半波损失的原理分析

半波损失的原理分析［摘要］：根据机械波波动方程，菲涅尔公式的内容，从而得出光波和机械波半波损失的原理，加强对客观的物理现象的本质了解。

［关键词］：半波损失，波动方程，菲涅尔公式在这学期对波的学习过程中，半波损失是经常出现的概念与现象。

半波损失在机械波和光波中均有所涉及。

如在光的干涉现象中，半波损失就是一个不得不考虑的问题；而在驻波的形成中也需注意相位跃变。

半波损失是指：机械波或光波在媒质表面反射时出现附加位相差π的现象。

光从光速较大（折射率较小）的介质射向光速较小（折射率较大）的介质时，反射光的相位较之入射光的相位跃变了π，由于这一相位的跃变，相当于反射光与入射光之间附加了半个波长λ/2的波程差，故称为半波损失。

机械波和光波的原理并不完全相同，但本质上是一样的。

半波损失理论在我们实际生活中有很大的应用，如光学元件表面的检查；透镜质量的检查；増反膜，增透膜的应用；对微小间距的测量……而在教材中并未对半波损失的原理进行解释。

本文通过对菲涅尔公式的研究从而得出光波半波损失的原理，通过对基本的机械波波动方程的研究从而得出机械波半波损失的原理，对客观的物理现象有更为清晰，明白的了解。

1.机械波半波损失的原理设入射波的方程为y=A1cos(ωt-k1x),则反射波的方程为y’=A1’cos(ωt+k1x+Φ1),透射波的方程为y’’=A2cos(ωt-k2x +Φ2)(1)。

其中A1’，A2的符号由边界条件确定,如果A1’，A2与A1同号说明反射波、透射波与入射波同相,如果A1’，A2与A1异号说明反射波、透射波与入射波反相。

媒质1中机械波波的方程为：ξ1(x,t) =A1cos(ωt-k1x)+A1’cos(ωt+k1x +Φ1)(2)；媒质2中机械波的方程为：ξ2(x,t)=A2cos(ωt-k2x+Φ2)+A2(3)。

如果对界面处两侧媒质无分离、无滑动,这种情况下,界面两侧波的位移应相等,应力应相同, 即有边界条件ξ1(0,t)=ξ2(0,t)(4)。

其中X1和X2代表不同介质1和介质2的弹性模量E,切变模量G或体积模量K,且有k1=ω/μ1,k2=ω/μ2,而其中μ12= X1/ρ1,μ22= X2/ρ2。

这里的ρ1，ρ2分别为介质1，介质2的密度，μ1，μ2分别为介质1，介质2中的波速，将式（2），（3）代入（4）得：A1cosωt+ A1’cos(ωt+Φ1)= A2cos(ωt+Φ2)(6)。

为了使（6）式在任何时刻都成立，必须A1+ A1’cosΦ1= A2cosΦ2(7)，A1’sinΦ1= A2sinΦ2(8)。

把（2），（3）式代入（5）式便得ρ1μ12 k1［A1sinωt- A1’sin(ωt+Φ1)］=ρ2μ22 k2A1sin(ωt+Φ2)(9)。

同样为了使（9）式在任何时刻都成立，必须ρ1μ12 k1（A1- A1’cosΦ1）=ρ2μ22 k2 A2cosΦ2（10）。

ρ1μ12 k1 A1’sinΦ1=ρ2μ22 k2 A2sinΦ2（11）。

因为k1=ω/μ1, k1=ω/μ2,所以ρ1μ12 k1=ρ1μ1ω，ρ2μ22 k2=ρ2μ2ω。

令Z1=ρ1μ1，Z2=ρ2μ2，Z1,Z2分别为介质1，2的波阻。

于是（10）和（11）式改写成Z1（A1- A1’cosΦ1）= Z2A2cosΦ2（12），Z1A1’sin Φ1=Z2 A2sinΦ2（13）。

把（7）式乘以Z2减去（12）式便得A1’/A1*cosΦ1=(Z1-Z2)/(Z1+Z2)(14),把（7）式乘以Z1减去（12）式便得2A1’Z1cosΦ1=（Z1-Z2）A2cosΦ2（15）。

式（14）除以式（15）可得A2/A1* cosΦ2=2Z2/(Z1+Z2)(16)。

因为A1’Z1和Z2A2均为大于零的正量,故要使式(13)两边相等,必须sinΦ1=0, sinΦ2=0,这表明Φ1，Φ2只可能取0和π两个值。

这也证明了当机械波垂直入射两种媒质交界面时,位相的变化只能是0和π两个值。

那么,Φ1，Φ2究竟是取0还是取π,这要由式(14)和式(16)来确定,下面我们分别讨论：（1），若Z1>Z2,即波是由波密媒质射向波疏媒质,则式(14)右边是正数,而A1’/A1永远是正数,故要等式成立必须cosΦ1>0,即Φ1只能取0。

这就是说,当波由波密媒质射向波疏媒质,反射时没有相位突变。

（2），若Z1<Z2,即波由波疏媒质射向波密媒质,则式(14)右边是负数,故必须cos Φ1<0,即Φ1只能取π。

这表明,当波由波疏媒质射向波密媒质反射时相位突变π。

（3），由(16)式可见,等式右边永远是正数,而A2/A1又是正数,所以要等式成立, 必须是正数,即cosΦ2只能取0。

这就是说,无论波是由波疏媒质透入波密媒质,还是由波密媒质透入波疏媒质都不会发生相位突变。

可以认为(14)和(16)两式便是机械波垂直入射到两种媒质交界面情况下的菲涅耳反射、透射公式。

2.光波半波损失的原理2.1. 菲涅尔公式的内容半波损失是波在反射过程中出现的，而菲涅尔公式是研究波的反射，折射问题的基础。

因此，首先要理解菲涅尔公式的内容。

电场强度E和磁场强度H是描述真空中电磁场的两个基本物理量。

为了考虑光这种电磁波的振幅与相位的关系，就要考虑E,H这两矢量的取向。

由于任意偏振光均可以分解为两个垂直的分量，一般是把它分解成入射面内的分量（平行分量或P分量）和垂直于入射面的分量（垂直分量或S分量）。

而平面电磁波在反射和折射时这两个分量是独立的——平行分量在反射，折射时只产生平行分量，垂直分量在反射，折射时只产生垂直分量。

因此，可分别讨论这两个分量。

先讨论电场强度E垂直入射面的情况，即讨论分量和相应的分量.设入射波的电矢量E是沿z轴的正方向,则H//的方向可用右手法则来确定：EⅹH为光传播的方向（即波法线方向）。

因此可确定H//的方向，如图所示。

设分界面上有一点A为所讨论的点，对于两透明介质的分界面，有下列边界条件：E(i)+ E(r)=E(t)；（H//(i)-H//(r)）cosθ1=H//(t) cosθ2。

利用变量代换，把变量H均换成E：而对于均匀，透明的介质则有：εr=n2,μr =1。

再利用折射定律n1sinθ1=n2sinθ2,得到：（E(i)-E(r)）sinθ2 cosθ1= E(t) sinθ1 cosθ2 ,E(i)+ E(r) =E(t)由于上述方程组只在分界面上（y=0处）成立，得（E 0(i)-E 0(r) ）sin θ2 cos θ1= E 0(t) sin θ1 cos θ2 ,E 0(i)+ E 0(r) =E 0(t)所以将两方程进行联立，即得： E 0(r) =（-sin(θ1-θ2)/ sin(θ1+θ2)）* E 0(i) ，E 0(t) = （2sin θ2 cos θ1/ sin(θ1+θ2)）* E 0(i)这就是垂直分量和入射光垂直分量的关系。

再讨论电场强度E 平行于入射面的情况，即讨论E //和相应的H 分量。

坐标法选择同上，设入射波的磁场强度H 沿z 轴的正方向。

这时用类似的方法求出：E 0//(t)=(2sin θ2 cos θ1/ sin(θ1+θ2)/ cos(θ1-θ2)) E 0//(i) ,E 0//(r) =（tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2)） E 0//(i )；这就是反射光的平行分量和入射光平行分量的关系。

最后把所得结果写成一个如下的方程组，即菲涅尔公式，利用其求反射光和折射光的强度及相位变化，得到半波损失出现的原理。

E 0(r) / E 0(i) =(n1cos θ1-n2cos θ2)/ (n1cos θ1+n2cos θ2)； E 0//(r) / E 0//(i) =(n2cos θ1-n1cos θ2)/ (n2cos θ1+n1cos θ2)；xzE0(t) / E0(i) = 2n1cosθ1/( n1cosθ1+n2cosθ2)；E0//(t) / E0//(i) 2n1cosθ1/( n2cosθ1+n1cosθ2)。

2.2.折射光无相位跃变的理论解释由菲涅尔公式可知，一束光入射在两透明介质的分界面上时，由于入射角θ1和折射角θ2均在00——900的范围内变化，因此θ1+θ2就在00——1800，θ1-θ2也就在00——900的范围内变化。

在这范围内cosθ1,sinθ2,sin(θ1+θ2),cos(θ1-θ2)等诸三角函数的值均大于0.因此无论光束从什么角度入射分界面，也不论分界面两边折射率的大小如何，透射振幅比t永远取正值。

也就是折射光线永远和入射光线同相位。

（垂直分量和平行分量均如此）。

2.3.反射光线的相位跃变的理论解释反射光的相位跃变情况较为复杂，它有两个转折，一个是入射角θ1>θB(布儒斯特角)和θ1<θB时的情况跃变不同；另一个是折射率n1>n2和n1<n2时的跃变情况不同。

现对这几种状况分别加以讨论。

仍从菲涅尔公式出发。

2.3.1. n1<n2的情况若n1<n2，则有折射定律可知，必有θ1>θ2，因此sin(θ1-θ2)>0，又因sin(θ1+θ2)>0所以在这种情况下，r永远为负值。

即光束由n小的介质进入n大的介质时，不论入射角为何值，反射光的垂直分量永远都π的相位突变。

至于平行分量，在θ1>θB和θ1<θB时的情况不一样。

θ1<θB时，有θ1+θ2<900(θ1=θB时, θ1+θ2=900),因此tan(θ1+θ2)>0,tan(θ1-θ2)>0或r//为正。

而在θ1>θB时，有θ1+θ2>900 ，因此tan(θ1+θ2)<0,tan(θ1-θ2)>0或r//为负,所以有：光束从n小的介质进入n较大的介质时，若入射角θ1<θB，则反射光的平行分量无相位突变；若θ1>θB，则有π的相位突变。

2.3.2. n1>n2的情况若n1>n2，则有θ1<θ2，因此sin(θ1-θ2)<0，这是r为正。

即：光束由n 大的介质进入n小的介质时，不论入射角为何值，反射光的垂直分量永远都没有π的相位突变。

至于平行分量，在θ1<θB时有tan(θ1-θ2)<0,故有r//为负。

而在θ1>θB 时，有tan(θ1+θ2)<0，故r//为正。

所以：光束从n大的介质进入n较小的介质时，若入射角θ1<θB，则反射光的平行分量有相位突变；若θ1>θB，则无π的相位突变。

因此，在小角度入射和掠入射两种情况下，光波由光疏介质进入光密介质时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则会出现半波损失，反之则没有。