万有引力定律及其应用

万有引力定律及其应用一、万有引力定律：（1687年）适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：（一）、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222rv m r Mm G =＝r T m 224πr m 2ω=； （二）、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2g 。

（2）圆周运动的有关公式：ω＝Tπ2，v=ωr 。

讨论：1）由222rv m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。

2）由r m rMm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。

3）由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。

4）由向ma r Mm G =2可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。

点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。

人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T =301s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

(引力常数G =6.67⨯1011-m 3/kg.s 2) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ334R M = 由以上各式得23GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ⨯=ρ。

（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：2002R GM g mg R Mm G=∴= 轨道重力加速度：()()22h R GMg mg h R GMm h h +=∴=+【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。

设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有m g r GMm=2 ……经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。

上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确的解法是 卫星表面2R Gm＝g 行星表面20R GM=g 0 即20)(R R M m =0g g 即g =0.16g 0。

（3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星1、第一宇宙速度在山上平抛一个物体，若速度小一些，它将在离山底较近的地方落地。

如果速度增大一些，它将落得远一些。

当物体所受的万有引力全部用来提供它做圆周运动的向心力时，它将围绕地球旋转，成为一颗人造地球卫星。

代入地球质量M=6×1024kg ， 地球半径R=6.4×106m ，万有引力恒量G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2 可求得v=7.9km/s这个速度为在地面上平抛一个物体使它能够成为一个人造地球卫星所需要的最小速度，又称第一宇宙速度。

2、运行速度卫星围绕地球做匀速圆周运动，它和地球之间的万有引力提供它所需的向心力，设其轨道半径为r ，则有，由此可知，卫星围绕地球的运行速度与卫星的质量无关，地球质量一定，所以其速度只与轨道半径有关。

轨道半径越小，运行速度越大。

当轨道半径为最小值R=6.4×106m 时，其速度 ，与第一宇宙速度相等。

所以7.9km/s 又是所有围绕地球运行的卫星中速度的最大值。

3、同步卫星（1）与地球的自转同步，所以其运行方向为自西向东旋转，运行周期为24小时（2）由于卫星做匀速圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，所以这种卫星的轨道平面与赤道平面平行由牛顿第二定律可得代入地球质量M=6×1024kg ，万有引力恒量G=6.67×10-11N ·m 2kg 2，地球自转的周期T=24×3600=86400s ，可求得其轨道半径为r=4.2×107m由于地球半径R=6.4×106m ，可知同步卫星距离地面的高度h=r-R=3.6×107m其运动速率宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。

“一号”是极地圆形轨道卫星。

其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h ；“二号”是地球同步卫星。

两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。

若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。

解析：根据周期公式T=GM r 32 知，高度越大，周期越大，则“风云二号” 气象卫星离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号” 观察范围较大；根据运行速度公式V=r GM知，高度越小，速度越大，则“风云一号” 运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是12h ，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变。

则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。

【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）A ．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B ．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A 是错误的。

由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B 是错误的。

赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故C 、D 是正确的。

【例5】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是A ．它们的质量可能不同B ．它们的速率可能不同C ．它们的向心加速度可能不同D ．它们离地心的距离可能不同（4）双星问题：【例6】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

解析：设两星质量分别为M 1和M 2，都绕连线上O 点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为l 1和l 2。

由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M 1：G 221R M M ＝M 1（Tπ2）2 l 1 ∴M 2＝21224GT l R π对M 2：G 221R M M ＝M 2（T π2）2 l 2 ∴M 1＝22224GTl R π 两式相加得M 1＋M 2＝2224GT R π（l 1＋l 2）＝2324GT R π。

（5）有关航天问题的分析：【例7】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H ＝3. 4⨯105m 的圆轨道上运行了47小时。

求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R =6.37⨯106m ，重力加速度g ＝9.8m/s 2）解析：用r 表示飞船圆轨道半径r =H + R ==6. 71⨯106m 。

M 表示地球质量，m 表示飞船质量，ω表示飞船绕地球运行的角速度，G 表示万有引力常数。

由万有引力定律和牛顿定律得r m r GMm22ω=利用G 2R M＝g 得 32r gR ＝ω2由于ω＝T π2，T 表示周期。

解得 T ＝R rπ2gr ，又n=T t 代入数值解得绕行圈数为n=31。

三、科技前沿信息型【例8】、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank 学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演变结果。

（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0×1012m 的另一个星体（设其质量为m 2）以2×106m/s 的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m 1。

（结果要求两位有效数字）（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为R Gm v 12=，其中引力常量G=6.67×10－11N ·m 2·kg －2，M 为天体质量，R 为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。

请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。

（结果只要求一位有效数字）解：（1）r v m rm Gm 22221= (3分) ∴kg G r v m 3521106.3⨯== (4分)（2）∵C R Gm >12 (3分) ∴212C Gm R < ∴m CGm R m 8211052⨯==(4分) 【例9】、某行星自转一周所需时间为地球上的6h ，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，已知万有引力恒量G ＝6.67×10－11N·m 2／kg 2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?[解析]在两极，由万有引力定律得 .2R Mm G mg = ① 在赤道R Tm g m R Mm G 2224π+'= ② 依题意mg ＇=O.9m g ③ 由式①②③和球体积公式联立解得332/1003.31.03m kg GT⨯==πρ 反馈训练一、单项选择题.1．下列说法符合史实的是( )A ．牛顿发现了行星的运动规律B ． 开普勒发现了万有引力定律C ．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量D ．牛顿发现了海王星和冥王星2. 下列说法正确的是（ ）A. 第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度B . 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度C. 如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点D. 地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的3. 关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（ ）A . 轨道半径越大，速度越小，周期越长 B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长4．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星 （ ）A ．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值B ．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C ．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值D ．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的5、科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定：（ ）A .这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的半径等于地球的半径C.这颗行星的密度等于地球的密度 D ．这颗行星上同样存在着生命6.若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出（ ）A.某行星的质量 B .太阳的质量C.某行星的密度D.太阳的密度7.2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG 6－30－15，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量（ ）A.地球绕太阳公转的周期和速度B.太阳的质量和运行速度C.太阳质量和到MCG 6－30－15的距离 D .太阳运行速度和到MCG 6－30－15的距离8．两行星A 、B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比M A ：M B =p ，两行星半径之比R A ：R B ＝q 则两个卫星周期之比T a ：T b 为 ( )A ．p q q ⋅ B.p q ⋅ C. p q p ⋅ D. qp q ⋅9．一宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度是v 1，周期是T 1，假设在某时刻它向后喷气做加速运动后，进入新轨道做匀速圆周运动，运动的线速度是v 2，周期是T 2，则（ ）A ．v 1＞v 2，T 1＞T 2B ．v 1＞v 2，T 1＜T 2C ．v 1＜v 2，T 1＞T 2D ．v 1＜v 2，T 1＜T 2二.多项选择.10．如图1所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a 、b 质量相同，且小于c 的质量，则（ ）A ．b 所需向心力最小B ．b 、c 周期相等，且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度 11.关于开普勒行星运动的公式23TR ＝k ，以下理解正确的是（ ）A .k 是一个与行星无关的常量 B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R 月，周期为T 月，则2323月月地地T R T R =C.T 表示行星运动的自转周期 D .T 表示行星运动的公转周期12．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 ，则（ ）A ．两行星密度之比为4∶1B ．两行星质量之比为16∶1C ．两行星表面处重力加速度之比为8∶1D ．两卫星的速率之比为4∶1三.填空题.13．两颗人造卫星A 、B 的质量之比m A ∶m B =1∶2，轨道半径之比r A ∶r B =1∶3，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比v A ∶v B = ，向心加速度之比a A ∶a B = ，向心力之比F A ∶F B = 。