第12章 机械波基础复习题
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1 π 2
o
反
x
C
在 t = 0 时，x = 0 处质点 y0 = 0，∂ y0 / ∂ t < 0， 所以： ϕ =
因此，D点处的合振动方程是：
y = 2 A cos 2 π 3λ / 4 − λ / 6
λ
cos(2 πνt +
π
2
)
18
= 3 A sin 2 πνt
第十二章结束 第十二章结束
19
4 由于 T = = = = 4 s ν u 1
λ
t =0s时的波形应 比上图倒退半个波长，
π 所以原点的 φ = + 2
y(m) 0.5 -2 0
t =0s时
u =1m/s x(m) 2 4
3
所以原点的振动表达式为:
π⎞ ⎛π y = 0 . 5 cos ⎜ t + ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ( SI )
【解】
t y1 = A cos 2π ( + ) λ T
x
（ 1 ）在 x=0 处反射，反射点是固定 端，所以有 “ 半波损失 ” ，则反射波 的方程为： x t x t y2 = Acos[2π (− + ) + π ] = Acos[2π ( − ) + π ] λ T λ T
9
（2）合成的驻波方程：
【解】 画出示意图
n1 < n 2
x 0
λ
2
（1）入射波的波函数 x−λ /2 ) y = A cos(ω t − 2 π λ x = A cos(ω t +π− 2 π ) λ
x
L
找任意一点 x
6
（2）反射波的波函数 ∵ n1 < n2 , 反射有半波损失， 已求得入射波的波函数
y = A cos(ω t +π− 2 π ) x
t = 0时 y o = 0 入射波方程
v0 < 0 ⇒ ϕ =
O P
O ′ x
π
2 λ π 2π 7λ 入射波传到O＇方程 yO ' = A cos(ωt + − ) = A cos(ωt − π ) 12 2 λ 4
y入 = A cos(ωt −
2π
2
yo = A cos(ωt +
x+
π
2
)
π
)
πL 2 πx ⎤ 4 ⎡ 得 y = A cos ω t − + ( x ≤ L) ⎢ ⎥ λ λ ⎦ ⎣
即
y = A cos 2π (ν t −
2L − x
λ
) ( x ≤ L)
8
第4题.设入射波的方程为 在x =0处发生反射，反射点为一固定端。 设反射时无能量损失，求： （1）反射波的方程； （2）合成的驻波方程； （3）波腹和波节的位置。
0
λ
2
n1 < n 2
x x L
λ
得反射点处的振动方程：
y L = A cos(ω t +π− 2 π,
所以，反射波的波函数为
π L 2 ⎤0 ⎡ π −π− ( L − x)⎥ y = Acos⎢ω t +π− 2 λ λ ⎦ ⎣
反射点处的相位 半波损失
λ
2
x L
x
x点比反射点 落后的相位
合成波方程
y = y入 + y反 = 2 A cos
4
2π
λ
x cos(ωt +
π
2 )
π
2
13
)
P点坐标 x = 7λ − λ 代入
4
yp = −2 A cos(ωt +
期中测试题.如图所示，原点O是波源，振动方向垂直
于纸面，波长是 λ ．AB为波的反射平面，反射时有相 位突变．O点位于A点的正上方， AO = h ．Ox轴平行于 AB．求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于x ≥ 0） ?
+
π
2
= (2 k + 1)
π
2
( k = 0, ± 1, ± 2, ...)
1 x = k λ ( k = 0,1, 2,...) 2
#
11
第5题.如图，一角频率为 ω ，振幅为A的平面简谐波 沿x轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O处引起 的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x轴的波密媒质反射面．已知OO＇=7λ/4， PO＇=λ/4（λ为该波波长）；设反射波不衰减求： (1) 入射波与反射波的表达式； y M (2)P点的振动方程 【解】设O处的振动方程 yo = A cos(ωt + ϕ )
波密
则反射波的波动方程是： 2π y2 = A cos[2 π(ν t − op / λ ) + φ − (op − x) + π ] λ
波疏
16
y2 = A cos[2 π(ν t −
op + op − x
λ
) +φ +π ]
o
入 D 波疏 反
B
P 波密
= A cos {[2 π(ν t + x / λ ) + φ ] − 2π }
1 ( k = 1, 2.... < − ) 2 λ
2h
15
练习册计算题1.如图所示，一平面简谐波沿X轴正方向 传播，BC为波密媒质的反射面。波由P点反射，OP = 3λ / 4 ，DP = λ / 6 。在t = 0时，O处质点的合振动是经 过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的 合振动方程。（设入射波与反射波的振幅皆为A，频率 为ν 。） 解：设O为坐标原点，入射波方程为： B 入 y1 = A cos[ 2 π(νt − x / λ ) + ϕ ] x o P D P点振动方程： 反 C y p = A cos[2 π(ν t − op / λ ) + φ ]
t = 2s
0.01 0.005 0
y(m) u =200m/s
ip
100m
x(m)
答：
y p = 0.01cos[2π ( t − 2) + 或 : y p = 0.01cos(2π t +
π
3 )
]
π
3
。
#
5
第3题.一列波长为λ 的平面简谐波沿x 轴正方向传播。
已知在 x = λ /2 处 振动表达式为 y =A cos ω t , （1）求该平面简谐波的波函数; λ （2）若在波线上 x = L ( L > )处放一反射面, n1 < n2 , 2 且反射波的振幅为A,求反射波的波函数。
入射波传到O＇方程
π 2π 7λ yO = Acos( ωt + − ) = Acos( ωt −π ) 2 λ 4
'
y O P
M O′ x
半波损失，则 反射波方程
yO ' = A cos ωt
2π 7λ 2π π − x )] = A cos(ω t + y 反 = A cos[ω t − ( x+ ) λ 4 λ 2
-2 0 2 4 0.5 u =1m/s x(m)
1. 画波形图法： 由题图可知
u π πν = 2 π = A = 0.5 m ω = 2 λ 2 π 有人说原点的 φ = − 对不对？ 2
2
答：不对。
1
t =2s时
y(m) 0.5 -2 0 u =1m/s x(m) 2 4
这是 t =2s 时的波形图，
复习指导
1. 弄清波动过程中相位领先和落后的概念 2. 熟练掌握简谐波的描述 3. 掌握半波损失问题 4. 理解驻波的形成和它的几个特点 5. 掌握多普勒效应中频率的计算
1
第1题. 已知一沿 x 轴负向传播的平面简 谐波在t = 2s 时的波形曲线如图所示,写 y(m) 出原点的振动表达式?
t = 2s 【解】
x π t π y = y1 + y2 = 2Acos(2π + )cos(2π − ) T 2 λ 2
（3）波腹位置：
2π x
λ
+
π
2
= k π ( k = 0 , ± 1, ± 2 , ...)
1 λ x = ( k − ) ( k = 0,1, 2, ...) 2 2
10
波节位置：
2π x
λ
y(m) 0.5 -2 0 u =1m/s x(m) 2 4
2. 旋转矢量法： 由题图可知 t =0时
0
t =2s时
A y
t =2s时 （即 t =T/2时） 所以原点的
则 t =0时，旋转矢量应在倒退 半个周期、即垂直向上位置，
π φ=+ . 2
4
#
第2题.如图示为一平面简谐波在t =2s时刻 的波形图，质点P的振动方程为：
x
C
= A cos[2 π(ν t + x / λ ) + φ ]
合成波的波动方程（驻波）为：
y = y1 + y 2 = 2 A cos(2 π ) cos(2 π νt + ϕ )
x
λ
17
y = 2 A cos( 2 π ) cos( 2 πνt + ϕ )
x
λ
入
B
D 波疏 P 波密
t = 0时，O处质点的合振动是 经过平衡位置向负方向运动
O x h A B
14
解:
x 2 λ 2 δ = 2 ( ) + h − x − = kλ 2 2
O h A B X
4h 2 − (1 / 2 + k ) 2 λ 2 x= (1 + 2k )λ
o
反
x
C
在 t = 0 时，x = 0 处质点 y0 = 0，∂ y0 / ∂ t < 0， 所以： ϕ =
因此，D点处的合振动方程是：
y = 2 A cos 2 π 3λ / 4 − λ / 6
λ
cos(2 πνt +
π
2
)
18
= 3 A sin 2 πνt
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4 由于 T = = = = 4 s ν u 1
λ
t =0s时的波形应 比上图倒退半个波长，
π 所以原点的 φ = + 2
y(m) 0.5 -2 0
t =0s时
u =1m/s x(m) 2 4
3
所以原点的振动表达式为:
π⎞ ⎛π y = 0 . 5 cos ⎜ t + ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ( SI )
【解】
t y1 = A cos 2π ( + ) λ T
x
（ 1 ）在 x=0 处反射，反射点是固定 端，所以有 “ 半波损失 ” ，则反射波 的方程为： x t x t y2 = Acos[2π (− + ) + π ] = Acos[2π ( − ) + π ] λ T λ T
9
（2）合成的驻波方程：
【解】 画出示意图
n1 < n 2
x 0
λ
2
（1）入射波的波函数 x−λ /2 ) y = A cos(ω t − 2 π λ x = A cos(ω t +π− 2 π ) λ
x
L
找任意一点 x
6
（2）反射波的波函数 ∵ n1 < n2 , 反射有半波损失， 已求得入射波的波函数
y = A cos(ω t +π− 2 π ) x
t = 0时 y o = 0 入射波方程
v0 < 0 ⇒ ϕ =
O P
O ′ x
π
2 λ π 2π 7λ 入射波传到O＇方程 yO ' = A cos(ωt + − ) = A cos(ωt − π ) 12 2 λ 4
y入 = A cos(ωt −
2π
2
yo = A cos(ωt +
x+
π
2
)
π
)
πL 2 πx ⎤ 4 ⎡ 得 y = A cos ω t − + ( x ≤ L) ⎢ ⎥ λ λ ⎦ ⎣
即
y = A cos 2π (ν t −
2L − x
λ
) ( x ≤ L)
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第4题.设入射波的方程为 在x =0处发生反射，反射点为一固定端。 设反射时无能量损失，求： （1）反射波的方程； （2）合成的驻波方程； （3）波腹和波节的位置。
0
λ
2
n1 < n 2
x x L
λ
得反射点处的振动方程：
y L = A cos(ω t +π− 2 π,
所以，反射波的波函数为
π L 2 ⎤0 ⎡ π −π− ( L − x)⎥ y = Acos⎢ω t +π− 2 λ λ ⎦ ⎣
反射点处的相位 半波损失
λ
2
x L
x
x点比反射点 落后的相位
合成波方程
y = y入 + y反 = 2 A cos
4
2π
λ
x cos(ωt +
π
2 )
π
2
13
)
P点坐标 x = 7λ − λ 代入
4
yp = −2 A cos(ωt +
期中测试题.如图所示，原点O是波源，振动方向垂直
于纸面，波长是 λ ．AB为波的反射平面，反射时有相 位突变．O点位于A点的正上方， AO = h ．Ox轴平行于 AB．求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于x ≥ 0） ?
+
π
2
= (2 k + 1)
π
2
( k = 0, ± 1, ± 2, ...)
1 x = k λ ( k = 0,1, 2,...) 2
#
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第5题.如图，一角频率为 ω ，振幅为A的平面简谐波 沿x轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O处引起 的振动使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x轴的波密媒质反射面．已知OO＇=7λ/4， PO＇=λ/4（λ为该波波长）；设反射波不衰减求： (1) 入射波与反射波的表达式； y M (2)P点的振动方程 【解】设O处的振动方程 yo = A cos(ωt + ϕ )
波密
则反射波的波动方程是： 2π y2 = A cos[2 π(ν t − op / λ ) + φ − (op − x) + π ] λ
波疏
16
y2 = A cos[2 π(ν t −
op + op − x
λ
) +φ +π ]
o
入 D 波疏 反
B
P 波密
= A cos {[2 π(ν t + x / λ ) + φ ] − 2π }
1 ( k = 1, 2.... < − ) 2 λ
2h
15
练习册计算题1.如图所示，一平面简谐波沿X轴正方向 传播，BC为波密媒质的反射面。波由P点反射，OP = 3λ / 4 ，DP = λ / 6 。在t = 0时，O处质点的合振动是经 过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的 合振动方程。（设入射波与反射波的振幅皆为A，频率 为ν 。） 解：设O为坐标原点，入射波方程为： B 入 y1 = A cos[ 2 π(νt − x / λ ) + ϕ ] x o P D P点振动方程： 反 C y p = A cos[2 π(ν t − op / λ ) + φ ]
t = 2s
0.01 0.005 0
y(m) u =200m/s
ip
100m
x(m)
答：
y p = 0.01cos[2π ( t − 2) + 或 : y p = 0.01cos(2π t +
π
3 )
]
π
3
。
#
5
第3题.一列波长为λ 的平面简谐波沿x 轴正方向传播。
已知在 x = λ /2 处 振动表达式为 y =A cos ω t , （1）求该平面简谐波的波函数; λ （2）若在波线上 x = L ( L > )处放一反射面, n1 < n2 , 2 且反射波的振幅为A,求反射波的波函数。
入射波传到O＇方程
π 2π 7λ yO = Acos( ωt + − ) = Acos( ωt −π ) 2 λ 4
'
y O P
M O′ x
半波损失，则 反射波方程
yO ' = A cos ωt
2π 7λ 2π π − x )] = A cos(ω t + y 反 = A cos[ω t − ( x+ ) λ 4 λ 2
-2 0 2 4 0.5 u =1m/s x(m)
1. 画波形图法： 由题图可知
u π πν = 2 π = A = 0.5 m ω = 2 λ 2 π 有人说原点的 φ = − 对不对？ 2
2
答：不对。
1
t =2s时
y(m) 0.5 -2 0 u =1m/s x(m) 2 4
这是 t =2s 时的波形图，
复习指导
1. 弄清波动过程中相位领先和落后的概念 2. 熟练掌握简谐波的描述 3. 掌握半波损失问题 4. 理解驻波的形成和它的几个特点 5. 掌握多普勒效应中频率的计算
1
第1题. 已知一沿 x 轴负向传播的平面简 谐波在t = 2s 时的波形曲线如图所示,写 y(m) 出原点的振动表达式?
t = 2s 【解】
x π t π y = y1 + y2 = 2Acos(2π + )cos(2π − ) T 2 λ 2
（3）波腹位置：
2π x
λ
+
π
2
= k π ( k = 0 , ± 1, ± 2 , ...)
1 λ x = ( k − ) ( k = 0,1, 2, ...) 2 2
10
波节位置：
2π x
λ
y(m) 0.5 -2 0 u =1m/s x(m) 2 4
2. 旋转矢量法： 由题图可知 t =0时
0
t =2s时
A y
t =2s时 （即 t =T/2时） 所以原点的
则 t =0时，旋转矢量应在倒退 半个周期、即垂直向上位置，
π φ=+ . 2
4
#
第2题.如图示为一平面简谐波在t =2s时刻 的波形图，质点P的振动方程为：
x
C
= A cos[2 π(ν t + x / λ ) + φ ]
合成波的波动方程（驻波）为：
y = y1 + y 2 = 2 A cos(2 π ) cos(2 π νt + ϕ )
x
λ
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y = 2 A cos( 2 π ) cos( 2 πνt + ϕ )
x
λ
入
B
D 波疏 P 波密
t = 0时，O处质点的合振动是 经过平衡位置向负方向运动
O x h A B
14
解:
x 2 λ 2 δ = 2 ( ) + h − x − = kλ 2 2
O h A B X
4h 2 − (1 / 2 + k ) 2 λ 2 x= (1 + 2k )λ
