一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}2|2,,|10x A y y x R B x x ==∈=-<，则AB =（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．()0,+∞ 【答案】C 【解析】考点：集合的运算. 2.已知复数312a ii+-是纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】 试题分析：由()()()()()52362121213213ia a i i i i a i i a ++-=+-++=-+为纯虚数，则6=a ，故选项为D. 考点：复数的运算. 3.设随机变量()2,4N ξ，若()()223P a P a ξξ>+=<-，则实数a 的值为（ ）A ． 1B ．53C ．5D ．9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知随机变量()2,4N ξ，满足正态分布，对称轴为2=u ，()()223P a P a ξξ>+=<-，则：22322=-++a a ，解得35=a .故选：B ．考点：正态分布.4.已知函数()f x 的导函数()'f x ，且满足()()2'1ln f x xf x =+，则()'1f =（ ）A ．e -B ．1-C ． 1D ．e 【答案】B 【解析】试题分析：由()()2'1ln f x xf x =+，得()xf x f 1)1(2+'='，故()()1121+'='f f ，故()11-='f ，故选项为B.考点：导数的计算.5.设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若αβ，则k =（ ）A ．2B ．4-C ．2-D ．4 【答案】D 【解析】考点：共线向量与共面向量.6.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由“21x -<”得31<<x ，由220x x +->得1>x 或2-<x ，即“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选：A ． 考点：充分条件与必要条件的判断.7.若变量,x y 满足约束条件13215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x y ω=的最大值是（ ）A ．100B ．240C ． 500D ．512 【答案】D 【解析】考点：（1）简单的线性规划；（2）有理数指数幂的化简.8.已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．()0,4C ． ()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】A 【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否定为命题p ⌝：0,2≥++∈∀a ax x R x ，∵命题p 为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即02≥++a ax x 恒成立，∴042≤-=∆a a ，解得40≤≤a ，故答案为：A. 考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题p 与命题p ⌝真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将∃变为∀，结论否定写出命题p 的否定0,2≥++∈∀a ax x R x ；利用命题p 与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于0求出a 即可．9.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()|P B A =（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【答案】A 【解析】考点：条件概率与独立事件.【方法点睛】本题考查条件概率，本题解题的关键是看出事件AB 同时发生的概率，正确使用条件概率的公式．本题是一个条件概率，即事件A 在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率，()()()A P AB P A B p =，第一次出现正面的概率是21，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是412121=⨯，代入条件概率的概率公式得到结果．10. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调 换方式有（ ）A ．38CB ． 3388C AC C ． 3282C CD ．383C 【答案】C 【解析】试题分析：从8人中任选3人有38C 种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有22A 种，故有2238A C 种．故选C ．考点：排列、组合的实际应用.11.如图，正方形1A BCD 折成直二面角A BD C --，则二面角A CD B --的余弦值是（ ）A ．13 BC ．12D【答案】B 【解析】则()0,0,0O ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,0A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,22C ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22,0D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,0,0是平面BCD 的一个法向量．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22,0,22，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,22,22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0,22,22，设平面ACD 的法向量()z y x ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-0222202222z x y x ，即⎩⎨⎧==x z x y ，令1=x ，则1=y ，1=z ，解得()1,1,1=．从而3322322cos =⨯，二面角B CD A --的余弦值为33，故选：B.考点：二面角的平面角及其求法.【思路点晴】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是分别求出平面ACD 和平面BCD 的法向量，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．由已知可得⊥AO 平面BCD ，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -，分别求出平面ACD 和平面BCD 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角B CD A --的余弦值．12.过点()2,1A 作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ． 1条D ．0条 【答案】A 【解析】考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，是中档题．设出切点坐标，求出切点处的导数，利用切点既在曲线上又在切线上，写出切线方程把A 的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则DC AP 的取值范围 是 ． 【答案】[]0,1 【解析】试题分析：以DA 所在的直线为x 轴，以所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D 、()0,1,0C 、()0,0,1A 、()0,1,1B 、()1,0,01D ．∴()0,1,0=、()1,1,11--=BD ．∵点P 在线段1BD 上运动，∴()λλλλ,,1--=⋅=BD ，且10≤≤λ．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴[]1,01∈-=⋅λ，故答案为[]0,1．考点：平面向量数量积的运算.14.nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+312 的展开式中各项的系数之和为729, 则该展开式中2x 的系数为 . 【答案】16015.已知复数z x yi =+，且z -yx的最大值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：复数z x yi =+且|z -()0,2为圆心，3为半径的圆，()3222=+-y x ．则yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设k x y =，即kx y =，3122≤+k k ，可得[]3,3-∈k ，则yx的最大值为：3．故答案为：3． 考点：复数的代数表示法及其几何意义. 16.已知实数,x y满足x y =-，则x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：∵x y =-，∴24231++≤+++=+y x y x y x ，则()()422++≤+y x y x ，解得：42≤+≤-y x ，∴y x +的最大值为4.故答案为：4.考点：基本不等式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问 题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分 别为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率. 【答案】（1）分布列见解析，6133=ζE ；（2）1289.()41113111293105435435436020P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==; ()4314121322613205435435436030P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==; ()43224230543605P ξ==⨯⨯==.ξ的分布列为()13132133010203060203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）用A 表示“甲得30分乙得0分”, 用B 表示“甲得20分乙得10分”, 且,A B 互斥,又()33194601280P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭,()2233138144201280P B C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭,甲、乙两队得分总和为30分且甲获胜的概率为()()()9091280128P A B P A P B +=+==. 考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.18.（本小题满分10分）在直角坐标系中, 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,过点()2,4P --的直线2:(4x l ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数) 与曲线C 相 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）若,,PM MN PN 成等比数列, 求实数a 的值. 【答案】（1）()220,20y ax a x y =>--=；（2）1=a .【解析】试题分析：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=，由2(4x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)，消去参数t 可得所求；（2）将2(4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入ax y 22=并整理可得t 得二次方程，由韦达定理可得21t t +和21t t ⋅的值，由等比中项可得PN PM MN =2，整体代入可得a 得方程，解方程可得．试题解析：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=,得()220y ax a =>.由2(4x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数), 消去t 得20x y --=, ∴曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程分别是()220,20y ax a x y =>--=;考点：（1）直线的参数方程；（2）简单曲线的极坐标方程.19.（本小题满分12分）如图, 在四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD,,,,1,2,PA PD PA PD AB AD AB AD AC CD ⊥=⊥====（1）求证:PD ⊥ 平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ,使得BM 平面PCD ？若存在, 求AMAP的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）33；（3）存在，41. 【解析】试题分析：（1）由已知结合面面垂直的性质可得⊥AB 平面PAD ，进一步得到PD AB ⊥，再由PA PD ⊥，由线面垂直的判定得到⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 中点为0，连接CO ，PO ，由已知可得AD CO ⊥，AD PO ⊥．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()1,0,0P ，()0,1,1B ，()0,1,0-D ，()0,0,2C ，试题解析：（1）证明: 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,,AB AD AB ⊥∴⊥平面,PAD AB PD ∴⊥, 又因为,PA PD PD ⊥∴⊥平面PAB .（2）如图, 取AD 的中点O ,连接,.,,PO CO PA PD PO AD =∴⊥又因为PO ⊂平面PAD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,PO ∴⊥平面ABCD ,CO ⊂平面ABCD ,,PO CO AC CD CO AD ∴⊥=∴⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -,由题意()()()()()0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1A B C D P -.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =,则00n PD n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即020y z x z --=⎧⎨-=⎩,令2z =,则()1,2,1,2,2x y n ==-∴=-,又()1,1,1,cos n PB PB n PB n PB =-∴<>==-, 所以直线PB 与平面PCD . 考点：（1）线面平行的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）线面平行的性质.【方法点睛】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．把线面的关系转化为向量之间的关系，直线与平面所成的角的正弦值即直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；线平行于面即线的方向向量与面的法向量垂直，等价于其数量积为0.20.（本小题满分12分）已知()()221ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时, 证明()()3'2f x f x >+对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（1）当0a ≤时,()f x 在()0,1内单调递增,在()1,+∞内单调递减,当02a <<时,()f x 在()0,1内单调递增,在⎛ ⎝内单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增,当2a =时,()fx 在()0,+∞内单调递增, 当2a >时,()f x在⎛ ⎝内单调递增,在⎫⎪⎪⎭内单调递减, 在()1,+∞单调递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数()()()x f x f x F '-=，令()x x x g ln -=，()121332--+=xx x x h ．则 ()()()()()x h x g x f x f x F +='-=，利用导数分别求()x g 与()x h 的最小值得到()23>x F 恒成立．由此可得()()23+'>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立． 试题解析：（1）()f x 的定义域为()()()()223321220,,'ax x a f x a x x x x --+∞=--+=,当0a ≤时,()0,1x ∈ 时,()()'0,f x f x > 单调递增, ()1,x ∈+∞时, ()()'0,f x f x < 单调递减, 当0a >时,()()312'a x f x x x x a ⎛⎫⎛-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝.①02a <<时1>, 当()0,1x ∈或x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,()()'0,f x f x > 单调递增, 当x ⎛∈ ⎝时, ()()'0,f x f x < 单调递减.②2a =时1=, 在()0,x ∈+∞内, ()()'0,f x f x ≥ 单调递增.③当2a >时,01<<, 当x ⎛∈ ⎝或()1,x ∈+∞时, ()()'0,f x f x > 单调递增, 当x ⎫∈⎪⎪⎭时, ()()'0,f x f x < 单调递减.（2）证明: 由（1）知1a =时,()()[]2232321122312'ln 1ln 1,1,2x f x f x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫-=-+---+=-++--∈ ⎪⎝⎭, 设()()[]23312ln ,1,1,2g x x x h x x x x x=-=+--∈,则()()()()'f x f x g x h x -=+,由()1'0x g x x-=≥,可得()()11g x g ≥=,当且仅当1x =时取得等号, 又()22326'x x h x x --+=,考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.：。
