I.基本函数的导数 01.()0C '=；
02.()1x x μμμ-'=；
03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-；
05.
()2tan sec x x '=； 06.()2
cot csc x x '=-；
07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-；
09.()
ln x x
a a a '=； 10.()x
x e e '=；
11.()1
log ln a
x x a
'=； 12.()1ln x x '
=；
13.
(
)1
arcsin x '=；
14.(
)arccos x '
=； 15.()21
arctan 1x x '=
+； 16.()2
1
arccot 1x x '=-
+。
II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2
(0)u u v uv v v v '''
-??=≠ ???
。
III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则
dy dy du
dx du dx
= 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小
0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2
01lim 1cos 2x x x →-:
()0lim 1x
x e x →-: ()0limln 1x x x →+:
01
1x x n
→-:
● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 ()
()
lim g x B f x A =
● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一
(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一(),a b ξ∈，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0F x '≠则存在一
(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则
()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ'-='-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()()
lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）()
()
lim ()
x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()()
()
()lim
lim ()()
x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!!
n n
n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L
其中：()()()
()()11
01!
n n n f R x x x n ξ++=
-+ ,()0,x x ξ∈。
● 马克劳林公式： ()()()()()()()200001!2!!
n n
n f f f f x f x x x R x n '''=+++++L
其中：()()()
()111!
n n n f R x x n ξ++=
+,()0,x ξ∈。
1.
()()231
1 012!3!!1!n x x
n x x x e e x x n n θθ+=++++++<<+L ()x -∞<<∞ 2. ()()357211
sin 13!5!7!21!
m m x x x x x x m --=-+-++-+-L L ()x -∞<<∞ 3. ()()()2462cos 11 2!4!6!2!
n
n x x x x
x x n =-+-++-+-∞<<∞L L 4.
()231
1 111n x x x x x x =++++++-<<-K L 5. ()()24
22
111 111n n x x x x x
=-+-+-+-<<+L L 6. ()()2341
ln 112341
n n x x x x
x x n ++=-+-++-++L L ()11x -<≤ ● 驻点：导数为零的点 拐点：()()121222f x f x x x f ++??>
???
，则称()f x 在[],a b 上是凸的， ()()121222f x f x x x f ++??< ???
，则称()f x 在[],a b 上是凹的，
若曲线在0x 两旁改变凹凸性，则称()()00,x f x 为曲线的拐点。
● 凹凸性判断（充分条件）：设()f x ''存在，若a x b <<时()0f x ''<，则曲线是为凸的，若
a x
b <<时()0f x ''>，则曲线是为凹的。
设曲线方程()y f x =，()f x 具有二阶导数，则函数()y f x =在(),x y 的曲率K 为：()
2/3
21y K y ''
='+（工程中，若1y '<<时，K y ''=）。 基本积分公式：
kdx kx C =+? 1
1x x dx C μμ
μ+=++?
1
ln dx x C x =+?
21
arctan 1dx x C x =++?
arcsin x C =+?
cos sin xdx x C =+? sin cos xdx x C =-+?；
2
21sec tan cos dx xdx x C
x ==+??2
21csc cot sin dx xdx x C x ==-+??
sec tan sec x xdx x C =+? csc cot csc x x x C =-+?
x x
e dx e C =+? ln x x a a dx C a
=+? shxdx chx C =+? chxdx shx C =+?
*tan ln cos dx x C =-+? *cot ln sin xdx x C =-+?
*sec ln sec tan xdx x x C =++? *csc ln csc cot xdx x x C =-+?
*22
11arctan x
dx C x a a a
=++? *2211ln 2x a dx C x a a x a -=+-+?
*arcsin x C a =+?
*(ln x C =++?
*ln x C =++?
基本积分方法
1换元法：（1）设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ?=可导，则有：
()()()()f x x dx f u du F x C ???'==+?
?????????； （2）设()x t ?=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ?'≠，又设()()f x x ??'????具有原函数()F t ，
则有：()()()()1
f x dx f t t dt F t C ???-'??==+????????。
2分布积分法： udv uv vdu =-?? 3.有理函数积分：①()
n
A
dx x a -?
②()
2
n
Mx N
dx x
Px q +++?
4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：设tan 2x
u =，则2
2
1dx du u
=
+， 2
2sin 1u
x u
=+，221cos 1u x u -=+。 ● ()()2
2
2
2
1
1231216
n n n n ++++=++L 。
● 定积分中值定理：
()()()() b
a
f x dx f b a a b ξξ=-≤≤?。
● 定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则积分上限的函数
()()x
a x f t dt Φ=?在[],a
b 上具有导数，并且它的导数是
()()()() x
a d x f t dt f x a x
b dx 'Φ==≤≤? ● 定积分换元公式： ()(), a b ?α?β==，
()()()b a
f x dx f t t dt β
α
??'=??????。
●
()()2
20
sin cos f x dx f x dx π
π
=??
()()0
sin sin 2
xf x dx f x dx π
π
π
=
?
? ● 定积分的分步积分： []b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-?
?
()()201331 , 2422
sin 1342 , 253n n n n n n n I xdx n n n n n ππ
--???-==?--??-?
?g L g g g L g 为正偶数为大于1的奇数 ● 弧长计算公式：①
b
a
s =?;
②()()() t x t y t ?αβφ=??≤≤?=?? ，
s βα=?; ③()()()cos sin x r y r θθαθβθθ=??≤≤?=??
，s βαθ=?。
向量代数
● 定比分点公式：121212
, , 111x x y y z z x y z λλλλλλ
+++===+++。
● 数量积： cos a b a b θ=r r g
， x x y y z z a b a b a b a b =++r r g 。
cos a b a b a b a b
a b θ++==r r
g 。 ● 向量积：
x
y z
x
y
z
i j k a b a a a b b b ?=r r r r r
。 ● 平面
? 平面的一般方程：0Ax By Cz D +++=（向量{},,n A B C =r
为平面法向量）。 ? 平面点法式方程：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=。
? 平面的截距式方程：1x y z
a b c
++=（,,a b c 为平面在三个坐标轴上的截距）。
? 两个平面的夹角：两个平面方程为：1π平面：1110A x B y C z D +++=，
2π平面：2220A x B y C z D +++=，则两平面的夹角?的余弦为：
cos ?=
。
? 两平面平行的条件：
1111
2222
A B C D A B C D ==≠。
? 两平面垂直的条件： 1212120A A B B C C ++=。
? 点到平面的距离：平面：0Ax By Cz D +++=，平面外一点：()111,,M x y z ，则点M 到平面
的距离：d =。
● 空间直线
? 两个平面的交线：111
2220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??+++=?。
? 点向式方程：直线上的一点()0000,,M x y z ，直线的一个向量{},,S m n p =u r
，则直线方程为：
000x x y y z z m n p ---==，参数方程为：000x x mt
y y nt z z pt
=+??
=+??=+?
? 两直线的夹角：010*******:
x x y y z z L m n p ---==，020202
2222
:x x y y z z L m n p ---==，则两直线的夹角余
弦为：cos ?=
。
两直线平行：
111
222
m n p m n p ==， 两直线垂直：1212120m m n n p p ++=， ? 两直线共面（平行或相交）：
两直线：010*******
0202022
222
::x x y y z z L m n p x x y y z z L m n p ---?
==???---?==??，共面的条件：2121211
1122
2
0x x y y z z m n p m n p ---=。
? 直线与平面的夹角
平面： :0Ax By Cz D π+++=，直线：000
:x x y y z z L m n p
---== ①
若直线与平面相交，夹角：sin ?=
；
②若直线与平面平行：0Am Bn Cp ++=； ③若直线与平面垂直：A B C m n p
==。
多元函数微积分
1.方向导数：
sin f f f cos l x y
?????=+??? （?为x 轴到方向l 的转角） 2.梯度： () ,,f f f grad f x y z i j k x y z
???=++???r r r 3.二元函数的极值：(),z f x y =，()00,0x f x y =，()00,0y f x y =。令()00,xx f x y A =，()00,xy f x y B =，
()00,yy f x y C =。①当20AC B ->时具有极值，且当0A <时具有极大值，当0A >具有极小值；
②当20AC B -<时没有极值；③当20AC B -=时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨论。
3.二重积分的计算()()()()
()()()
2211,,,b
x d
y a x c y D
f x y d dx f x y dy dy f x y dx ?φ?φσ==??????
()(),cos ,sin D
D
f x y d f r r rdrd σθθθ=????
()()()()()()
()2121cos ,sin cos ,sin cos ,sin D
f r r rdrd f r r rdr d d f r r rdr
β
?θα
?θβ
?θα
?θθθθθθθθθθ??=????
=??????
4.曲面的面积计算：
D D
A σ==????
平面薄片的重心： ()()()(),,, ,,D D
D
D
x x y d y x y d M
M
x y M M x y d x y d ρσ
ρσ
ρσ
ρσ==
==
????????
平面薄片的转动惯量： ()()22
,, ,x y D
D
I y x y d I x x y d ρσρσ==????
5.三重积分的计算：
()()
()()()
()
2211,,,,,,b
y x z x y a
y x z x y D
f x y z dv dx dy f x y z dz =????
?
?
● 曲线积分和曲面积分
1.对弧长的曲线积分： ()
()
() x t t y t ?αβφ=??≤≤?
=?? ()()()
,,L
f x y ds f t t β
α
?φ=?????
? ()()()()
,,,,f x y z ds f t t t β
α
?φωΓ
=?????
? 2.对坐标的曲线积分： ()(), x t y t ?φ==
()()()()()()()(){}2
2
,,,,L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β
α
?φ??φφ'
'+=+?????????
?
3.对曲面的积分：
(
)(),,,,,xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=????
?? 4.对坐标的曲面积分：
● 无穷级数
? 收敛级数的基本性质：
1.如果级数1
n n u ∞
=∑收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1
n n ku ∞
=∑也收敛，且其
和为ks 。
2.如果级数s 、1
n n v ∞
=∑分别收敛于和s 、σ，则级数()1
n n n u v ∞
=±∑也收敛，且其和为s σ±。
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
4.如果级数1n n u ∞
=∑收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数
()()()
1
1221
1
1k n n n n n u u u
u u u ++++++++++++L L L L L 仍收敛，且其和不变。
5.（级数收敛的必要条件）如果级数1
n n u ∞
=∑收敛，则它的一般项趋于零，即lim 0n n u →∞
=。
? 常数项级数的审敛法：
定理1.正项级数1n n u ∞
=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n s 有界。
定理2（比较审敛法）.设1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞=∑都是正项级数，且()1,2,n n u v n ≤=L 。若级数1
n n v ∞
=∑收敛，
则级数1
n n u ∞=∑收敛；反之，若级数1
n n u ∞=∑发散，则级数1
n n v ∞
=∑发散。
推论1.设1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞=∑都是正项级数，如果级数1
n n v ∞
=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时
有()0n n u kv k ≤>成立，则级数1
n n u ∞=∑收敛；如果级数1
n n u ∞
=∑发散，且当n N ≥时有()0n n u kv k ≥>成
立，则级数1
n n v ∞
=∑发散。
推论2. 设1n n u ∞
=∑为正项级数，如果有1p >，使()1
1,2,n p u n n ≤=L ，则级数1n n u ∞
=∑收敛；如果
()1
1,2,n u n n ≥=L ，则级数1
n n u ∞
=∑发散。
定理3（比较审敛法的极限形式）. 设1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数，如果()lim
0n
n n
u l l v →∞
=<<+∞，则级数1
n n u ∞=∑和级数1
n n v ∞
=∑同时收敛或同时发散。
定理4（比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法）.若正项级数1
n n u ∞
=∑的后项于前项
之比值的极限等于ρ：1lim
n n n u u ρ+→∞
=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n n
u
u +→∞=∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散。
定理5（根值审敛法，柯西判别法）. 设1n n u ∞
=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的
极限等于ρ
：n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>
（或n =∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散。
定理6（莱布尼茨定理）.如果交错级数()1
11n n n u ∞
-=-∑满足条件：（1）()1 1,2,3n n u u n +≥=L ，（2）
lim 0n n u →∞
=，则级数收敛，且其和1s u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤。
定理7.如果级数1
n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1
n n u ∞
=∑必定收敛。
? 幂级数
定理1（阿贝尔（Abel ）定理）.如果级数1n n ax ∞
=∑当()000x x x =≠时收敛，则适合不等式0
x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数1
n n ax ∞
=∑当0x x =时发散，则适合不等式0
x x >的一切x 使这幂级数发散。
推论：如果幂级数1n n ax ∞
=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一
个完全确定的正数R 存在，使得：当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；
当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散。
定理2.如果1
lim n n n
a a ρ+→∞=，其中1n a +、n a 是幂级数1n n ax ∞
=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径()
()()1 0 00 R ρρ
ρρ?≠??=+∞=??=+∞??
性质1. 设幂级数1
n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >，则其和函数()s x 在区间(),R R -内连续。如果
幂级数在x R =（或x R =-）也收敛，则和函数()s x 在(],R R -（或[),R R -）连续。 性质2.设幂级数1n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >，则其和函数()s x 在区间(),R R -内是可导的，且
有逐项求导公式()()111
1n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞
-==='??''=== ???∑∑∑，其中x R <，逐项求导后得到的幂级
数和原级数有相同的收敛半径。
性质3.设幂级数1n n ax ∞
=∑的收敛半径()0R R >，则其和函数()s x 在区间(),R R -内是可积的，且
有逐项积分公式()100
01111x x
x n n
n n n n
n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===??===??+??
∑∑∑???,其中x R <，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
● 欧拉公式： cos sin ix e x i x =+
● 傅立叶级数
()cos 0 n=1,2,3,nxdx ππ-
=?L ()sin 0 n=1,2,3,nxdx π
π-
=?L
()sin cos 0 n=1,2,3,kx nxdx π
π-
=?L
()sin sin 0 n=1,2,3,,kx nxdx k n π
π-
=≠?L
()cos cos 0 n=1,2,3,,kx nxdx k n π
π-
=≠?L
? 函数展开成傅里叶级数 （()f x 是周期为2π的周期函数）
()()01
cos sin 2k k k a f x a kx b kx ∞
==++∑
其中：()()()()()011cos n=0,1,2,1sin n=1,2,3,n n a f x dx a f x nxdx b f x nxdx πππππππππ---?
=??
?=??
?
=??
???L L 定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）：设()f x 是周期为2π的周期函数，如果它满足：
（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， （2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 则()f x 的傅里叶级数收敛，并且：
当x 是()f x 的连续点时，级数收敛于()f x ；
当x 是()f x 的间断点时，级数收敛于()()1
002
f x f x -++????。 定理. 设()f x 是周期为2π的函数，在一个周期上可积，则 （1）当()f x 为奇函数时，它的傅里叶系数为：
()()()00 n=0,1,2,3,2sin n=1,2,3,n n
a b f x nxdx ππ=???=??
?L L
（2）当()f x 为偶函数时，它的傅里叶系数为：()()()02cos n=0,1,2,3,0 n=1,2,3,n n a f x nxdx b ππ?
=???=??L L ? 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数
定理：设周期为2l 的周期函数()f x 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为：
()()01
cos sin 2k k k a f x a kx b kx ∞
==++∑
其中系数,n n a b 为：()()()()1cos n=0,1,2,1sin n=1,2,3,l n l l n l n x a f x dx l l
n x b f x dx l l ππ--?=????=????L L 当()f x 为奇函数时，()1sin n n n x f x b l π∞
=?
?= ??
?∑
其中系数n b 为：()()02sin n=1,2,3,l n n x
b f x dx l l π=?L 当()f x 为偶函数时，()01cos 2n n a n x f x a l π∞=??=+ ???
∑
其中系数n a 为：()()02cos n=0,1,2,l n n x
a f x dx l l π=?L
● 微分方程：
? 齐次方程： dy y dx x ???= ???
()()()y dy du u y ux u x x dx dx dy du dx u y du u u x u dx x d u x x ????=
→=→=+??
==→+=→ ???
=- ?
高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝
（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=
等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=
高等数学重要公式（必记） 一、导数公式： 二、基本积分表： 三、三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则 设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' =
I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '=； 14.( )arccos x ' =-； 15.()21 arctan 1x x '= +； 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小 limsin x x x → 0 lim tan x x x → () 20 1lim 1cos 2x x x →- () lim 1x x e x →- () limln 1x x x → + 0 11 x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()2 00000001!2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+ +-+ 其中：()( ) ()()() 1101! n n n f R x x x n ξ++= -+ , ()0,x x ξ∈。
高等数学 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0π π
高等数学中的求导公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = '， (13) 2 11 )(arcsin x x -= ' (14) 2 11 )(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为
高等数学中的求导公式 新编 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为
I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '=； 14.( )arccos x ' =； 15.()21 arctan 1x x '= +； 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小 0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2 01lim 1cos 2x x x →-: ()0lim 1x x e x →-: ()0limln 1x x x →+: 01 1x x n →-: ● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一 (),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一(),a b ξ∈，使得 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0F x '≠则存在一 (),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则 ()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-='-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L 其中：()()() ()()11 01! n n n f R x x x n ξ++= -+ ,()0,x x ξ∈。 ● 马克劳林公式： ()()()()()()()200001!2!! n n n f f f f x f x x x R x n '''=+++++L
本人费了好大的力才弄到,谢谢收藏 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
【导数】 一、 导数的定义 设函数)(x f y = 在点 x 0的某个邻域内有定义，当x 在x 0处取得 增量x ?（点x 0＋x ?仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量())(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，增加量y ?与 x ?之比的极限 x y x ??→?lim 0＝x x f x x f x ?-?+→?)()(000lim ＝0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点 x 0处的导数，并称函 数)(x f 在x 0处可导， 记作： x x f x x f x f x ?-?+= '→?) ()()(000 0lim 如果x y x ??→?lim 0 不存在，则称函数)(x f 在x 0处不可导 二、 左右导数 1） 左导数 若当-→?0x 时，x y ??的极限存在，则称此极限值为函数) (x f 在x 0处的左导数， 即：()0x f -'＝x y x ??-→?lim 0＝()() x x f x x f x ?-?+- →?000 lim 2） 右导数 若当+→?0x 时，x y ??的极限存在，则称此极限值为函数) (x f 在x 0处的右导数，
即：()0x f +'＝x y x ??+→?lim 0＝()() x x f x x f x ?-?++ →?000 lim 定理1：函数)(x f 在x 0处的可导的充要条件是，)(x f 在x 0处左右导数均存在，且()0x f -'＝() 0x f +' 三、 可导与连续的关系 若)(x f y = 在 x 0处可导，则在x 0处必定连续，可导?连续，反 之不对。 四、 求导公式 1） 基本初等函数的导数公式 ① 0='C （C 为常数） ② ()1-=' n n nx x （n 为任意常数） ③ () a a a x x ln =' （a ＞0，a ≠1）特别的：()x x e e =' ④ ()a x e x x a a ln 1 log 1log ==' （a ＞0，a ≠1） 特别的：()x x 1 ln =' ⑤ () x x cos sin =' ⑥ () x x sin cos -='
高等数学中的求导公式 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1 )(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211 )(arccos x x -- =' (15) 21 (arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''=
高数公式汇总 经管学生会内部资料 高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 1 (arcctgx ) 1 (log a x) 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2 2 a x dx x 2 a 2 dx 2 2 a x dx 2 2 a x ln cosx C ln sin x C ln secx tgx C ln cscx ctgx C 1 x arctg C a a 1 x a ln x C 2a a 1 a x ln a C 2a x x arcsin C dx sec 2 xdx tgx C cos 2 x dx 2 sin 2 x csc xdx ctgx C secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx a 2 ln( x x 2 a 2 ) C x 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 x C a 2 2 arcsin a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，