量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
答案一、 选择题 (本题共36分，每小题3分)1. （0586）(A) ２.（0686）(C) 3.（0048）(C) 4.（0063）(D) 5.（0078）(B)6. （0165）(A)7. (4100) (D)8. (4057) (B)9.（4011）(D) 10.（1001）（B ）11.（1235）（A ） 12.（1328）（C ）二、 填空题(本题共24分，每小题4分)13.（0002）4 s (2分) ； 2 s (2分)14. (0082) －F 0R 4分15.（0546）（1）kl cos θ 2分； （3）W ＝2kl sin θ 2分16.（1382） ()32102281q q q R ++πε 4分 17.（1313） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πb ar r q q 1140ε 4分 18.（1446） 364220Q /(R )επ 4分三、 计算题(0168)解：(1) 设滑块A 离开弹簧时速度为v ，在弹簧恢复原长的过程中，机械能守恒，因而有 222121v m kx = ① 2分 (2) A 脱离弹簧后速度不变，与B 作完全弹性碰撞后，交换速度，A 静止，B 以初速度v 沿圆环轨道上升． 2分(3) B 在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒．以v ＇表示B 脱离轨道时的速度，则有2221)cos 1(21v v '++=m mgR m α ② 2分 R m mg /cos 2v '=α ③ 2分由①、②、③式解出 )2/(7k mgR x = 2分四、 计算题（0232）解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．小球到B 点时： J 0ω0＝(J 0＋mR 2)ω ① 3分()22222000111222B J mgR J m R ωωω+=++v ② 3分 式中B v 表示小球在B 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．由式①得： ω＝J 0ω 0 / (J 0 + mR 2)代入式②得2200202B J R gR mR J ω=++v 2分 当小球滑到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C 的动能完全由重力势能转换而来．即：()222C m mg R =v , 4C gR =v 2分五、 计算题（4131）解：设状态“2”和“4”的温度为T)()(132341T T R T T R W W W -+-=+=RT T T R 2)(31-+= 4分 ∵ p 1 = p 4，p 2 = p 3，V 1 = V 2，V 3 = V 4而 111RT V p =，333RT V p =，RT V p =22，RT V p =44 3分∴ 2331131/R V p V p T T =，244222/R V p V p T = . 2分得 312T T T =，即 2/131)(T T T = ∴ ])(2[2/13131T T T T R W -+= 1分六、 计算题（1182）解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据高斯定理可求得两圆筒间任一点的电场强度为 rE r εελ02π=2分 则两圆筒的电势差为 1200ln 22d d 2121R R r r r E U r R R r R R εελεελπ=π==⎰⎰⋅ 2分 解得 120ln 2R R U r εελπ=1分 于是可求得Ａ点的电场强度为 A E )/ln(12R R R U = = 998 V/m ．（方向沿径向向外） 2分A 点与外筒间的电势差： ⎰⎰=='22d )/ln(d 12RR R R r r R R U r E U R R R R U 212ln )/ln(== 12.5 V ． 3分。
