二次函数(2)--由动点生的特殊斯四边行问题 (1)

中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题 》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线223y x x =+-的图像与坐标轴分别交于、、A B C 三点，连接AC ，点M 是AC 的中点，抛物线的对称轴交x 轴于点F ，作直线FM ．(1)直接写出下列各点的坐标：F ______，M ______；(2)若点P 为直线FM 下方抛物线上动点，过点P 作PQ y ∥轴，交直线FM 于点Q ，当PQM 为直角三角形时，求点P 的坐标；(3)若点N 是x 轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E ，使以点F M N E 、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线223y x x =--+的顶点为D 点，且与x 轴交于B ，A 两点（B 在A 的左侧），与y 轴交于点C ．点E 为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠的值；(2)若点Р在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点Р的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55AE DE +取得最小值，连接AE 并延长交第二象限抛物线为点M ，请直接写出AM 的长度．4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AC ，CD ，DB ，试求四边形ABDC 面积的最大值；(3)如图2，点(),1D m m -是第一象限内抛物线上的一点，连接AD ，BD ，点E 是线段AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），过点E 分别作EM AD ∥交BD 于点M ，EN BD ∥交AD 于点N ．①判断四边形EMDN 的形状，并证明你的结论；①四边形EMDN 是否能成为正方形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，其中1OA =，OC=3．(1)若二次函数经过A 、B 、C 三点，求该二次函数的解析式；(2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．(3)在（1）条件下，若E 为x 轴上一个动点，F 为抛物线上的一个动点，使得B 、C 、E 、F 构成平行四边形时，求E 点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =++与直线AB 交于点()0,3A -和()4,0B ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交AB 于点E ，过点P 作AB 的垂线，垂足为点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PEF 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，点N 为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M ，使得以点B ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PBC 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，y 轴上有一点()0,3D -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AD 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，PH 交直线AD 于点E ，作PF BC 交直线AD 于点F ，求11510PF PH +的最大值，及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将点P 向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P '；将抛物线沿着射线BC 方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M 为新抛物线与y 轴的交点，N 为新抛物线上一点，Q 为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P '，M ，Q ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．9．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点()1,0A -、()4,0B （A 点在B 点左侧），顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线232y ax x c =++与x 轴交于点A 、(4,0)B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2所示，当点P 在直线BC 上方运动时，连接AC ，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P 点坐标．(3)若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，P 的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B M N P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．(1)求抛物线的解析式． (2)连接AC ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ACP △的周长最小？若存在，求出点P 的坐标和ACP △的周长的最小值，若不存在，请说明理由．(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为x 轴上一动点，当以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M 的横坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP 面积的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()10A -，，()30B ，和()01C -，三点．(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．14．如图，抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标是19,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点A 、点()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在抛物线上，是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当PDE △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．参考答案： 1．(1)(1,0)F - 13(,)22M - (2)点P 的坐标为：1P （210322---，） 21555(,)22P ---- (3)存在，13(,)22E 或3(1,)2E --2．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--3．(1)55(2)存在 ()2,3P - ()4,5P -- ()2,5P -(3)754AM =4．(1)213222y x x =-++ (2)四边形ABDC 面积的最大值为9(3)①矩形①能，7,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)2=23y x x --(2)存在(3)(72,0)-或(72,0)--或(1,0)6．(1)239344y x x =-- (2)365 92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)13693,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 727,216M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 333,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)2=23y x x --(2)315(,)24P - (3)17(,)24N -或533(,)24N 或57(,)24N --8．(1)2142y x x =-- (2)11510PF PH +最大值为758，此时点P 的坐标为335,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点Q 的坐标为()2,39或()2,29或()2,10-9．(1)213222y x x =-++ (2)9(3)3132+或3912--10．(1)233642y x x =-++ (2)2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，点P 的坐标为(2,6)(3)存在，点M 的坐标为(0,0)或()14,0-或(14,0)或(8,0)11．(1)223y x x =-++(2)(1,2)P 1032+(3)2或17+或17-12．(1)(0,5)(2)1258(3)存在，点M 的坐标为：()3,8-或()3,16-或(7,16)--13．(1)212133y x x =--，顶点坐标为413⎛⎫- ⎪⎝⎭， (2)()21-，或543⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()47-，14．(1)22y x x =-++(2)存在，点Q 的坐标为：35,24Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或37,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭15．(1)点B 的坐标为()20，，直线AC 的解析式为4y x =-- (2)()24--，(3)()24--，或()1174--，或()1174-+，；。

二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备:n物线与直线形的结合表形式之一是，以搪物线为载体，探时是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1J搪物线上的点能否构成平行四边形〔2〕搪锄线上的点能否相成矩形，菱形，正方形(3)搪物线上的点能否成成梯形。

特珠四边形的性质与是解决这类问题的根底，而待定系数法，数形结合，分类时论是解决这类问题的关键二、二题精析(一)【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，他枷线y = —/+公+。

与直线y = J%+2交于C,。

两点，其中点。

在丁轴上,7点。

的坐标为(3,—)。

点P是y轴右倒的抛物线上一就点，过点P作PEJ_x轴于点E,交2CD于点尸.(1)求槌物线的解析式；〔2〕假设点P的横坐标为机，当初为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

〔3〕假设存在点P,使/PCF = 45。

，请直接写出相应的点P的坐标【解答】〔1〕∙.∙直线y = Jx+2经过点C,.∙.C(0,2)7∙.∙搪物线y = —炉+瓜+c经过点C(0,2), D (3,-)2 = c [ 7b =一/. 7 , ，〈 2—=—32 + 3/7 + c c〔2 〔。

= 27他物线的解析式为y = -∕+]χ+2〔2〕∙.∙点P的横坐标为团且在地物线上7 19.∙. P(m, 一"Γ + —m÷2), F(m, — m + 2)∙.∙p/〃 C。

，.•.当相=CO时，以。

,C,P,b为顶点的四边形是平行四边形7 1① 当0 v〃z<3 时，PF = -m2 + —m + 2-(-m + 2) = -m2 +3m2 2.∙. -m2 + 3/7? = 2 ,解得：m l=l,m2=2即当〃2 = 1或2时，四边形0。

尸是平行四边形1 7② 当m≥3 时，PF - (―m + 2)-(-m2 + — m + 2) = m2 -3m2 27 o _ ⅛tn ZB 3 + Jl 7 3 —∖∣17 r . ."r -3m= 2 ,解得：m1= ---,m, =--—〔舍去〕2-2即当叫二三普时，四边形OCFP是平行四边形〔3〕如图，当点P在。

∴N（5﹣ ， ），
③以BD为边， 过M作MH⊥x轴于H， ∴在RT△BHM中MH2+BH2=BM2
即
1 (n 2)2 (n 4)2 12 2
∴
n1

4

25 5
n2
42 5 4
（不合题意舍去）
∴N（5+ ， ）
菱形的存在性问题
• 题目背景：此类题目考查的是二次函数的 综合应用，主要涉及了待定系数法求一次 函数、二次函数的解析式、勾股定理（解 直角三角形）以及菱形的性质。
①若以PQ为菱形对角线， 此时BQ=t，菱形的边长=t
因为BQ=CQ=t
t5 2
点Q为BC的中点，
Q( 3， 2) 2
∵ D2与点Q的横坐标相差t个单位 D2 (1， 2)
②若以CQ为菱形对角线，
此时BQ t菱形的边长 t CE 1 CQ 1 (5 t)
2
2
在R T △CE P中 c os
X
A
2
XC
,
YA
2
YC
)
又∵点E为BD的中点
∴E点的坐标为
(XB
2
XD
, YB
YD 2
)
∴ XA XC XB XD,,YA YC YB YD
即：平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标 之和分别相等
类型一：三点一动的平行四边形
(3)在抛物线 y x2 2x a(a＜0）上是否存在一点P，使 得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？
(∴综公∴1)P上由式m3=，(已得42满,，知-：足1∴条)-条.件1P+2件可0(的=4得3点+,抛mP物，53为线)P1∴；的(-表m4=,达-74)式，、yP∴=2(P41(,-54,7))、；

二次函数--由动点生的特殊斯四边行问题一个二次函数是指形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数是高中数学课程中的重要内容，它不仅在数学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将探讨由动点生成的特殊四边形问题。

首先，我们来考虑一个特殊的四边形问题：由动点 P 在直角坐标系内运动而生成的四边形 PQRS，其中点 P 的坐标为 (x, ax^2+bx+c)，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0，点 Q、R、S 分别在 x 轴上的坐标为x1、x2、x3、我们的任务是求解 Q、R、S 的坐标。

为了解决这个问题，我们首先求解点 P 和点 S 的坐标。

由于点 S在 x 轴上，所以 y 坐标为 0，即 (x3, 0)。

将这个坐标代入二次函数的表达式中，我们可以得到一个方程：0 = ax3^2 + bx3 + c。

同样的方法，我们可以得到点 P 的坐标是 (x, ax^2+bx+c)。

将其代入方程中，我们可以得到另一个方程：ax^2 + bx + c = ax3^2 + bx3 + c。

将这两个方程进行整理，我们可以得到一个简化的方程组：ax^2 + bx - ax3^2 - bx3 = 0ax3^2 + bx3 - ax^2 - bx = 0将这个方程组进行整理，我们可以得到：a(x3^2-x^2)+b(x3-x)=0由于a≠0，所以我们可以将方程除以a：(x3^2-x^2)+b/a(x3-x)=0这意味着我们可以得到以下两个方程：x3^2-x^2=0x3-x=0我们可以解这两个方程得到 x3 = x 和 x = 0，即点 S 和点 R 在 x 轴上，且点 Q 在 x 轴上的坐标为 0。

因此，我们可以得到点 Q、R、S的坐标为 (0, c)、(x, ax^2+bx+c) 和 (x, 0)。

通过上面的分析，我们可以发现，由动点生成的特殊四边形PQRS是一个梯形，其中点Q和点S分别在x轴上，点R在二次函数曲线上。