(完整版)平面向量复习(公开课精华)

4、平面向量基本定理
如果 e1 ，e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1，2使
a 1e1 2 e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义： 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
单位向量及零向量
向量的减法
求长度
相等向量及相反向量 实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的概念
1、向量：既有 大小 ，又有 方向 的量 叫做向量。
向量的两要素： 大小 和 方向 （与位置无关，没有大小）
2、单位向量：长度为1
的向量叫单位向量。记作
a |a|
。
3、相等向量： 长度相等，方向相同 的向量叫相等向量。
4、相反向量： 长度相等，方向相反的向量叫相反向量。
5、平行向量：表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上
的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量
6、请说出以上向量的相互关系？
三、向量的运算
七、向量的夹角
cos a b
| a || b |
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
2
2
2
2
2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则：AB BC AC a + b
平行四边形法则：
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，yA2） a
则
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้（x1
x2，y1
y
）
2
D
（二）向量的减法 AB AD DB b a + b
1、作图 平行四边形法则：
Aa
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，y2）
则 a b （x1 x2，y1 y2）
（三）数乘向量 λ a( R)
1、a 的大小和方向（：1）长度： a a
（2）方向： 当 0时， a与a同向
当 0时， a与a异向
当 0时， a 0 2、数乘向量的坐标运算： a （x，y）（ x， y）
3、数乘向量的运算律：
a a （ ）a a a （a b） a b
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
（3）（a b）c ac b c
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
二、向量的表示
1、代数字母表示： AB或a （可运算） | AB| 或| a |
2、几何有向表示：
3、坐标表示：（综合运算）
a xi y j （x，y）
OA （x，y）
（有向线段、作图）
y
a
y
a
A (x,y)
j
O
i
x
x
三、几个特点向量
1、零向量：长度为零 的向量叫零向量。记作 0 ，
零向量的方向是 任意的 ，零向量与任意向量 平行。
4
e1
2
e2
2
4
e1
e2
cos 60
（2）b // a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
六、向量的长度
坐标表示
（1） a a | a |2 ，| a |
2
a
（2）设 a （x，y），则| a | x2 y2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则 | AB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= ab
|a||b|
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示
（2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）a // b b a（a 0） 向量表示