初二数学根与系数的关系练习题

三次方程根与系数的关系练习题三次方程是一个重要的数学概念，在解三次方程时，了解根与系数之间的关系是很重要的。

下面是一些关系练题，旨在帮助你更好地理解三次方程的性质。

问题一考虑一个三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.如果它有一个根是2，求系数b，c，d与a的关系。

解答：由于2是三次方程的根，代入方程可以得到：a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 0简化后得到：8a + 4b + 2c + d = 0所以，系数b，c，d与a的关系是：4b + 2c + d = -8a。

问题二考虑一个三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.如果它的三个根分别是1，2，3，求系数a，b，c，d之间的关系。

解答：由于三次方程的根分别为1，2，3，可以形成下列三个方程：a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 0a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d = 0简化后得到：a +b +c +d = 08a + 4b + 2c + d = 027a + 9b + 3c + d = 0所以，系数a，b，c，d之间的关系可以表示为：a +b +c +d = 08a + 4b + 2c + d = 027a + 9b + 3c + d = 0问题三考虑一个三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.如果它有两个相同的根，并且这个根的值是p，求系数a，b，c，d之间的关系。

解答：由于方程有两个相同的根，可以将方程表示为：a(p)^3 + b(p)^2 + c(p) + d = 0简化后得到：p^3a + p^2b + pc + d = 0所以，系数a，b，c，d之间的关系是：p^3a + p^2b + pc + d = 0.总结通过以上练题，我们可以看到根与系数之间的关系。

A．10B．9C．8D．7
10．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则 =（ ）
A． B．1C． D．
11．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是_____．
12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程．
1．A
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【详解】
解： 是一元一次方程 的两根，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出x1+x2=2（k-1），将其代入t= 中可得出t= ，由方程有实数根，利用根的判别式△≥0可求出k的取值范围，进而即可求出t的最大值．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
23．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
24．关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
20．关于 的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为2，则另一个根是．
21．己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若 =﹣1，求k的值．

浙教版八年级下 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．52．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,14．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．135．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或76．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣17．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣1510．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝,x1•x2＝．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案与解析一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【解析】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6,故选：B．2．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,∴x1x2＝﹣1．故选：D．3．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,1【解析】解：设方程的另一个根为t,根据题意得2+t＝﹣p,2t＝﹣2,解得t＝﹣1,p＝﹣1．故选：C．4．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝﹣2,所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．5．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,∴4a2﹣14a+6a＝0,解得a＝0或a＝2,∴当a＝0时,方程为x2﹣7x＝0,∵x1＝0,∴x2＝7；当a＝2时,x2﹣7x+12＝0,∵x1＝4,∴x2＝7﹣4＝3,故选：C．6．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【解析】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0,解得a＜3,根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1）,x1x2＝a2﹣a﹣2,∵x12+x22﹣x1x2＝16,∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16,即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16,整理得a2﹣5a﹣6＝0,解得a1＝﹣1,a2＝6,而a＜3,∴a的值为﹣1．故选：B．7．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根,∴m2+m﹣2021＝0,∴m2+m＝2021,∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n,∵m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,∴m+n＝﹣1,∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故选：B．8．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,∴,∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时,有a﹣b+1＝0,此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时,有a+b+1＝0,此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0,∴a+1≠﹣（a+1）,∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,∴α2+3α＝6,由根系数的关系可知：α+β＝﹣3,∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15故选：B．10．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2【解析】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b,根据根与系数的关系得a+b＝m,ab＝1,而|a﹣b|＝2,∴（a﹣b）2＝4,∴（a+b）2﹣4ab＝4,∴m2﹣4×1＝4,解得m＝±2,∵Δ＝m2﹣4＞0,∴m的值为2或﹣2．故选：D．二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝2,x1•x2＝﹣．【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,∴a＝2,b＝﹣4,c＝﹣5,∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2,x1•x2＝＝﹣,故答案为：2,﹣．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝2．【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝1,所以x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是4．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,设另一根为a,∴﹣1+a＝3,解得：a＝4,则另一根为4．故答案为：4．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是3．【解析】解：∵a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3,ab＝﹣1,∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3,故答案为：3．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是﹣2或﹣．【解析】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2,x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0,x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0,（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0,∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．①如果x1﹣2＝0,那么x1＝2,将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0,得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0,整理,得k2+4k+4＝0,解得k＝﹣2；②如果x1﹣x2＝0,则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．解得：k＝﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程x2﹣7x+2＝0．【解析】解：∵小明看错了一次项系数b,∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c,∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7,∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【解析】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,∴m+n＝,mn＝﹣,∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．【解析】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1⋅m＝m2+4,∵无论m为何值时m2≥0,∴m2+4≥4＞0,即Δ＞0,所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x1,x2∴x1+x2＝m+2,x1x2＝m．∵,∴（m+2）2﹣2m＝16+m,即m2+m﹣12＝0,解得：m＝﹣4或m＝3∴实数m的值为﹣4或3．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．【解析】解：（1）由题意△≥0,∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0,∴m≤2；（2）当m＝1时,方程为x2+x﹣1＝0,则x1+x2＝﹣1,x1x2＝﹣1,x12+x1＝1,x22﹣1＝﹣x2,∴（x12+2x1）（x22﹣2）＝（1+x1）（﹣x2﹣1）＝﹣x1x2﹣1﹣x1﹣x2＝1﹣1﹣（﹣1）＝1．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×（t﹣2）＝（t﹣3）2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根；（2）解：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0,（x﹣t+2）（x﹣1）＝0,解得x1＝t﹣2,x2＝1,∵方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,∴t﹣2＝3×1,解得t＝5；或3（t﹣2）＝1,解得t＝（舍去）．故整数t的值为5．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为x2﹣x﹣2＝0．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．【解析】解：（1）设原方程的根为x 1,x2,则新方程的根为﹣x1,﹣x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣2,所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．（﹣x1）•（﹣x2）＝x1x2＝﹣2,所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；故答案为x2﹣x﹣2＝0；（2）设原方程的根为x1,x2,则新方程的根为,,因为x1+x2＝,x1•x2＝﹣,所以+＝＝＝﹣3,•＝＝＝﹣2,所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．。

八年级数学下2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)同步练习(浙教版含答案和解释)浙教版八年级下册第2章 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共15题；共30分） 1、已知x1、x2是一元二次方程x2�4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（） A、-4 B、-1 C、1 D、4 2、△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2�6x+m=0的两根，则m的取值范围是（） A、m＞ B、＜m≤9 C、≤m≤9 D、m≤ 3、已知x1、x2是方程x2�（k�2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（） A、19 B、18 C、15 D、13 4、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=�1，那么p，q的值分别是（） A、1，�2 B、�1，�2 C、�1.2 D、1，2 5、若一元二次方程�3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（） A、x2=�1 B、x2=�3 C、x2=�5 D、x2=5 6、已知一元二次方程x2�3x�3=0的两根为α与β，则的值为（） A、-1 B、1 C、-2 D、2 7、方程x2�2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（） A、�2012 B、0 C、2012 D、2013 8、已知3m2�2m�5=0，5n2+2n�3=0，其中m，n为实数，则|m� |=（） A、0 B、 C、D、0或 9、如果关于x的方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（） A、�2＜a＜2 B、 C、 D、 10、设x1、x2是一元二次方程x2+x�3=0的两根，则x13�4x22+15等于（）A、-4 B、8 C、6 D、0 11、若α，β是方程x2�2x�2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A、10 B、9 C、8 D、7 12、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m�2=0有两个实数根x1、x2 ，则x1（x2+x1）+ 的最小值为（） A、1 B、2 C、 D、 13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A、x2+3x�2=0 B、x2�3x+2=0 C、x2�2x+3=0 D、x2+3x+2=0 14、若α，β是方程x2+2x�2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（） A、2005 B、2003 C、�2005 D、4010 15、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（） A、x2+3x+4=0 B、x2+4x�3=0 C、x2�4x+3=0 D、x2+3x�4=0 二、填空题（共5题；共6分） 16、已知x1 ， x2是一元二次方程4x2�（3m�5）x�6m2=0的两个实数根，且，则________． 17、已知a，b是方程x2�x�3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________ ． 18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2�10x+m=0的根，则m的值等于________． 19、从�4、- 、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2�6x�1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在�1和1之间（包括�1和1），则取到满足条件的a值的概率为________． 20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共15分） 21、已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值． 22、已知x1 ，x2是方程x2�（k�2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1 ， x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值． 23、已知：关于x的方程x2+2x�k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？四、综合题（共3题；共35分） 24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2�（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5． (1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长． 25、已知：关于x的一元二次方程mx2�3（m�1）x+2m�3=0（m＞3）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为x1 ， x2（用含m的代数式表示）；①求方程的两个实数根x1 ，x2（用含m的代数式表示）；②若mx1＜8�4x2 ，直接写出m的取值范围． 26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ， x2 ，那么x1+x2=�p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若p=�4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根． (2)已知实数a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，求 + 的值； (3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．答案解析部分一、单选题 1、【答案】D 【考点】根与系数的关系【解【解答】解：∵方程x2�4x+1=0的两个根是x1 ， x2 ，∴x1+x2=�析】（�4）=4．故选D．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 2、【答案】B 【考点】根与系数的关系，三角形三边关系【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（�6）2�4m≥0，解得m≤9， a+b=6，ab=m，∵a ＜b+5，即a�b＜5，∴（a�b）2＜25，∴（a+b）2�4ab＜25，即36�4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a�b）2＜25，所以（a+b）2�4ab＜25，即36�4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9． 3、【答案】B 【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0 所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0 解得�4≤k≤�．又由x1+x2=k�2，x1•x2=k2+3k+5，得 x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�k2�10k�6=19�（k+5）2 ，当k=�4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【分析】根据x1、x2是方程x2�（k�2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可． 4、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得2+（�1）=�p，2×（�1）=q，所以p=�1，q=�2．故选：B．【分析】根据根与系数的关系得2+（�1）=�p，2×（�1）=q，然后解方程即可． 5、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=� =2，解得x2=�1．故选A．【分析】设方程的另一个解为x2 ，根据根与系数的关系得到3+x2=� =2，然后解一次方程即可． 6、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=�3，所以 = = =�1．故选A．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=�3，再通分得到 = ，然后利用整体代入的方法计算． 7、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2�2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为�2012，所以方程x2�2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2�2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和． 8、【答案】D 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：由3m2�2m�5=0得m1=�1，m2= ；由5n2+2n�3=0得 n1= ， n2=�1． = ，①当m=�1，n= 时，原式= ；②当m=�1，n=�1时，原式=0；③当m= ， n= 时，原式=0；④当m= ， n=�1时，原式= ．综上所述， =0或．故答案为0或．【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解． 9、【答案】C 【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵△=a2�4（a2�3）=12�3a2 （1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2�2x+1=0的根x=1符合条件，若a=�2，此时方程x2+2x+1=0的根x=�1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得�2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2�3≤0，解可得�≤a≤ ，而a=�时不合题意，舍去．所以�＜a≤ 符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，�＜a≤2．故选C．【分析】根据方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2�ax+a2�3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求． 10、【答案】A 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x�3=0的两根，∴x1+x2=�1，x1x2=�3，∵x13=x1x12=x1（3�x1）=3x1�x12 ，∴x13�4x22+15=3x1�x12�4x22+15=3x1�x12�x22�3x22+15=3（x1+x2）�（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13�4x22+15=�3�1�6+6=�4，故选：A．【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13�4x22+15转化为3（x1+x2）�（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可． 11、【答案】C 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=�2，所以α2+β2=（α+β）2�2αβ=22�2×（�2）=8．故选C．【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=�2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2�2αβ，然后利用整体代入的方法计算． 12、【答案】D 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2�4（m2+3m�2）≥0，解得m≤ x1+x2=�2m，x1x2=m2+3m�2， x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2�x1x2 =4m2�（m2+3m�2） =3m2�3m+2 =3（m�）2+ ，所以m= 时，x1（x2+x1）+ 有最小值，最小值为．故选D．【分析】根据判别式的意义得到m≤ ，再利用根与系数的关系得到x1+x2=�2m，x1x2=m2+3m�2，所以x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2�x1x2=3m2�3m+2，利用配方法得到原式=3（m�）2+ ，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+ 的最小值为． 13、【答案】B 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2． A、两根之和等于�3，两根之积等于�2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于�3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可． 14、【答案】B 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x�2005=0的两个实数根，则有α+β=�2．α是方程x2+2x�2005=0的根，得α2+2α�2005=0，即：α2+2α=2005．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α�2=2005�2=2003．故选B．【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1 ， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解． 15、【答案】C 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=�p=3+1=4，x1x2=q=3 ∴p=�4，q=3，∴原方程为x2�4x+3=0．故选C．【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题 16、【答案】m=1或m=5 【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，∵ ，而由知，x1 ， x2异号．故 =�，令x1=3k，x2=�2k，则得：，从上面两式消去k，得：，即：m2�6m+5=0，解之得：m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【分析】x1 ， x2是一元二次方程4x2�（3m�5）x�6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答． 17、【答案】7 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2�x�3=0的根，∴a2�a�3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3 =a+b+6，∵a，b是方程x2�x�3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2�a�3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可． 18、【答案】25或16 【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64�80+m=0，解得m=16，此时方程为x2�10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为25或16．【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25． 19、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式【解析】【解答】解：∵当a=�4时，原方程可化为�8x2�6x�1=0，解得x1=�，x2=�，符合题意；当a=�时，原方程可化为�7x2�6x�1=0，解得x1=�，x2=�，符合题意；当a=0时，原方程可化为�6x�1=0，解得x1=�，不符合题意；当a= 时，原方程可化为7x2�6x�1=0，解得x1=1，x2=�，符合题意；当a=4时，原方程可化为8x2�6x�1=0，解得x1=�，x2= ，符合题意．∴取到满足条件的a值的概率= ．故答案为：．【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2�6x�1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论． 20、【答案】6；2 【考点】分式有意义的条件，根与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2�5x+a=22�5×2+a=�6+a=0，∴a=6；当x2�5x+a=0时，△=52�4a=25�4a，∵a＜6，∴△=25�4a＞0，故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，即使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．三、解答题 21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=�2 ，常数项c=2，∴b2�4ac=（�2 ）2�4×1×2=4，∴x= = = ±1，∴m= +1，n= �1；∴ + = = = =4．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值． 22、【答案】（1）证明：∵△=（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0，∴�4≤k≤�，∵x1+x2=k�2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k�2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�k2�10k�6=�（k+5）2+19，∵�4≤k≤�，∴k=�4时，x12+x22有最大值，最大值为�（�4+5）2+19=18．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k�2）2�4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到�4≤k≤�，再由根与系数的关系得x1+x2=k�2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k�2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2�2x1x2=（k�2）2�2（k2+3k+5）=�（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解． 23、【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0 ∴k＞�1 （2）由根与系数关系可知α+β=�2，αβ=�k，∴ = ，（3）由（1）可知，k＞�1时，的值与k无关．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）由方程x2+2x�k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题 24、【答案】（1）解：根据题意得 [x�（k+1）][x�（k+2）]=0，解得，x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ，解得k1=2，k2=�5（不合题意舍去），∴k=2 （2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2�4（k2+3k+2）=0 4k2+12k+9�4k2�12k�8=1≠0，不可能是等腰三角形．②如果AB=5，或者AC=5 x1=5，52�（2k+3）×5+k2+3k+2=0 k2�7k+12=0 （k�4）（k�3）=0 k=4或者k=3（都符合题意） k=4时： x2�11x+30=0 （x�5）（x�6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16， k=3时： x2�9x+20=0 （x�4）（x�5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14 【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长． 25、【答案】（1）证明：∵mx2�3（m�1）x+2m�3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，∴△=[（�3（m�1）]2�4m（2m�3）=m2�6m+9=（m�3）2 ，∵m＞3，∴（m�3）2＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根（2）①由求根公式得x= ，∴x=1，或x= ，∵m＞3，∴ ＞3，当x1＜x2 ，∴x1=1，x2=2�；当x1＞x2 ，这种情况不存在；∴x1=1，x2=2�；②∵mx1＜8�4x2 ，∴m＜8�4（2�），解得：3＜m＜2 ．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m�3）2 ，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8�4x2 ，即可得到结果． 26、【答案】（1）解：当p=�4，q=3，则方程为x2�4x+3=0，解得：x1=3，x2=1 （2）解：∵a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，∴a、b 是x2�15x�5=0的解，当a≠b时，a+b=15，a�b=�5， + = = = =�47；当a=b时，原式=2 （3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1 ， x2 ，则 + = =�，• = = ，则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据p=�4，q=3，得出方程x2�4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2�15a�5=0，b2�15b�5=0，得出a，b是x2�15x�5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ， x2 ，得出 + =�，• = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．。