第4课时 函数与导数
1．已知函数f(x)＝a3＋sinx，则f′(x)＝( )
A．3a2＋cosx B．a3＋cosx
C．3a2＋sinx D．cosx
2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C.ln22 D．ln2
3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.12 C．－12 D．－1
4．(2011年广东深圳调研)如图2，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是(
)
图2
A.4π2 B.4π3 C.2π2 D.2π3
5．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
6．(2011年全国)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B．4 C.163 D．6
7．(2011年安徽皖北联考)已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是____________．
8．(2011年全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为___________．
9．(2011年山东)某企业拟建造如图3所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
图3
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
第8讲 导 数
[明考情]
导数的考查频率较高，以“一大一小”的格局呈现，小题难度多为中低档.
[知考向]
1.导数的几何意义.
2.导数与函数的单调性.
3.导数与函数的极值、最值.
考点一 导数的几何意义
要点重组 (1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.
(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.
1.设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，在点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A.2π3，π B.π2，2π3
C.0，π2∪2π3，π D.0，π2∪5π6，π
答案 C
解析 ∵y′＝3x2－3，
∴tanα≥－3，
∴0≤α＜π2或2π3≤α＜π.
2.函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0
答案 C
解析 f(0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx.
所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0，故选C.
3.(2017·包头一模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a等于( ) A.－1B.1C.2D.3
答案 B
解析 函数f(x)＝x3＋ax＋1的导数为f′(x)＝3x2＋a，f′(1)＝3＋a，而f(1)＝a＋2，
所以切线方程为y－a－2＝(3＋a)(x－1).
因为切线方程经过点(2，7)，
所以7－a－2＝(3＋a)(2－1)，解得a＝1.
4.(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
答案 1
解析 ∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1.
专题能力训练8 导数与函数的零点及参数范围
专题能力训练第8页
1.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
(1)解f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.
由题设得-=-2,所以a=1.
(2)证明由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,
设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,
所以g(x)=0在(0,+∞)内没有实根.
综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
2.(2017辽宁锦州质检二,文21)已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.
(1)当a=e,b=4时,求函数f(x)零点个数;
(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.
解(1)由题意f(x)=ex+x2-x-4,
∴f'(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0,
当x>0时,ex>1,
∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数;
当x<0时,ex<1,
∴f'(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数.
f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;
专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围
专题对点练第8页
1.(2016江西南昌十所重点学校二模,理21)已知函数f(x)=ex(sin x+cos
x)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(a∈R且a为常数).
(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),求实数a的值;
(2)判断函数φ(x)=错误!未找到引用源。+1+ln x(b>1)在(0,+∞)内的零点个数,并说明理由.
解 (1)f'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x,
又曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),得f'(0)=错误!未找到引用源。,即2=1-a,解得a=-1.
(2)由φ(x)=错误!未找到引用源。+1+ln x=0(x>0),
得错误!未找到引用源。+1+ln x=0,
化为错误!未找到引用源。=1-x-xln x,
令h(x)=1-x-xln x,则h'(x)=-2-ln x.
由h'(x)=-2-ln x=0,得x=e-2,
故h(x)在错误!未找到引用源。内递增,在错误!未找到引用源。内递减,
h(x)max=h错误!未找到引用源。=1+错误!未找到引用源。.
再令t(x)=错误!未找到引用源。=b错误!未找到引用源。ex,
因为b>1,所以函数t(x)=b错误!未找到引用源。ex在(0,+∞)内递增,t(x)>t(0)=b错误!未找到引用源。e0=b错误!未找到引用源。>1+错误!未找到引用源。.
故t(x)>h(x)max,由此判断函数φ(x)在(0,+∞)内没有零点,故φ(x)零点个数为0.
2.(2017山西第四次五校联考,理21)设函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线L的方程,并证明:除点A外,曲线y=f(x)都在直线L的下方;
(2)若函数h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)内有零点,求a的取值范围.
