第四节 万有引力定律在天文学上的应用

第四节万有引力定律在天文学上的应用知识要点：一、天体质量和密度的计算（以地球为例）1、“g、R”计算法：若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，依mg＝GMm/R2得M＝gR2/G，∴ρ＝M/V＝3g/4πGR“GM＝gR2”通常称为黄金代换式，在求解一些问题时很有用处。

2、“T、r”计算法：若已知地球的卫星（如月球）绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，由GMm/r2＝m(2π/T)2r，得M＝4π2r3/GT2，∴ρ＝M/V＝3πr3/GT2R3。

若某一卫星绕地球在近地表面做圆周运动，则r＝R，此时ρ＝3π/GT2。

只需测定运行周期即可。

当然，向心力还有其他各种表述形式，如GMm/r2＝m(2π/T)2r＝mv2/r＝mω2r，可得M＝4π2r3/GT2＝v2r/G＝ω2r3/G。

因此只要知道某一天体的轨道半径与线速度、角速度、周期、频率中的某一个参数，就可算出吸引它做圆周运动的另一天体，也就是中心天体的质量和密度。

二、环绕同一天体做圆周运动的不同星体的运动参数关系1、运行速度（线速度）与半径的关系由GMm/r2＝mv2/r，可得v＝√GM/r，即v∝√1/r由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的线速度与轨道半径平方根成反比，即同一半径上各星体的线速度相等，轨道半径越大，线速度越小，而且线速度与它自身的质量m无关。

2、角速度与半径的关系由GMm/r2＝mω2r，可得ω＝√GM/r3，即ω∝√1/r3，由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的角速度与轨道半径的三次方的平方根成反比，即同一半径上各星体的线速度相等，轨道半径越大，线速度越小，而且线速度与它自身的质量m无关。

3、周期与半径的关系由GMm/r2＝m(2π/T)2r，可得T2＝4π2r3/GM，即T2∝r3，由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的周期的平方与轨道半径的三次方成正比（若将天体的实际随圆运动看作圆周运动，这就是开普勒第三定律），同一轨道上各星体的运动周期相等，轨道半径越大，周期越大。

三、发现未知天体历史上天文学家曾经根据万有引力计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较大的偏离，促使天文学家经过进一步研究先后发现了海王星和冥王星。

海王星和冥王星的发现进一步证明了万有引力定律的正确，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义，海王星和冥王星的发现是理论指导实践的光辉典范，这表明：一个科学理论，不仅要能够说明已知的事实，而且要能预言当时还不知道的事实。

典型例题：例1、要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有（）A．已知地球半径R；B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v；C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T；D．地球公转的周期T1及动转半径r1。

解析：由mg＝GMm/R2，得M＝gR2/G，所以选项A正确。

由GMm/r2＝mv2/r，得M＝rv2/G，所以选项B正确。

由M＝rv2/G，得M＝rv2/G＝(vT/2π)v2/G＝v3T/2πG，所以选项C正确。

若已知地球公转的周期T1及动转半径r1，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D是错误的。

故正确答案应选ABC。

例2、把太阳系中各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（）A．周期越小；B．线速度越小；C．角速度越小；D．加速度越小。

解析：太阳系中各行星近似做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则：GMm/r2＝mv2/r＝mω2r＝m(2π/T)2r＝ma，所以：v＝√GM/r，ω＝√GM/r3，T＝2π√r3/GM，a＝GM/r2，离太阳越远的行星，即轨道半径r越大。

由以上各式得：r↑→v↓，r↑→ω↓，r↑→T↑，r↑→a↓，所以BCD正确。

例3、在某星球上，宇航员用弹簧测力计测得质量为m的砝码重量为G1，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间习行，测得其环绕周期是T，根据上述数据，试求该星球的质量。

解析：砝码的重量等于万有引力，设星球半径为R，由G1＝GMm/R2得R＝√GMm/G1①设宇宙飞船质量为m1，宇宙飞船靠近星球表面飞行，其轨道半径约等于星球半径，做圆周运动的向心力等于万有引力由GMm1/R2＝m1(2π/T)2R得M＝4π2R3/GT2②①代入②：M＝4π2(√GMm/G1)3/GT2，得M＝T4G13/16π4Gm3。

例4、宇宙中有一种双星，质量分别为m1，m2的两颗星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为L，不考虑其他星体的影响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？解析：如右图所示，双星绕一圆心O做匀速圆周运动所需的向心力，是双星彼此之相互吸引的万有引力，设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2（R1＋R2＝L），由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时，角速度和周期也都相同。

由向心力公式得：对m1：Gm1m2/L2＝m1ω2R1，对m1：Gm1m2/L2＝m2ω2R2，所以m1R1＝m2R2，又因为R1＋R2＝L，故R1＝m2L/(m1＋m2)，R2＝m1L/(m1＋m2)，由Gm1m2/L2＝m1ω2R1，将ω＝2π/T和R1＝m2L/(m1＋m2)代入得T2312例5、在地不上观测太阳，测得太阳对地球的视角θ（太阳边缘两端向地球所引的两条直线间的夹角）为0.5°，又测得地球表面纬度1°所对应的经线长度L为100km，1年按365天计算，试估算太阳的平均密度ρS与地球的平均密度ρE的比值。

解：由ρS＝M S/(4πR S3/3)，ρE＝M E/(4πR E3/3)，得ρS/ρE＝M S R E3/M E R S3①太阳对地球的视角θ决定于太阳半径R S与地球绕太阳公转半径r，即2R S＝rθ，其中θ＝0.5°＝0.5×2π/360＝π/360则2R S＝πr/360 ②再由地球绕太阳运动的动力学方程有GM S M E/r2＝M E(2π/T)2r ③由②、③消去r可得：GM S/R S3＝4×7203/πT2，④式中T为地球公转周期。

再由重力近似与地球对物体的万有引力相等，则有mg＝GM E m/R E2⑤又L＝2πR E/360（L为纬度1°所对应的经线长）⑥由⑤、⑥可得：GM E/R E3＝2πg/360L ⑦由①、④、⑦可得ρS/ρE＝7204L/π2T2g＝0.27例6、火星和地球绕太阳的运动可以近似地看作在同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径R1＝2.3×1011m，地球的轨道半径R2＝1.5×1011m，试估算火星冲日的时间间隔（即火星距地球最近时的时间间隔）。

解析：火星距地球最近时，即太阳、火星、地球三者在一条直线上且位于太阳抽侧（如右图所示），到下次火星冲日时，应为地球比火星多绕一圈。

即多转角度2π所用的时间。

设火星公转周期为T1，地球公转周期T2＝1年，火星冲日的时间间隔为ΔT，则：ω2－ω1＝2π/ΔT，∴ΔT＝2π/(ω2－ω1)＝2π/(2π/T2－2π/T1)＝T2T2/(T1－T2)由万有引力充当向心力可得：GMM1/R12＝M14π2R1/T12②GMM2/R22＝M24π2R2/T22③由②、③可得：T12/T22＝R13/R23，即T1＝T2√R13/R23＝1.9T2＝1.9年将T1＝1.9年，T2＝1年代入①式可得：ΔT＝2.1年，即火星冲日的时间间隔为2.1年。

例7、设地球E（质量为M）是沿圆轨道绕太阳S运动的，当地球运动到位置P时，有一艘宇宙飞船（质量为m）在太阳和地球连线上的A处从静止出发，在恒定的推进力F作用下，沿AP方向做匀加速运动，如图所示，2年后，在P处飞船掠过地球上空，再过半年，在Q处又掠过地球上空，设地球与飞船间的引力不计，根据以上条例7图件证明：太阳地球间引力等于9π2MF/4m。

解析：设地球绕太阳做圆周运动的半径为R，则PQ＝2R，飞船从A点到P时间t1＝2年，从P到Q点的时间t2＝0.5年，则t1/ t2＝4︰1 ①设飞船运动的加速度为a，则a＝F/m ②则a(t1＋t2)2/2－at12/2＝2R，③设地球公转周期为T＝1年，则t1＝2T，t2＝0.5T ④由①、②、③、④可得R/T2＝9F/16m，由于太阳与地球间引力充当向心力，故F引＝M4π2R/T2＝9π2MF/4m。

同步训练：知识掌握1、若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出（）A．某行星的质量；B．太阳的质量；C．某行星的密度；D．太阳的密度。

2、下列说法中正确的是（）A．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用。

D．以上均不正确。

3、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅只需（）A．测定运行周期；B．测定环绕半径；C．测定行星的体积；D．测定运动速度。

4、已知某行星绕太阳运动的轨道半径为r，周期为T，太阳的半径是R，则太阳的平均密度是___________。

（万有引力常量为G）5、两个行星的质量分别为m和M，绕太阳运行的轨道半径分别是r和R，则：①它们与太阳之间的万有引力之比是___________。

②它们公转的周期之比是___________。

6、两颗行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运动的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳万有引力作用，那么，这两颗行星的向心加速度之比为（）A．1；B．m2r1/m1r2；C．m1r2/m2r1；D．r22/r12。

7、设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常数，即T2/R3＝K，那么K的大小决定于（）A．行星质量；B．恒星质量；C．行星及恒星的质量；D．恒星的质量及行星的速率。

8、两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则（）A．它们绕太阳运动的轨道半径之比是1︰3；B．它们绕太阳运动的轨道半径之比是1︰91/3；C．它们绕太阳运动的速度之比是31/3︰1；D．它们受太阳的引力之比是9︰91/3。

能力提高9、两个球形行星A和B各有一个卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星的表面，如果两行星质量之比M A/M B＝p，两行星半径之比R A/R B＝q，则两卫星周期之比T a/T b为（）A．q√q/p；B．q√p；C．p√p/q；D．√pq10、地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，可以用下式（）来估计地球的平均密度。