函数 f x, y在 D 上连续,则f x, y dxdy() D 1 (A)3d sin2f r cos , r sin rdr 1 42sin2 1 (B)3d sin 2f r cos, r sin rdr 1 42sin 2 1 (C) 3 d sin2f r cos, r sin dr 1 42sin 2 1 (D) 3 d sin2f r cos , r sin dr 1 42sin 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的 拐点个数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则() (A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而
()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛,则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的: (A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛,故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点,进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2, 因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则 (,)D f x y dxdy =?? (A ) 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? (B )24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? (C ) 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? (D )34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得,4 π θ= ;由y =得,3 π θ= 由21xy =得,2 2cos sin 1, r r θθ==