平面向量的数乘运算PPT课件

3a与a的方向相反 3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ; （2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
AO、 OD 可以用向量a，b线性表示．





运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
例1：计算下列各式
(1)(3) 4a (2)3(a b ) 2(a b ) a
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
ad????b试用ab表示向量解ac????abbd????b?a因为o分别为acbd的中点所以1122????????aoac1212abab1122????????odbd12?12b?aab1212ab和12?12ab都叫做向量ab的线性组合或者说aood????????可以用向量ab线性表示
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
向量的数乘
一、①λ
a 的定义及运算律 b=λa 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0)
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线

M，N分别是BC，AD的中点，一直AB=a, AD=b,
试用A，B表示下列向量。
AC=
__b_____1__a___; 2
MN
_-__1___b______________ 2
.
DM C
A
N
B
向量共线定理
问题3：若b a(a 0),则b与a是什么关系？
当 0 ，b与a同向；
b
与
当 0 ，b与a反向；
例1 计算：
典例分析
(1)(3) 4a
(2)3(a b) 2(a b) a
(3)(2a 3b c) (3a 2b c)
答案:(1)-12a ,(2)5b, (3) a 5b c
注意：与多项式的运算相同
典例分析
例2 如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB= a，AD= b，用a,b表示MA，MB，MC和MD.
共线，即证AB= BC或AB=
A
AC或AC= BC。
BC
典例分析
例4.如图，已知两个非零向量 a, b ,试作 OA=a b,
OB=a 2b, OC=a 3b,猜想A，B，C三点之间的位
置关系，并证明你的猜想
b
解：由图猜想A，B，C共线
a
AB=OB-OA=b,
C
AC=OC-OA=2b,
B
AC=2AB, 且A，B有公共点 因此A，B，C三点共线
（1）为何要求a是非零向量？ （2）b可以是零向量吗？
（3）为什么是唯一确定的？ （4）对任意的a,b,若a 与b 共线，一定有b a 吗？
向量共线定理
问题4：结合向量共线的充要条件，你能证明 A,B,C三点共线吗？
由图可知要证A，B，C三点共线，只需证AB 、BC

问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
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ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).

- = ,
得
解得 k=λ=- .

,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,

解得 k=- .







所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2

长度
3a
3| a |
3| a |
方向
与aa 相同
与 aa 相反
向量的数乘
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量
的 数乘 ，记作 a ，其长度与方向规定如下：
(1) | a | | | | a |
①数乘向量仍是向量.
(2) 当 λ>0 时， a 与 a 的方向相同；
向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的结果仍为向量．
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，
λ(μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ(μ 1 a ) ± λ(μ 2 b) ＝ λ μ 1 a ± λ μ 2 b
判断下列结论的正误：
(1) 0a 0
在实数λ，使得 AB AC 或 AB BC 即可
设a，b是不共线的两个向量.
→
→
→
(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线；
设a，b是不共线的两个向量.
若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 4
5.设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝
√
1
C.2(a＋b)
1
B.－2(a－b)
1
D.－2(a＋b)
三、向量共线的判定和应用
存在一个实数 ，使得 b a
1 证明向量共线
已知 a e1 e2 , b 2e1 2e2
判断 a 与 b 是否共线.

b / / a (a 0)
4.下列各组向量中，一定能推出 a∥b 的是