用待定系数法确定二次函数

用待定系数法确定二次函数表达式知识点一、二次函数解析式的三种形式1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】A【解析】故选A．知识点二、待定系数法求二次函数表达式在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为 ．【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝3，∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．巩固练习一．选择题1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣22．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞03．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣54．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣165．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+16．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣37．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+38．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A．y＝2B．y＝2C．y＝8x2D．y＝9x29．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+210．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（ ）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+111．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣112．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1二．填空题13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 ．14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为 ．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 ．19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．21．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式是 ．22．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝ ，当x 时，y随x的增大而减小．三．解答题25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB =12．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数表达式；时，求m的值．（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的3428．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．（1）求抛物线的函数解析式；时，求点P的坐标；（2）当△BCP的面积等于9230．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC ＝S△EBC，求点D的坐标．31．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．32．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C 作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求△EGP的面积．。

求这个二次函数的表达式．
解：由二次函数y=ax²
＋bx＋c的图像经过点(－3，6)、(－2，－1)和(0，－3)，
得
= (－)² − + ，
൞− = (－)² − + ，
− = ，
= .
解得 ቐ = .
= −.
所求这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－3.
抛物线的顶点式
y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
归纳总结
你能总结出用顶点式确定二次函数表达式的一般步骤吗？
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
①设函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
5.如图，平面直角坐标系中，函数图像的表达式应是_______.

y
5
4
3
2
1
O
-4 -3 -2 -13-1
1 2 x
当堂检测
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的x和y满足下表：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
－1
0
m
8
…
(1)可求得m的值为_____；
3
y＝x2－4x＋3
(2)这个二次函数的表达式为______________．
解：把x=2，y=8代入y=ax²，得
8=2²×a
解得a=2.
所求这个二次函数的表达式为y＝2x2.

表达式. 一设、二代、三解、四还原
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+1， 把点(1,-8)代入上式得：a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1.
用顶点式求二次函数解析式
知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤 ： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=(x+3)(x+1), 即y=x2+4x+3.
用交点法求二次函数解析式
知道抛物线与x轴的两个交点,求解析式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一 元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
用一般式求二次函数解析式
【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
可得
4a+2b+1=4，
用顶点式求二次函数解析式
1.一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求
这个二次函数的表达式.
解：设函数表达式为：y=a(x-8)2+9.
把点(0,1)代入上式得：0=a(0-8)2+9.

初三年级奥数知识点：用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法仅仅一种方法，是一套固定程序，并不是什么公式。

就比如说二次函数，有一种一般表达式y=ax2+bx+c(a≠0)，那么a、b、c叫做系数，它们未知，有待确定所以叫“待定系数法”。

待定系数法就是要想办法找出这个二次函数过的三个已知点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x1、x2、x3、y1、y2、y3都是已知数)，把它们代入表达式ax12+by1+c=0ax22+by2+c=0ax32+by3+c=0解这三个方程能够求出a、b、c就算出了二次函数表达式。

有时候也不一定非要把这三个数都求出来，仅仅要它们之间的某些关系。

比如x=1代入可得y=a+b+c，也就是说如果图上画了横坐标为1的点就能够估算a+b+c的范围，如果图上这个点纵坐标大于0就能够知道a+b+c>0，如果小于零则能够知道a+b+c<0，等于零则能够知道a+b+c=0。

同样，画了一个横坐标是-1的点则代入y=a-b+c，横坐标为-1的点纵坐标就是a-b+c，也能够判断。

还比如与x轴交点有两个不同的则b2-4ac>0，只有一个则b2-4ac=0，没有则b2-4ac<0。

还有比如与y轴交点纵坐标就是c，等等。

另外二次函数还有两种形式，是两根式y=a(x-x1)(x-x2)，x1、x2分别是一元二次方程y=0的两个根，这时候a是系数未知，只要再找到一个在图像上的点代入坐标就能够求出a。

还有顶点式y=a(x-h)2+k，(h,k)是顶点坐标(或者最低点)，a是待定的系数，这时候还要知道图象上的一个点带入坐标算出a。

总结一下就是三种形式，必须知道三个普通点的坐标或者一个顶点、一个普通点的坐标就能够通过待定系数法确定二次函数表达式。

课后练习当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏水准能够用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响能够用公式I=2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度.① 列表表示I与v的关系;② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍 ?答案：①略②4倍。