2.4 随机变量的产生方法
产生随机变量的方法有许多种，对于给定的随机变量，可根据其特点选择其中一种或几种方法。仿真对产生的随机变量首先是要求其准确性，即由某种方法产生的随机变量应准确的具有所要求的分布；其次是快速性要求，在离散事件仿真中，一次运行往往需要产生几万甚至几十万个随机变量，这样产生随机变量的速度将极大地影响仿真的效率。产生随机变量的方法主要有反变换法、舍选法、组合法、卷积法。
2.4.1 反变换法
反变换法是最常用且最直观的使用方法，它以概率积分变换定理为基础。
定理.设是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为)(1x
F-，即x
F=
F
x
-)]
[1.
(
(1) 若随机变量x的分布函数()x F，则()()10
F
x
U
~，
(2) 若随机变量)10(
U
x，则的分布函数为()x F
~，
设随机变量x的分布函数为()x F，为得到随机变量的抽样值，先产生在]10[，区间上均匀分布的独立随机变量u，由反分布函数)(1u
F-得到的值即为所需要的随机变量x：)(1u
F
=。这种方法是对分布函数进行反变换，因而取名为反变换法。
x-
反变换法的原理可用图加以说明。
随机变量概率分布函数()x F 的取值范围为]10[，，现以在]10[，上均匀分布的独立随机变量作为()x F 的取值规律，则落在x ∆内的样本个数的概率就是F ∆；从而随机变量x 在区间x ∆内出现的概率密度函数的平均值为x F
∆∆；当x ∆趋于0时，其概率密度函数就等于dx dF ，即符合原来给定的密度分布函数，满足正确性要求。
当x 是离散随机变量时，其反变换法的形式略有不同，原因在于离散随机变量的分布函数也是离散的，因而不能直接利用反函数来获得随机变量的抽样值。下面讨论这类随机变量的反变换法。
设离散随机变量x 对应于取值1x ，2x ，…，n x 的概率分别为
)()()(21n x p x p x p ，，，⋅⋅⋅，其中1)(0<
i i x p ，其分布函数如图所
示。
为使用反变换法获得离散随机变量，先将]10[，
区间按)()()(21n x p x p x p ，，，⋅⋅⋅的值分成n 个子区间，然后产生在]10[，
区间上均匀分布的独立的随机数u 。根据u 的 值落在何区间，相应的随机变量就是所需要的随机变量i x 。离散随机变量的反变化法的步骤如下：
(1) 按i x 的成递增顺序排列)21
)((N i x p i ，，，⋅⋅⋅=；
(2) 产生)10(~，U u ；
(3) 求非负整数I ，满足∑∑=-=≤o
j j I j j x p u x p )()(1
(4) 令I x x =
反变换法是连续随机变量的普遍适用的方法，其关键是计算分布函数的反函数的显式表达式。
2.4.2 舍选法
舍选法的实质是从许多均匀分布的随机数中选出一部分，使其成为具有给定分布的随机数它适用于连续型或离散型，单变量或多变量的分布函数()x F 的反函数难以显式表达的情况。
设随机变量x 的密度函数为)(x f ，)(x f 的最大值为C ，x 的取值范围为]10[，。 若独立的产生两个]10[，区间内的均匀分布的随机变量21u u ，，则1Cu 是在]0[C ，区间内均匀分布的随机变量，若满足式：)(21u f Cu ≤，则选取2u 为所需要的随机变量x ，即2u x =，否则舍弃2u 。 舍选法的原理可以用图加以说明。
从图形上看，在C ⨯1这块矩形面积上任投一点1p ，1p 的纵坐标为1Cu ，横坐
标为2u ，若该点位于曲线)(x f 下面，则认为抽样成功。成功的概率为)(x f 下的面积除以总面积C ，)(x f 下的面积的值等于分布函数的值。由于假设随机变量x 的取值范围为]10[，，因而该面积的值为1，那么成功的概率就是C 1，成功抽样的点符合所需要的分布。
{}C C dy dx u f Cu P x f 1)1()()(0
1
021=⨯=≤⎰
⎰
舍选法是根据)(x f 的特征规定一个函数)(x t ，对)(x t 的要求是： (1) )()(x f x t ≥； (2)
⎰
∞
∞
-∞<=C dx x t )(；
这样，令)(1
)(x t C
x r =
，则 1)(1
)(==⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-dx x t C
dx x r 从而可将其看作是一个密度函数，并用)(x r 代替)(x f 取样，以得到所需要的随机变量。
舍选法的步骤为：
(1) 产生()10~1，
U u (2) 由)(x r 独立地产生随机变量()10~2，
U u (3) 检验)(/)(221u t u f u ≤，若满足，则令2u x =，否则返回第一步。 2.4.3 组合法
当一个分布函数可以表示成若干个其他分布函数之和，而这些分布函数较原来的分布函数更易于取样时，则宜采用组合法。 设随机变量x 的分布函数()x F 可写成如下形式： ∑∞
==1)()(j j j x F p x F
其中0≥j p ，∑∞
==0
1j j p ，)(x F j 是其他类型的分布函数。或将随机变量x 的密度
