平面向量专题复习一★知识梳理 ★1.平面向量基本定理和平面向量的坐标表示 (1) 平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ， λ，使 a ＝ λe ＋ λe121 12 2此中，不共线向量e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内全部向量 的一组基底．(2) 平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则a ＋b ＝ (x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)， a － b ＝ (x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa ＝ (λx 1， λy 1， | a | ＝ 22 1＋ 1 [根源 学&科&网 ]) x y .(3) 平面向量共线的坐标表示设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，此中 b ≠ 0. a ∥ b ? x 1 y 2－ x 2y 1＝ 0.3.平面向量的数目积 (1) 定义 ：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数目 |a ||b |cos θ叫做 向量 a 和 b 的数目积，记作 a ·b ＝ | a || b |cos θ. 规定：零向量与任一直量的数目积为 0.（ 2））向量数目积的几何意义：| b |cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ( θ是向量 a 与 b 的夹角 )．a ·b 的几何意义是：数目 a ·b 等于 ．（2）数目积的坐标表示：设向量 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则 a ·b ＝ x 1x 2＋ y 1y 2 ，一 基础再现考点 1. 平面向量的相关观点1.假如实数 p 和非零向量 a 与 b 知足 pa ( p 1)b0 ，则向量 a 和 b ▲．（填“共线”或“不共线” ）． 考点 2 ：平面向量的线性运算2（. 2014 高考福建卷改编） 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCDuuur uuur uuur uuur所在平面内随意一点，则 OA OB OC OD 等于(1)OM ; ( 2)2OM ; (3)3OM ; (4) 4OM考点 3：平面向量的坐标表示r rrr考点 4：平面向量的的数目积r r r r 3 r r4. 已知向量 a 和 b 的夹角为 1200 ， | a | 1,| b | ，则 | 5a b |．考点 5：平面向量的平行与垂直r r r rr5.已知平面向量 a =（ 1，－ 3）， b =（4，－ 2）， a b 与 a 垂直，则 =6. 设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 ab 与向量c ( 4， 7) 共线，则．考点 6：平面向量的应用7．已知 a ，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量 c 知足 (a － c) ·(b － c)＝ 0，则 |c|的最大值是()2 A ． 1B ． 2C ． 2D ． 21.答案：共线2.答案： 4OM分析：由已知 OAOM1CA,OB OM1DB, OC OM1AC,OD1222OMOBOC 0D4OMBD , 于是 OA2 rrrr2,13,522,1345 27 33.答案：∵ a3,5 ,b∴a 2b，，r r 2r r 2 r 2 r rr 2 12 10 1 31 32 49 ， 4.答案： 5a b5ab25 a10a ?b b = 252r r5a b 7评析：向量的模、向量的数目积的运算是常常考察的内容，难度不大，只需仔细，运算不要出现错误即可r r4, 3 r1, 3 , r r r 5.答案：因为 a b2 , a a b a∴ 4 3 3 2 0 ，即 10 10 01.6.答 案 ：a b ＝ (2,23) 则 向 量 a b 与 向 量 c( 4， 7) 共 线2 4 22377.解： 2.二 典范分析1 2 例 1(1)(2013 ·江苏高考 )设 D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点， AD ＝ AB ， BE ＝ BC.23uuur uuuruuur1若 DE ＝ λ1AB ＋λ2AC 1212(λ， λ为实数 )，则 λ＋λ的值为 ________．2uuur uuur(2) 如图，在△ ABC 中，设 AB ＝ a ， AC ＝b ，AP 的中点为 Q ，BQ 的中uuur点为 R ，CR 的中点恰为 P ，则 AP 等于 ________________ ．答案：27a ＋ 47b.uuuruuuruuur uuur例 2 (2014 ·济南调研 )如图，在△ ABC 中， AN ＝ 31NC ，P 是 BN 上的一点， 若 AP ＝m AB ＋2 uuur311 AC ，则实数 m 的值为 ________．11例 3． (2014 ·天津高考 )已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120°，点 E ， F 分别在边 BC ，uuur uuur uuur uuur ＝－ 2，则 λ＋ μ＝ ( C )DC 上， BE ＝ λ BC ， DF ＝μ DC.若 AE ·AF ＝1， CE ·CF3A ． 1B ． 2 2357 C ．6D ． 12例 4．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a 与 b 的夹角是 120°.(1)计算：① |a ＋ b|，② |4a －2b|；(2)当 k 为什么值时， (a ＋ 2b)⊥ (ka － b)?1解： 由已知得， a ·b ＝ 4× 8× － 2 ＝－ 16.(1)①∵|a ＋ b|2＝ a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 16＋ 2× (－ 16)＋64＝ 48，∴|a ＋ b|＝ 43.②∵|4a － 2b|2 ＝16a 2－ 16a ·b ＋ 4b 2 ＝16× 16－16× (－ 16)＋ 4× 64＝ 768，∴|4a － 2b|＝ 16 3.(2)∵(a ＋ 2b)⊥ (ka － b)， ∴(a ＋ 2b) ·(ka － b)＝ 0，∴ka 2＋ (2k － 1)a ·b － 2b 2＝ 0，即 16k －16(2k － 1)－ 2×64＝ 0.∴k ＝－ 7.即 k ＝－ 7 时， a ＋ 2b 与 ka －b 垂直．ururur =1，urur ur例 5. 若平面向量， 知足1 | ，且以向量， 为邻边的平行四边形的面积为1urur的范围是 ________．，则与 的夹角 2uur uuur分析：如图，作 OA ＝ α， OB ＝β，此中，点 A 在单位圆上，点1B 在单位圆内，由已知获得△ ABO 的面积为 4，故点 B 在如图所示的线段上，线段与所在的直线间的距离为1，CDCDOA2则∠ AOC ＝ π，∠ AOD ＝5π，所以， α 与 β 的夹角 θ 的范6 6π5π围是 6 ， 6 .三 稳固训练1．已知向量 a( 1 ,3), b( 3 , 1) ，则以下关系正确的选项是 ( )2 22 2A 、 a bB、 ( a b) (a b) C 、 a ( a b ) D 、 a ( a b )2．若 | a b | | a b | 2 | a |，则向量 ab 与 a 的夹角为（）A ．B．6C．2D．533 63．在 ABC中， AB 2， BC3 ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的中，uuuruuur uuur点，若 AOAB BC ，则的值为（ ）A.2B. 3C. 5D. 134uuur6uuurr uuur uuur4．已知 O 为 ABC 内一点，知足 uuurOA OB OC 0 , AB AC 2 , 且 BAC, 则3OBC 的面积为（）- 12 -A ．1B．3 C．3 D．223235．对随意愿量 r ra, b ，以下关系式中不恒成立的是（）r r r r Br r r r A ． | a b | | a || b |． | a b | || a | | b ||r rr rrr r r r 2 r 2 C ． ( a b) 2 | a b |2D．(a b)( a b)abuuur uuur uuur 1 uuur t ， 若 P 点 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且6 ． 已 知 AB AC , AB t , ACuuuruuuruuuruuur uuurAB4 AC 的最大值等于（）APuuuruuur ，则 PB PCABACA ．21B．19C ．15D ．13r r r7. 向量 a,b, c 在正方形网格中的地点以下图，r r r , R ，则=.若 ca br1, r2,r r 8．已知 a2 ，b，且 a 与 b 的夹角为锐角， 则实数 的取值范围是.9．如图，在平行四边形 ABCD 中， AP ⊥ BD ，垂足为 P ，AP=3，点 Q 是△BCD 内 ( 包含界限 ) 的动点，则 uur uur . 的取值范围是AP AQ10．设 A 是平面向量的会合， a 是定向量，对 xA ，定义 f (x)x2(a x) a ．现给出以下四个向量：① a (0 , 0) ，② a2 , 2，③ a 2 ,2，④ a 1 ,3 ．442222那么关于随意x 、 y A ，使 f ( x) f ( y)x y 恒成立的向量 a 的序号是（写出知足条件的全部向量 a 的序号）．11．已知平面上三个向量 a , b ,c ，此中 a (1, 2) ，（1）若 c 2 5 ，且 a ∥ c ，求 c 的坐标；（2）若 b5，且 ( a2b) (2a b) ，求 a 与 b 夹角的余弦值 .212 ．ABC 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形 ，uuur uuuruuur uuur 1 1) ,连接 EF 交 AC 于点 D ．BE 2 BA , BFBC( 2（1）当 2 uuuruuur uuur时，设 BAa, BCb ，用向量 a,b 表示 EF ；3uuur uuur（2）当为什么值时， AE FC 获得最大值，并求出最大值 .r r13．已知向量 a, b 不共线， t 为实数．uuurr uuur r uuur 1 r r（Ⅰ）若 OA a ， OB tb ， OC 3 (a b) ，当 t 为什么值时， A, B,C 三点共线；r r r rrr（Ⅱ） 若 | a | | b | 1，且 a 与 b 的夹角为 120o ，实数 x [ 1, 1 ] ，求 | axb | 的取值范围．2平面向量单元测试参照答案1． Br ( 1 , r( 3 , 1) 【分析】 Q a 3 ) ， b2 2 2 2r r3 , 3 1) ，r r3 , 3 1)a b (1a b (12222r rr r13 1 3 3 1 3 1 1 3 3 1( ab) ( ab)222244r r r r ( a b)( a b)应选 B【考点】平面向量的数目积.2． A 【分析】r rr r r r r r r试题分析： Q a b a b a, b 组成矩形两临边 Q a b 2 a 所以矩形对角线长是一边长的 2 倍，联合图形可知 a b 与 a 的夹角为3考点：向量的平行四边形法例 3． A 【分析】试题分析：∵在ABC 中， AB 2 ， BC 3， ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高，∴BDAB sin 60 o1 uuur1 uuur, 又 O 为 AD，∴ BDBC 的 中 点 ， ∴1 uuur31 uuuruuur1 uuur uuur1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 12 AOAD( AB BD )2 ( AB BC )2 AB6 BC , ∴2 6，故2 233选 A考点：此题考察了向量的运算评论：平面向量不单有数的特点还有形的特点，所以能够利用平面向量的几何意义或许数形联合能够求解某些问题4． B 【分析】uuur uuur uuur r uuur uuur试 题 分 析 ： OA OB OC 0 O 为 三 角 形 的 重 心 ， 由 AB AC 2 得 bc 4 S ABC13bc sin A ，2所以OBC 的面积为33考点：向量运算与解三角形5． B【分析】因为 r r r r r r r rr ra b a b cos a, b a b ，所以选项 A 正确；当 a 与 b 方向相反时，r r r r不可立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 Ca b a b 正确； r r r r r 2 r 2，所以选项 D 正确．应选 B ．a b a ba b 【考点定位】 1、向量的模； 2、向量的数目积．【名师点晴】 此题主要考察的是向量的模和向量的数目积， 属于简单题． 解题时必定要抓住重要字眼“不” ，不然很简单出现错误．解此题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数目rrr rrrr 2 r2积，即 a b a b cos a, b ， aa ．6． D【分析】以 A 为坐标原点，成立平面直角坐标系，以下图，则B(1,0) ， C (0, t ) ，uuurtuuur（ ， 0)+4(0,1)=(1,4)，即 P （1， 4) ，所以 =（ 1 ， -4) uuurAP PB ， PC =（ 1， t-4) ，11tuuur uuur14t 16 17 1 1 1 uuur uuur的最大值等于1 ( 4t) ，因为4t2 4t 4 ，所以PB PC t t t t13 ，当1 14t ，即 t 时取等号．t 2yCPB xA【考点】 1、平面向量数目积；2、基本不等式．【名师点睛】此题考察平面向量线性运算和数目积运算，经过建立直角坐标系，使得向量运算完整代数化，实现了数形的密切联合，同时将数目积的最大值问题转变为函数的最大值问uuurAB题，此题简单犯错的地方是对uuur 的理解不到位，进而致使解题失败．AB7． 4【分析】以向量 a，b 的交点为原点，成立直角坐标系，则 a=(-1,1) ，b=(6,2) ，c= (-1,-3) ，由 c=λa＋μ b，得1, 36 1,2, 1 ，1,16,2 ，即解得2 3, 24.yOx【考点定位】本小题考察了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理. 8． 1 且 4 .【分析】试题分析：因为r r r r a b 0a 1, 2 ，b 2, ，且 a 与 b 的夹角为锐角，所以，a与b不平行2 20即，解得 1 且 4 .4考点：平面向量的夹角.9．[9,18] .【分析】uur uur uur uur试题分析：由数目积的定义，有，（此中为两向量的夹角），AP AQ | AP|| AQ| cosθ| AP | uur AQ AP而 3 , | AQ|cosθ在向量上的投影，由点Q 是△ BCD内 ( 包含界限 )为向量的动点且 AP⊥ BD，所以AQ在向量AP上的投影最小时即为| AP |，此时uur uur uur uur9 ，AQ在向量AP上的投影最大时如图为| AM | （Q AP AQ | AP|| AQ| cosθ 3 3落在 C 上），由三角形AOP与三角形ACM相像且 O 为 AC中点易知| AM | 2| AP | 6 ，uur uur uur uur3 6 18 ，故填 [9,18] .此时 AP AQ | AP|| AQ|cosθuur考点：数目积的定义及| AQ|cosθ的几何意义.10．①③④【分析】试题分析：① a (0 , 0) 时， f ( x ) x ，知足 f ( x) f ( y) x y ；当a 0时，f ( x) f ( y)(x 2(a x) a) ( y 2(a y) a)x y 4( a x)( a y) 4(a2x)(a y)a要知足 f (x)f ( y)x y ，需知足 4( a x)( a y)4(a x)(a 2，所以 a2y)a 1 ，关于2 , 2，④ a1 , 32③ a， a 1 ，故答案为①③④2222考点：向量的数目积的运算律．11．（ 1） c ( 2, 4) ，或 c( 2, 4) 。
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与 【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋ ＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标． 【答案】(1) ，；（2）.【解析】 （1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】 由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得． 故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .， 得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得； 由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。
