线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题3分,共12分)1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ,2=A ,3=B ,则B A -2=1.解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2.已知向量)3,2,1(=α,)31,21,1(=β,设βαT A =,其中T α是α的转置,则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα.注 若先写出A ,再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3.若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关,则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k .4.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为21,31,41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2,3,4.故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1. (2)若λ是A 的特征值,则)(A f 的特征值为)(λf ,其中)(x f 为任意关于x 的多项式.(3)若n 阶矩阵A 有n 个特征值1λ,2λ,…,n λ,则n A λλλ 21=.二.单项选择题(每小题3分,共18分)1.矩阵A 在( A )时,其秩将被改变.(A ) 乘以奇异矩阵 (B ) 乘以非奇异矩阵 (C ) 进行初等行变换 (D ) 转置2.要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ都是线性方程组O AX =的解,只要系数矩阵A 为( A ). (A ) )1,1,2(-(B ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110102(C ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110201(D ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110224110解 我们知道,若1ξ,2ξ,…,k ξ是齐次线性方程组O AX =的k 个线性无关的解向量,O AX =的任一解为向量1ξ,2ξ,…,k ξ的线性组合,则1ξ,2ξ,…,k ξ为O AX =的基础解系,且所含解向量的数目)(A r n k -=,其中n 为矩阵A 的列数.由于1ξ,2ξ为O AX =的解,知3=n .又因1ξ与2ξ是线性无关的,故2≥k .因而1)(≤A r ,而(A )、(B )、(C )、(D )四个选项中满足1)(≤A r 的矩阵只有(A )项中的)1,1,2(-.3.设向量组Ⅰ:1α,2α,…r α可由向量组Ⅱ:1β,2β,…s β线性表示,则( D ).(A ) 当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关 (B ) 当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关 (C ) 当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关 (D ) 当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关解 根据定理“若1α,2α,…s α可由1β,2β,…t β线性表出,并且t s >,则1α,2α,…,s α必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).4.设A 是n m ⨯矩阵,O AX =是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( D ).(A ) 若O AX =仅有零解,则b AX =有唯一解 (B ) 若O AX =有非零解,则b AX =有无穷多解 (C ) 若b AX =有无穷多个解,则O AX =仅有零解 (D ) 若b AX =有无穷多个解,则O AX =有非零解解 方程组b AX =与其对应的齐次线性方程组O AX =的解之间有密切的关系.正确作答本题要求掌握以下结论:(1)非齐次线性方程组b AX =有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩.(2)在非齐次线性方程组b AX =有解的条件下,解惟一的充分必要条件是齐次线性方程组O AX =只有零解.(3)非齐次线性方程组b AX =的任意两个解之差是齐次线性方程组AX = O 的解.由于题干及(A )、(B )项中均未指明b AX =有解,即A 的秩不一定等于增广矩阵A 的秩,故(A )、(B )两项为干扰项.由结论(3)知(D )为正确选项.5.若矩阵A 与B 相似,则( B ).(A ) B E A E -=-λλ (B ) B A =(C ) A ,B 有相同的特征向量 (D ) A 与B 均与一个对角矩阵相似解 由A 与B 相似,知存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.由此可得 AP P B 1-==P A P 1-=A P A P=-1.6.设矩阵n m A ⨯的秩为n m A r <=)(,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是( C ).(A ) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B ) A 的任意m 阶子式不等于零 (C ) 若矩阵B 满足O BA =,则O B =(D ) A 通过初等行变换,必可以化为),(O E m 的形式解 应选(C ).由于m A r n m =⨯)(,表明矩阵A 的秩等于行数,即A 的行向量必线性无关.根据矩阵秩的性质:行向量的秩等于列向量的秩,因此A 的列向量的秩等于m .由于n m <(列数),故一定存在m 个列向量线性无关,但并不是任意m 个列向量线性无关,故(A )不成立.根据矩阵秩的等价定义,m A r =)(表明A 至少存在一个m 阶子式不等于零,但并不要求任意一个m 阶子式均不等于零,故(B )不成立.(D )也是不成立的.若(D )成立,则存在k 个行变换1P ,2P , ,k P ,使 21P PA P k =),(O E m ,即A=),(11211O P P P m --- ,说明A 的后m n -列均为零向量,显然题目未作这种要求.(C )为正确选项.设T A 的m 个列向量为1α,2α, ,m α,则1α,2α, ,m α线性无关,因此,方程组O X A T =仅有零解.若⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B βββ 21,i β是m 维行向量满足O BA =,即),,,(21Tm T T T T T A B A βββ =,即,,,2,1,m i O A T i T ==β故O B =.三.(本题6分)设行列式2235007022220403--=D ,求第四行各元素余子式之和的值.解 设i M 4(4,3,2,1=i )为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为i A 4(i =4,3,2,1),则44434241M M M M +++=44434241A A A A +-+-=1111007022220403---=1112220431723----+）（ =2001110431411*********=--⨯=28)43(281143214-=-=⨯. 四.(本题10分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=410011103A ,且满足B A AB 2+=,求矩阵B .解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2（.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21001110110001000124100111032E A .又01210011112≠-=-=-E A , 故E A 2-可逆,从而A E A B 1)2(--=. 下面用初等行变换法求1)2(--E A .)|2(E E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021001111000110110021001001100110112r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−---⨯+1111001220101120011111000111100011013231223)1(r r r r r r r .于是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--111122112)2(1E A . 因此⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-=-322234225410011103111122112)2(1A E A B .注 因为A E A B 1)2(--=,也可以不求1)2(--E A 而用初等行变换直接求出B .方法如下:)|2(A E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41021011211010310141021001101110310132r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−---⨯+3221002340102250013221001121101031013231223)1(r r r r r r r =()B E |. 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=322234225B .五.(本题12分)已知A ,B 为3阶矩阵,且满足E B B A 421-=-,其中E 是3阶单位矩阵. (1)证明:矩阵E A 2-可逆,并求其逆矩阵;(2)若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200021021B ,求矩阵A .解 (1)由E B B A 421-=-知O B A AB =+-24,从而E E B E A 8)4)(2(=--或E E B E A =-⋅-)4(81)2(,故E A 2-可逆,且-A (1)2-E =)4(81E B -.(2)由(1)知1)4(2--=E B B A ,而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---21000838104141200021023)4(11E B , 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200011020210008381041412000210212A . 注 如果只要证明E A 2-可逆,那么由O B A AB =--24 得 A B E A 4)2(=-.因为A 可逆,知0443≠=A A ,故 02≠-B E A ,由此证出E A 2-可逆.六.(本题10分)设向量组T )0,2,3,1(1=α,T )3,14,0,7(2=α,T )1,0,1,2(3-=α,T )2,6,1,5(4=α,(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.解),,,(4321αααα=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21304400147210527121306014211035271131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−--÷-÷000011002130527121301100213052712432)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−---0000110010301011000011001030307121323122r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−-÷0000110031010320012123r r r . 所以向量组的秩为3.1α,2α,3α为其一个极大无关组,且32143132αααα++=.七.(本题12分)问a ,b 为何值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++.123,2)3(,122,043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换:A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----112323101221001111a b a ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------−−→−-1321023101221001111143a b a r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-−−→−++010001010012210011112423a b a r r r r . 当1≠a 时,4)()(==A r A r ,方程组有惟一解.当1=a ,1-≠b 时,3)(2)(=<=A r A r ,方程组无解.当1=a ,1-=b 时,42)()(<==A r A r ,方程组有无穷多组解,这时,得同解方程组:⎩⎨⎧=++=+++.122,04224321x x x x x x x令043==x x ,由此得到一个特解为:T )0,0,1,1(0-=η. 另外,原方程组的对应齐次线性方程组的同解方程组为: ⎩⎨⎧=++=+++.022,04224321x x x x x x x依次令13=x ,04=x ;03=x ,14=x 得到一个基础解系:T )0,1,2,1(1-=η,2η=T )1,0,2,1(-.于是原方程组的通解为:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=1021012100112122110k k k k ηηηη.八.(本题15分)若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=60028022a A 相似于对角阵Λ,试求常数a 的值,并求可逆矩阵P 使Λ=-AP P 1.解 由矩阵A 的特征多项式A E -λ=)2()6(2822)6(600280222+-=-----=------λλλλλλλλa ,得知A 的特征值为621==λλ,23-=λ.由于A 相似于对角阵Λ,而6=λ是二重特征值,故6=λ应有两个线性无关的特征向量,因此矩阵A E -6的秩必为1,从而由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000240000480246a A E知0=a .当6=λ时,由O XA E =-)6(,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000000012000480246a A E ,得到矩阵A 属于特征值6=λ的特征向量为 T )0,2,1(1=ε, T )1,0,0(2=ε. 当2-=λ时,由O X A E =--)2(,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--0001000128000480242A E ,得到属于特征值2-=λ的特征向量为 T )0,2,1(3-=ε.那么,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==010202101),,(321εεεP ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ=-2661AP P . 九.(本题5分)设向量β可由向量组1α,2α,…r α线性表示,但不能由向量组1α,2α,…1-r α线性表示,证明:r α不能由向量组1α,2α,…1-r α线性表示.证 用反证法.若112211--+++=r r r k k k αααα , (1) 又已知r r r r l l l l ααααβ++++=--112211 , (2) 将(2)代入(1),整理得111111)()---++++=r r r r r r l k l l k l ααβ （. 这与β不能由向量组1α,2α,…1-r α线性表示的假设矛盾,所以得证r α不能由向量组1α,2α,…1-r α线性表示.线性代数(文)模拟试卷(二)参考答案一.单项选择题(每小题2分,共16分)1.若3333231232221131211=a a a a a a a a a ,则323331222321121311222222222a a a a a a a a a ---------等于( C ). (A )6 (B )6- (C )24(D )24-解 根据行列式的性质,有323331222321121311222222222a a a a a a a a a ---------=)1()2(3--333231232221131211a a a a a a a a a =243)1()2(3=⨯--. 故选(C ).2.下列n 阶行列式的值必为零的是( B ). (A )主对角元全为零(B )三角形行列式中有一个主对角元为零 (C )零元素的个数多余n 个(D )非零元素的个数小于零元素的个数3.已知矩阵23⨯A ,32⨯B ,33⨯C 则下列运算可行的是( C ).(A )AC (B )CB (C )ABC (D )BC AB -解 两矩阵B A 与可以相乘的条件是:矩阵A 的列等于矩阵B 的行,依此条件,应选(C ).4.若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A -=-+,则必有( B ).(A )A ,B 为对称矩阵 (B )BA AB = (C )E A = (D )E B =解 因为22))((B BA AB A B A B A -+-=-+,矩阵的乘法一般不满足交换律,只有当BA AB =(A 与B 可交换)时,上式成立,故选(B ).5.设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k 的值为( A ).(A )2 (B )0 (C )1- (D )2-解 该齐次线性方程组有3个方程,3个未知数,则根据克莱姆法则,当系数行列式D =042121210=-=-k k k k时,有非零解.故选(A ).6.若向量组s ααα,,,21 线性相关,则一定有( B ).(A )121,,,-s ααα 线性相关(B )121,,,+s ααα 线性相关 (C )121,,,-s ααα 线性无关 (D )121,,,+s ααα 线性无关 解 本题要求掌握以下结论:(1)若在向量组n ααα,,,21 中,由部分向量构成的向量组线性相关,则整个向量组必线性相关(部分相关整体必相关);(2)若向量组n ααα,,,21 线性无关,则任意抽取部分向量构成的向量组必无关(整体无关部分必无关).因此,(A )、(C )均不能肯定,(D )也是不一定的.故选(B ). 7.设B A ,是同阶实对称矩阵,则AB 是( D ). (A )对称矩阵 (B )非对称矩阵 (C )反对称矩阵 (D )以上均不对8.设A 为一个可逆矩阵,则其特征值中( C ).(A )有零特征值 (B )有二重特征值零 (C )无零特征值 (D )以上均不对解 因为n A λλλ 21=,若A 可逆,则0≠A ,所以n λλλ,,,21 均不能为零,故选(C ).二.填空题(每小题3分,共18分)1.行列式==004003002001000D 24. 解法1 利用反对角行列式na a a 21=()n n n a a a 2121)1(--.解法2 由于此行列式只有4阶,也可以按某一行(列)展开后计算结果.2.A ,B 均为3阶方阵,B A 2=,且3=A ,则=B 83.解 因为A B 21=,所以83)21(213===A A B .3.若A ,B 为可逆矩阵,则分块矩阵⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 11. 解 应记住以下几个常用结论:(1)若⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21,且i A 均可逆,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111s A A A A. (2)若⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21,且i A 均可逆,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----111211A A A A s .(3)若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C BO AX ,且A ,C 均可逆,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C BAC O A X . (4)若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C OB AX ,且A ,C 均可逆,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A A X . (5)若⎪⎭⎫⎝⎛=B CA OX ,且A ,C 可逆,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----O A C BA C X 11111. (6)若⎪⎭⎫ ⎝⎛=O C A B X ,且A ,C 可逆,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111BC A A C O X . 4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ,则=)(A r 2.解 因为A −−→−↔21r r −−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----13123443120131211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211−−→−-23r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 所以A 的秩为2.5.设)1,3,1(1-=α,)0,1,2(2=α,)1,4,1(3=α,则321,,ααα线性 相 关. 解 因为0101413121321=-=ααα, 所以321,,ααα线性相关.6.设E A =2,则A 的所有特征值为1±.解 设A 的特征值为λ,特征向量为α,则 A α=λα, α2A =2λα.因为2A =E ,则α=2λα,即0)1(2=-αλ.又α为非零向量,所以012=-λ,即λ=1±.三.(本题6分)计算行列式0112112120112110-----的值.解 原式413311020112110-----==6413311211=-----. 四.(本题6分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=301012121A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413212B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411325C ,求C AB T-. 解 T AB =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301012121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-421132=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1587332,∴ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-1178653C AB T .五.(本题8分)解矩阵方程X B AX =+,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B .解 由X B AX =+,可得B XE A -=-)(,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=--350010210111011)|(B E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→331002401035001,∴ X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---332435.六.(本题10分)试求向量组T )1,0,1,0,1(1=α,T )1,0,1,1,0(2=α,T )0,1,0,1,1(3=α,,3(4-=α T )1,0,3,2-,T )3,3,3,1,2(5---=α的一个最大无关组,并写出其余向量用此最大无关组的线性表示式. 解 由(1α2α3α4α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3101130100330111211023101−−→−--1513r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------5411030100561101211023101 −−→−--2523r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------+--0200004000341001211023101662003010068200121102310135343221r r r r r −−→−+454241r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000341001211023101−−→−+++414243324r rr r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000001000301001011020101−−→−--3132r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000301002001010001. 所以,取1α,2α,3α,4α为一个最大无关组,且321532αααα-+=.七.(本题12分)设方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++++=+++=+++=++-+223358114525627423543215321542154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x ,解此方程组,并用其导出组的基础解系表示全部解.解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112313508114525062714231A →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0000004904310011140102714219001. 令054==x x ,由此得到原方程组的一个特解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=004911271γ.令14=x ,05=x ;04=x ,15=x 得到导出组的一个基础解系: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=014342191η, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100142η.所以,原方程组的解为γηληλ++2211,其中1λ,2λ为任意常数. 八.(本题14分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A ,求A 的特征值,特征向量.解 因为A 的特征多项式为242422221+---+--=-λλλλA E )7()2(2+-=λλ,所以A 的特征值为221==λλ,.73-=λ当221==λλ时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000002214424422211A E λ, 所以,0121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022α.对应的特征向量2211ααC C + (1C ,2C 不同时为零).当73-=λ时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-0001104525424522283A E λ.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11213α.对应的特征向量为33αC (不为零3C ). 九.(本题5分)设321,,ααα是齐次线性方程组O AX =的一个基础解系,证明:11αβ=,2β21αα+=3213αααβ++=也是O AX =的一个基础解系. 证 令0332211=++βββk k k ,即0)()(321321211=+++++ααααααk k k , 0)()(332321321=+++++αααk k k k k k .因为321,,ααα是O AX =的一个基础解系,则321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k .解得.0321===k k k所以321,,βββ线性无关,且基础解系中所含的向量的个数为3,命题得证.十.(本题5分)证明:如果A A =2,但A 不是单位矩阵,则A 必为奇异矩阵. 证 用反证法.假设A 可逆,且其逆矩阵为A 1-.因为A A =2.所以 O E A A A A =-=-)(2, 即 O E A A A =--)(1.由此得O E A =-,A =E ,这与A 不是单位矩阵矛盾!因此A 不可逆,即0=A ,所以A 必为奇异矩阵.线性代数(文)模拟试卷(三)参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设四阶行列式121028173502041--=D ,则34A =6-.解 602135004134-=-=A2.=fe dc b a00000000abdf .解 按第一行或第一列展开即可.3.设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1,05203120021A A 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0012406100. 解 设)2(1=B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=52312B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111B , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-123512351112B . 于是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---00124061000021120350200211121B B A . 4.三阶矩阵A 按列分块为),,(321A A A A =,且1=A ,则11232,3,2A A A A A -- =2-.解 交换该行列式中两列的位置,则原式=321212,3,A A A A A ---=32212,,A A A A -- =3212,,A A A --=2)2(-=--A .5.A 为三阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,已知2-=A ,则=*A 4.解 42)2(31=--==-*A A A . 6.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=10030116030242201211A ,则)(A r =3.解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1003014030000000121110030116030242201211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→00000040001403001211,∴ 3)(=A r .7.A 为三阶矩阵,且3=A ,则122122---）（）（A A =83. 解 原式=831)23()(23)(21)(223212121===----A A A A .8.设T )1,0,1(1=α,T )1,1,0(2--=α,T )1,1,1(3=α,T）6,5,3(=β,且有+=11αβx3322ααx x +,则=1x 1;=2x 3-;=3x 2.9.若向量组)3,2,1(1=α,)2,1,3(2-=α,),3,2(3a =α线性相关,则=a 5. 解 因为向量组1α,2α,3α线性相关,则有035723312231=+-=-a a,解得5=a .10.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12402011x A 的特征值为1,2,3,则x =4.解 矩阵A 的特征多项式为)2)1()(1(12420112+++--=------=-x x xA I λλλλλλλ.因为1=λ是A 的特征根,所以22=λ,33=λ是0)2)1((2=+++-x x λλ的两个根,把22=λ代入得4=x .二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设21,αα是O AX =的解,21,ββ是B AX =的解,则( C ).(A )112βα+是O AX =的解 (B )21ββ+是B AX =的解 (C )21αα+是O AX =的解 (D )21ββ-是B AX =的解解 根据非齐次方程组解的性质可知选(C).2.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( C ). (A )s ααα,,,21 均不是零向量(B )s ααα,,,21 中有部分向量线性无关(C )s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示 (D )有一组数021====s k k k ,使得011=++s s k k αα解 选项(A ),(B )都只是向量组线性无关的必要条件,而不是充分条件.选项(D )是错误的,若将“有一组数”改为“当且仅当”时才为正确.所以选(C ).3.设A 是n 阶可逆矩阵,B 是n 阶不可逆矩阵,则( D ). (A )B A +是可逆矩阵 (B )B A +是不可逆矩阵 (C )AB 是可逆矩阵 (D )AB 是不可逆矩阵解 由题设知0≠A ,0=B ,所以0==B A AB ,即AB 是不可逆矩阵,应选(D ).但是当A 可逆,B 不可逆时,B A +是否可逆不能一概而论,例如,若取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0001B ,则A 可逆,B 不可逆,但⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1000B A 是不可逆的.若取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010C ,则C 不可逆的,但⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1011C A 是可逆的.故)(),(B A 是不正确的.4.与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300030000A 相似的矩阵为( C ).(A )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (B )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (C )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030010(D )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130110解 因为)(A 中矩阵的特征值为021==λλ,33=λ,所以A 不能与1A 相似.(B )中矩阵的特征值为01=λ,332==λλ,但对二重根3=λ,因2)3(2=-A E r ,所以2A 不能对角化,2A 也不能与A 相似.(C )中矩阵的特征值为01=λ,332==λλ对二重根3=λ,因1)3(3=-A E r ,所以3A 可对角化,故)(C 成立.5.已知B 为可逆阵,则T T B }]){[(11--=( A ). (A )B (B )T B (C )1-B(D )T B )(1-解 T T B }]){[(11--=B B B T T T T ==--)(}]){[(11,故选(A ). 三.(本题5分)计算行列式324151131311352------的值.解 原式115115511)1(011511031315511021224211----------+-+列展开按第r r r r405256)1(015125562321=-----=----++c c .四.(本题6分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112011111A ,求)4()2(21E A E A -+-.解 )4()2(21E A E A -+-=)]2)(2[()2(1E A E A E A +-+-=)]2)](2()2[(1E A E A E A +-+- =E A E A E 2)2(+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112011111. 五.(本题10分)设向量组)4,2,1,1(1-=α,)2,1,3,0(2=α,)14,7,0,3(3=α,)0,2,2,1(4-=α,)10,5,1,2(5=α.求它们的秩,及其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组表示. 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000001000131110213011001424527121203121301),,,,(54321 TT T T T ααααα. 所以,所求向量组的秩为3,取421,,ααα为其一个极大无关组,且 2133ααα+=, 2152ααα+=. 六.(本题6分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211011011A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=301012121B ,求T BA .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=711131113200111111301012121T BA .七.(本题6分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-9437323111A ,求1*)(-A .解 由A A A AA 111)(--*==和11-=-A ,又因为1-A A 是的逆矩阵,可以求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111103231A , ∴ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-*111103231)(1A .八.(本题6分)已知321,,ααα线性无关,设32112αααβ-+=,32122αααβ+-=,+=134αβ323αα-,判断321,,βββ是线性相关的.解 若321,,βββ是线性相关的,则存在一组不全为零的数321,,k k k 使得 0332211=++βββk k k , 即方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++0032042321321321k k k k k k k k k有非零解.又因为该方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000110421111312421A ,所以,A 的秩为32<,方程组有非零解.所以存在一组不全为零的数321,,k k k .故321,,βββ是线性相关的.九.(本题12分)对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ,讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解. 解 因为系数行列式2)1)(2(111111-+=λλλλλ.(1)当2-≠λ1≠λ时,由克莱姆法则知方程组有唯一解. (2)当2-=λ时,对增加广矩阵作高斯消元,有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=221121219000221121215112__A ,第一个方程矛盾,故方程组无解.(3)当1=λ时,有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000000002111211121112111A ,可见31)()(<==A r A r ,故方程组有无穷多组解.又由此可得与原方程组同解的方程组为3212x x x ---=.令032==x x ,得其特解T u )0,0,2(0-=.与原方程组的导出组同解的方程组为321x x x --=.由此可得基础解系为T v )0,1,1(1-=,T v )1,0,1(2-=. 原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++1010110022122110k k v k v k u ,其中21,k k 是任意常数.十.(本题8分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,问A 能否对角化?若能,试求可逆阵阵P ,使得AP P 1-为对角阵.解 因为A 是实对称矩阵,所以可对角化.由 0)9(2=-=-λλλA E , 得矩阵A 的特征值为9,0321===λλλ. 求得021==λλ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0121α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1022α.93=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2213α.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210201122P ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-9000000001AP P .十一.证明题(本题6分)已知AB E +可逆,试证BA E +也可逆,且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+. 分析 本题因为已经给出1)(-+AB E ,故只需验证 E A AB E B E BA E =+-+-))()((1 即可.证 因为))()((1A AB E B E BA E -+-+=A AB E BAB A AB E B BA E 11)()(--+-+-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+. 故可知BA E +是可逆,且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.注 本题若没有给出条件:已知AB E +可逆,一般的证法如下: 因为)()(BA E A ABA A A AB E +=+=+,故 )()(1BA E A AB E A ++=- 而E =BA BA E -+=)()()(1BA E A AB E B BA E ++-+- =)()(1BA E A AB E B E ++--.由此知BA E +也可逆,且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.线性代数(工科)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.若1121013=z y x ,则=---111425333z y x 1. 解 将第三行的3倍加到第一行,第三行的2-倍加到第二行,可得原行列式的转置行列式.2.设n A 为阶方阵,且2-=A ,则=+-*-A A 1)31(25)1(1nn --.解 ()()2511553)31(11111nn n AA A A A A A ----*--=-=-=+-=+-. 3.方阵B 为幂等矩阵,即B E B B +==A ,2且,则=-1A )3(21A E -.解 由B E B B +==A ,2且,由此可得:E A A 232=- 即 EA E A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅23, 则有)3(211A E A -=-.4.设34⨯是A 矩阵,且A 的秩2)(=A r ,而,301020201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B =)(AB r 则2.解 因B B ⇒≠=010可逆,则()2)(==A r AB r .5.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1-n ,则线性方程组0=AX 的通解为T k )1,,1,1( .解 因A 的各行元素之和均为零,所以可得T )1,,1,1( 是方程组0=AX 的一个解,而A 的秩为1-n ,故方程组0=AX 的基础解系只含有一个解向量,即方程组0=AX 的通解为T k )1,,1,1( .6.设)1,1,1(1=α,),0,(2b a =α,)2,3,1(3=α,若321,,ααα线性相关,则b a ,满足关系式b a 2=.解 b a b a T T T 202130111321=⇒==ααα.7.设二次型()322123222132122,,x tx x x x x x x x x f ++++=是正定的,则t 的取值为22<<-t .解 此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120211012t t A ,则A 的各顺序主子式为 021>=A , 0111122>==A , 0211221101223>-==t t t A 解得 22<<-t .8.已知1,1,,233+++x x x x x 是[]3x R 的一个基,多项式3x 关于这个基下的坐标是)0,0,0,1(.解 )1(0)1(0)(012333+⋅++⋅++⋅+⋅=x x x x x x .9.在3R 中线性变换),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=σ,那么σ关于基,1(1=ε)0,0,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012.解 ,,,223212311εσεεεσεεεσε=+-=+=即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001110012),,(),,(321321εεεσεσεσε.10.已知3阶方阵A 的特征值为1,5-(二重),则=++E A A 3241. 解 已知3阶方阵A 的特征值为1,5-(二重),可得3阶方阵EA A ++32的特征值为1,1,41--,则41114132=-⋅-⋅=++)()(E A A .二.选择题(每小题3分,共12分)1.设A B 为n 阶非零矩阵满足AB 0=,则A 和B 的秩为( B ). )(A 必有一个等于零 )(B 都小于n )(C 都等于n )(D 一个小于n 一个等于n解 因AB 0=,且A 与B 为n 阶非零矩阵,可得A 与B 都为不可逆矩阵,即A 和B 的秩都小于n .现说明A 与B 都为不可逆矩阵.用反证法.假设A 是可逆的,则一定有1-A 存在,对等式AB 0=两边左乘1-A 有AB A 1-0=,即得0=B ,与已知矛盾.故A 是不可逆.同理可证B 也是不可逆.2.非齐次线性方程组b AX =中未知量的个数为n ,方程个数为m ,而AX 0=是它所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( D ). )(A 若0=AX 仅有零解时,则方程组b AX =有唯一解)(B 若0=AX 有非零解时,则方程组b AX =有无穷多组解 )(C 若b AX =有无穷多组解时,则方程组0=AX 只有零解 )(D 若b AX =有无穷多组解时,则方程组0=AX 有非零解解 若0=AX 仅有零解时,能得n A r =)(,但也有可能)()(b A r A r ≠,从而 方程组b AX =无解;例:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011100121x x ,2)(=A r ,此方程组只有零解,方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021********x x ,3)(2)(=≠=Ab r A r ,此方程组无解.)(A 是不正确的;同样)(B 也不正确;而b AX =有无穷多组解时,得)(b A r n A r ==)(,即方程组0=AX 有非零解.3.设A ,B 均为)2(>n n 阶行列式,则(C ).)(A B A B A +=+ )(B B A B A -=-)(C B A AB ⋅=)(D B A BA ⋅=0解 )(A 和)(B 显然是错误的;而()B A BA n ⋅-=2100,即)(D 也是不正确的.4.设n 阶方阵A 为正定矩阵,下列结论不对的是( D ). )(A A 可逆 )(B 1-A 也是正定矩阵)(C 0>A)(D A 所有的元素全为正数解 由A 为正定矩阵,可知A 的所有特征值均大于零,则A 的行列式大于零所以)(C 是正确的;从而也可得A 可逆,即)(A 也正确;又因1-A 的特征值和A 的特征值互为倒数,所以1-A 的特征值全部大于零,故1-A 也是正定矩阵,)(B 正确.三.(本题8分)计算行列式nD00103100211110=.解 根据行列式数字的特点,可作第j 列提出公因数j ,然后把从第2列开始的每列的-1倍加至第1列,把行列式变为上三角行列式,即1000010000101312113121!100101010011131210!n n n n n D ----==!)13121(n n ⋅+++-=四.(本题12分)设向量组T )3,1,1,1(1=α,T )1,5,3,1(2--=α,T p )2,1,2,3(3+-=α,,2(4-=αT p ),10,6-,问:(1)p 为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量T )10,6,1,4(=α用向量组,,21αα43,αα线性表示;(2)p 为何值时,该向量组线性相关?并此时求它的秩和一个极大无关组. 解)|,,,(4321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−−→−p p 12000101003412042311行初等变换.(1)当2≠p 时,43214321,,,,4),,,(αααααααα则=r 线性无关,并可求得:4321212432ααααα--++--+=p pp p . (2)当2=p 时,3),,,(4321=ααααr ,则4321,,,αααα线性相关,向量组,,21αα3α为其一个极大无关组.五.(本题8分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,矩阵X 满足X A X A 21+=-*,其中*A 是A 的伴随矩阵,求矩阵X .解 在X A X A 21+=-*的两边左乘A ,得AX AA X AA 21+=-*, 即有 AX E X A 2+=,移项得E X A E A =-)2(,于是1)2(--=A E A X .因 402020111111111111=-=---=A , 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-101110011412222222224000400041X .六.(本题10分)求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x的通解.解 对增广矩阵作初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=000007579751076717101253414312311112)(b A , 从最后的阶梯形矩阵可知,其导出组的通解为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10797101757121c c ,其一个特解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-007576.故原方程组的通解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10797101757121c c +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-007576.七.(本题12分)求一正交变换,将二次型()32312123222132184444,,x x x x x x x x x x x x f -+-++= 化为标准形.解 此二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=442442221A .解特征方程()09402422212442442221212=-=----+-----=-λλλλλλλλλλc c A E 得A 特征值为021==λλ,93=λ.解齐次线性方程组 0)0(=-X A E 与 ()09=-X A E ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000442442221321x x x 与 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000542452228321x x x得与二重特征值0对应的线性无关的特征向量为T T )1,0,2(,)0,1,2(21-==ηη;与特征值9对应的特征向量为T )2,2,1(3-=η. 将,,21ηη3η正交化、单位化.因实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必相互正交,所以3η与21ηη或必相互正交,取31ηξ=,T e )2,2,1(31331-==ηη; 取12ηξ=,T e )0,1,2(51112==ηη; 取T e e )5,4,2(51),(22223-=-=ηηξ,T e )5,4,2(531333-==ξξ.作矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3503253451325325231Q ,为正交矩阵,有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ==-0000000091AQ Q AQ Q T正交变换 QY X =使f =219)()()(y Y Y Y AQ Q Y QY A QY AX X T T T T T =Λ===.八.(本题12分)设线性空间22⨯R ,(1)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5432A 在基底:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111α,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01102α,,00113⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α=4α⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001下的坐标向量;(2)验证:主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体2S 是线性空间 22⨯R 的一个子空间,并写出它的一个基.解 (1)设44332211ααααk k k k A +++=,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00010011011011114321k k k k , 所以有方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=++5432121321431k k k k k k k k k .解得 6,3,1,54321-==-==k k k k .则4321635αααα-+-=A .(2)由于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031的主对角线上元素之和为零,所以∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10312S ,2S 非空集. 下面再证2S 对于矩阵的加法和数乘运算封闭.设2,S B A ∈∀,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a a a A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211b b b b B ,且有02211=+a a ,02211=+b b . 对于,22222121121211112221121122211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a b a b a b a b b b b a a a a B A 因++)(1111b a 0)()()(221122112222=+++=+b b a a b a ,所以2S B A ∈+.对于,22211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ka ka ka ka kA 因,0)(22112211=+=+a a k ka ka 所以2S kA ∈.故2S 是子空间.可选:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0100,0010,1001作为2S 的一个基.九.(本题6分)设A 为n 阶可逆方阵,且E A A =2.证明:A 的伴随矩阵A A =*. 证 因A 为可逆方阵,可得0≠A .又已知E A A =2,即有 E AAA =⋅, 故得 AA A =-1. 又因为 AA A *-=1,由此可得*=A A .线性代数(工科)模拟试卷(二)参考答案一.是非题(每小题2分,共16分)1.(√)设A 为实对称矩阵,若02=A 则0=A .2.(×)若矩阵A 的秩为r ,则A 的所有1-r 阶子式全不为零.3.(×)若向量组321,,ααα任两个都线性无关,则321,,ααα也线性无关.4.(√)若A 为正交矩阵,则伴随矩阵*A 也是正交矩阵.5.(√)若21,αα是矩阵A 的属于不同特征值的特征向量,则21αα+必不是A 的特征向量.6.(√)若A 为可逆的对称阵,则2A 为正定阵.7.(×)线性方程组b Ax =,其中A 是n m ⨯矩阵,当n A r <)(时必有无穷多解.8.(√)奇数阶反对称矩阵必不可逆.二.填空题(每小题2分,共14分)1.四阶矩阵A 的行列式3=A ,则*A =27.2.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-51311A ,则=TA )8(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1315. 3.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111a a b b x x ,)(b a ≠不可逆的条件是b x a x ==或.4.向量组)2,0,1,3(1=α,)1,2,1,1(2--=α,)4,4,3,1(3-=α的秩为2.5.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021n . 6.向量)1,1,2,1(-与)2,2,1,1(-的夹角为701arccos-. 7.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3100130000210012A ,则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1031010010*********231003132.三.计算题(共64分)1.计算1+n 阶行列式11111000000002211n n a a a a a a ---. (8分) 解 把第二列至最后一列全部加到第一列原式=111110000000000221+--n a a a a a n n列展开按第1nnn a a a a a n --+-+00000)1()1(2212 =n n a a a n 21)1()1(+-.2.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c bc a 14001有一特征值2=λ,对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛221,求矩阵A (6分).解 由X AX λ=,将X A ,,λ代入,得:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221222114001a c bc a , 从而得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-++-==++4222442222a c b c a ,解得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=122c b a因此,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112.3.下列线性方程组中,当b a ,取何值时无解?有惟一解?有无穷多解?在有无穷多解时求出全部解(用向量表示).⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-++=-+3)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x . (12分)解 A =ba ab a 230222111+---+-=)(b a a -.(1)当0≠a 且b a ≠时有唯一解; (2)当0≠a 但b a =时,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-333032221111a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→3330101111a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000101111a a 有无穷多解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100111C a a X ,C 为任意实数. (3)当0=a 时,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----320032221111b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→32001001111b b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→10001001111b , 无解.4.解矩阵方程X B AX =+,其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B (6分).解 B X E A -=-)(,),(B E A --=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------352010210111011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------333001*********→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----111001111011011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---111000*********→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111000201013001.因此:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110213X .5.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13111α,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31112α,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=98253α,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=71314α. (10分)解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7931181332111511→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511 极大无关组为21,αα.其余向量用此极大线性无关组线性表示的表示式为2132723ααα-=, 2142ααα+=.6.设22⨯R 上的变换T 定义为:XM MX X T -=)(,其中⎪⎭⎫⎝⎛=0321M ,X 是22⨯R 中任意矩阵.(1)验证T 是22⨯R 上的线性变换;(2)求T 在基⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ,⎪⎭⎫⎝⎛=100022E 下的矩阵. (10分)(1)证 22,⨯∈∀R Y X ,R k ∈∀,有M Y X Y X M Y X T )()()(+-+=+=)()(YM MY XM MX -+- =)()(Y T X T +,=-=M kX kX M kX T )()()()()(X kT XM MX k =-, 所以T 是22⨯R 上的线性变换.(2)解 )(11E T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-0320, )(12E T =⎪⎭⎫⎝⎛-3013,)(21E T =⎪⎭⎫ ⎝⎛--2102,=)(22E T ⎪⎭⎫⎝⎛-0320,。
线性代数模拟试题1一、填空题：每小题5 分，共30 分。
1 、如果＝1，则＝__________ .2 、= 时，线性方程组有非零解__________．3 、假设矩阵则A的秩数为___________ 。
4 、设A ＝，则|A│＝______ ，A＝_____ 。
5 、行列式的值是______________ 。
6 、若b=(0,k,k2)能由向量组a1=(1+ k ,1,1)，a2=(1,1+ k ,1)，a3=(1,1,1+k)唯一线性表示，则k。
二、单项选择题: 本题共5 道小题，每小题4 分，共20 分。
1 ．若A ，B 为同阶方阵，则有( )(A) (AB) ＝AB(B) |- AB|＝－|AB|(C) E2-(AB)2＝（E－AB）（E+AB）(D) |A+B|＝|A|+|B|2 ．n阶方阵A 可经相似变换化为对角形矩阵的充分条件是( )(A)A 为满秩矩阵(B)A 有n个不同的特征值(C)A 有n个不同的特征向量(D)A 为对角矩阵3 ．以下命题正确是( )(A) 如果n阶方阵A的顺序主子式都大于零，则A是正定矩阵；(B) 如果n阶方阵A的特征值都大于零，则A是正定矩阵；(C) 如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素都大于零，则A是正定矩阵；(D) 如果n阶实对称矩阵A的主对角线元素不都大于零，则A一定不是正定矩阵。
4 ．设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P=(P1，P2，P3)，则＝( )(A)；(B)；(C)；(D) 。
5 ．设A为n 阶方阵，且R(A)=r<n ，则A中( )(A) 必有r个行向量线性无关。
(B) 任意r个行向量线性无关。
(C) 任意r个行向量构成一个极大无关组。
(D) 任意r个行向量都能被其它n-r个行向量线性表示。
三、（10 分）已知A，B为n阶方阵，且A＋B＝AB，如果B＝, 求方阵A 。
四、（10 分）设有方程组，问：当a为何值时，方程组无解？(2) 方程组有唯一解？(3)方程组有无穷多个解？并求出其通解．五、完成下列各题（30 分）1 、已知向量组=(1,2,3,4)，=(2,3,4,5)，=(3,4,5,6)，=(4,5,6, 7)，求该向量组的秩和极大线性无关组。
《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1． 300020001=D 的值等于2．设A 为5阶方阵，2=A ，则 A 2=3．T 123,3,21,T Tαβαβ===设（，，）（，）则 4．）线性，，（），，（向量组363,12121=--=αα 5．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X 6．已知三阶方阵A 的三个特征值 1，-2，3，则A =7．0λ=若是矩阵A 的特征值，那么齐次线性方程组0AX =必有 8．设），，（841=α，），，（201-=β，则=+βα32 9．将向量），，，（2421-=α单位化后所得向量为 10．设向量），，，（4221=α与向量），，，（112--=k β正交，则=k 二、单项选择题（10分）11．设B A ,为n 阶方阵，且O AB =，则 （ ）。
A ．OB A == B ．O B A =+C ．0=A 或0=BD ．0=+B A12．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 有非零解的充要条件是（ ）。
A ．2=k 或 3=kB ．0=k 或 3=kC ．2-=k 或 3=kD ．2-=k 或 3-=k13．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2110154214321的秩是（ ）。
A ．1 B ．2 C ．4 D ．3 14．）矩阵有相同的特征值与（可逆矩阵A 。
A ．T AB ．1-AC ．2AD ．E A +15. 二次型123f x x x （，，）=（k+1）212x k ++（）22233x k x ++（）正定,则k 的取值范围是( )A.0k >B. 1k >-C. 2k >-D. 3k >-三、计算题（54分）16．计算四阶行列式2164729541732152-----17．解矩阵方程C B AX =+，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111112111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=545C 。
