高一数学上学期第二次月考(12月)试题及答案

长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b<< B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a 3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（）.A.B.C. D.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 75. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞ B. (],1-∞ C. []0,e D. []0,16. 已知点(1,2)在α终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.137. 已知α锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的为10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（ ）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->12. 下列正确的命题是（ ）A 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++..18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．22. 已知函数()1lg 1xf x x -=+.（1）求不等式()()()lg20ff x f +>解集；（2）函数()()30,1xg x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.的长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人 ：赵宇审题人：王骏牧本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求120x ->，即12x <.故选：B ．2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到a b c 、、的范围从而得到答案.【详解】000.21a <=<=，0.20b =<=，1c =>=，所以b a c <<，故选：C.3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +图象大致是（）.A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010af+=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D 【解析】的【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.【详解】函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)log 10f ==，0((1))(0)912f f f ==+=，而331log log 202=-<，因此，33log 2log 222331(log )(log 2)91(3)12152f f =-=+=+=+=，所以31((1))(log 2572f f f +=+=故选：D5. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞B. (],1-∞C. []0,eD. []0,1【答案】A 【解析】【分析】分0x ≤、0x >解不等式()1g x ≤，综合可得出原不等式的解集.【详解】当0x ≤时，由()e 1xg x =≤可得0x ≤；当0x >时，由()ln 1g x x =≤可得0e x <≤.综上所述，不等式()g x 的解集为(],e -∞.故选：A.6. 已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】根据终边上点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设cos α==.故选：B7. 已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.的的【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π3tan π3cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意将数据120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ =代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ =时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝，所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】利用诱导公式一一验证即可；【详解】解：sin(3)sin()sin()sin απαππαα-=-=--=-，故A 不正确；71cos cos sin 22απαπα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；tan()tan()tan απαα--=-=-，故C 正确；51sin sin cos 22παπαα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩【答案】AD 【解析】【分析】A. 利用幂函数的性质判断；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C. 令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D. 分0x >和 0x ≤讨论求解判断.【详解】A. 因为()23f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,∞+，故正确；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；C. 令211t x =+≥，则()()23log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；D. 当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当 0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->【答案】BC 【解析】【分析】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg 5lglg 4lg 55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg 5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴ ，选项C 正确.故选：BC.12. 下列正确的命题是（ ）A. 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--【答案】ACD【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.【详解】对于A 项，5ππlg sin lg sin lg1022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 项正确；对于B 项，因为()cos cos 2f x x =，所以1(sin 30)(cos 60)cos1202f f ︒︒︒===-，故B 项错误；对于C 项，因为()1sin πsin 2αα+=-=-，所以1sin 2α=，所以()1sin 4πsin()sin 2ααα-=-=-=-，故C 项正确；对于D 项，因为()tan πtan 2αα+==，所以()()()()sin πcos πsin cos sin cos tan 1213sin πcos πsin cos sin cos tan 121αααααααααααααα-+---+++=====+---+---，故D 项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】25π【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出．【详解】设扇形的圆心角的大小为α，由212S r α=可得，241252πα=⨯⨯，解得25πα=．故答案为：25π．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.【答案】4.【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得(1)(3)5x x +-=，解得答案．【详解】解：因为5()log f x x =，所以()()555(1)(3)log 1log 3log (1)(3)f x f x x x x x ++-=++-=+-，5(1)(3)log (1)(3)1f x f x x x ++-=+-= 即(1)(3)5x x +-=，所以4x =或2x =-（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得()f x 在R 上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.【详解】由于当2x <时，()2xf x =为增函数，且()()24f x f <=，由于当2x ≥时，()2f x x =为增函数，且()()24f x f ≥=，∴()f x 在R 上为增函数，∵()()121f a f a +≤-，∴121a a +≤-，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞．16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得.【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递增，要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x=++≤有解，又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号，∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++【答案】（1）8 ；（2）132【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.【详解】(1)原式6232=lg 4lg 252log 3log 23+++⨯2lg100263=++⨯2248=++=；(2)原式34413162992=--++=18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】sin α=，cos α=tan 4α=-.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，取角α的终边上的点(1,4)P -，则||r OP ===，所以sin α==cos α==；4tan 41α==--.19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．【答案】（1）1225-；（2）75．【解析】【分析】（1）由1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知sin cos 0θθ⋅<，得出可得sin θcos θ0->，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）由题意知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，可得21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+⋅=，解得12sin cos 25θθ⋅=-．（2）由（1）知12sin cos 025θθ⋅=-<，所以sin 0,cos 0θθ><，可得sin θcos θ0->，所以sin cos θθ-===75=．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.【答案】（1）17-；（2）-1.【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数得()tan f x x =，已知条件为1tan 3α=，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+，然后分子分母同除以2cos αtan α的函数再代入求值．【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x -==- ∵1()3f α=，∴1tan 3α= 2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723⨯-==-+（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+2211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于sin ,cos αα的齐次分式均可化为关于tan α的函数求值．21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；的（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）[1,1]-【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.【小问1详解】证明：设12x x <且12,x x R∈则()()()()()121212122552251515151x x x x x x f x f x m m -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭121212510,510,550x x x x x x <∴+>+>-< ()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x 在R 上单调递增【小问2详解】()f x 是R 上的奇函数，22()()05151x x f x f x m m -+-=-+-=++即225202205151x x x m m ⎛⎫⨯-+=⇒-= ⎪++⎝⎭1m =【小问3详解】由22500225151x x x m m m >⇒<<⇒-<-<++(2,)D m m =-，[3,1]D ⊆-23111m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨≤⎩m 的取值范围是[1,1]-22. 已知函数()1lg1x f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f f x f +>的解集；（2）函数()()30,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()3,+∞【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和值域及函数的单调性，得1111012x x -<<+，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当01x ≤<时，()f x 的值域；以及讨论1a >，01a <<时()g x 的值域，由题意可得()f x 和()g x 的值域存在交集，即可得到所求范围；【小问1详解】由101x x ->+，可得11x -<<，故函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即()f x 为奇函数.又()()1212lg lg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，函数211y x =-++在()1,1-上单调递减，值域()0,∞+.由复合函数的单调性质知()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()lg20f f x f +>，转化为()()()lg2f f x f >-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()lg2lg2ff x f f >-=-，因为()f x 在()1,1-上单调递减，所以()1lg2f x -<<-，即11lg lg21x x --<<-+，即1111012x x -<<+，即111102x x x ++<-<，解得19311x <<，为则原不等式的解集为19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以[)0,1x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域有交集.因为()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭在[)0,1上是减函数，()01f =，所以()f x 的值域为(],0-∞，当1a >时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递减，故()g x 的值域为(]3,2a -，所以30a -<即3a >，当01a <<时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递增，故()g x 的值域为[)2,3a -，不符.综上所述，实数a 的取值范围为()3,+∞.。

成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。