量子力学答案破解版

A− B = ∫
π 2 π − 2
（1）
µ 2E ⋅ cos 2θdθ k
π
= ∫ 2π E
− 2
µ cos 2θd (2θ ) k ϖ cos ϕdϕ , k
π
=∫ E
这里 ϕ =2θ，这样，就有
π 2 π − 2
A− B=∫ E
−π
µ d sin ϕ = 0 k µ k
（2 ∂ � 1 ∂ ∇ = r0 + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
( 2)
可见， J 2 与r 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ψ ( x) = e
ikx
�
�
� iℏ * * J2 = (ψ 2∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ ) 2m iℏ 1 −ikr ∂ 1 ikr 1 ikr ∂ 1 −ikr � = [ e ( e )− e ( e )]r0 2m r ∂r r r ∂r r iℏ 1 1 1 1 1 1 � = [ (− 2 + ik ) − (− 2 − ik )]r0 2m r r r r r r ℏk � ℏk � = − 2 r0 = − 3 r mr mr
A = Eπ
这样，便有
Eπ
⇒
µ n = h k 2 n µ E= h 2π k
4
= nh
其中 h =
µ , k
h 2π
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
⇒
υ2 = qυB R p = µυ = qBR µ
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波 长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv，
h λ 2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 << µ e c ） ，那么 P= E=
' ρλ =
8πhc ⋅ λ6
⇒
⇒
如果令 x=
⎛ hc 1 ⎜ −5+ ⋅ hc hc ⎜ − λkT ⎜ λkT λkT e −1 ⎝ 1− e hc 1 −5 + ⋅ =0 hc − λkT λkT 1− e hc − hc 5(1 − e λkT ) = λkT 1
⎞ ⎟ =0 ⎟ ⎟ ⎠
hc ，则上述方程为 λkT
5(1 − e − x ) = x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一 个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的， 这 样则有
λmT =
hc xk
1
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
λ m T = 2.9 × 10 −3 m ⋅ K
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
∫
⇒ ⇒
2π
0
qBRd ( Rθ ) = nh
qBR 2 ⋅ 2π = nh qBR 2 = nh
p2 又因为动能耐 E = ，所以，有 2µ E=
(qBR) 2 q 2 B 2 R 2 = 2µ 2µ qBnℏ qℏ = = nB ⋅ 2µ 2µ = nBN B ,
如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积， 即 0.51 × 10 eV ，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
6
p2 2µ e
λ=
h p
= = =
h 2µ e E hc
2µ e c 2 E 1.24 × 10 −6
2 × 3.7 × 10 9 × 1.5 ×10 −3 = 0.37 × 10 −9 m = 0.37 nm
这里，利用了
m
µ 核 c 2 = 4 × 931 × 10 6 eV = 3.7 × 10 9 eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体 系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
3 ，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波 kT （k 为玻耳兹曼常数） 2
2
1k ⋅ K = 10 −3 eV ，
知本题的氦原子的动能为
E=
显然远远小于 µ 核 c 这样，便有
2
3 3 kT = k ⋅ K = 1.5 × 10 −3 eV , 2 2
λ=
=
hc
2 µ核 c 2 E 1.24 × 10 −6
λ=
hc
2 µc 2 E
=
hc
2 µkc 2 T
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明 显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时 就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须用量子的描述粒子的统计分布—— 玻色分布或费米公布。 1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 M B = 9 × 10 −24 J ⋅ T −1 ，试计算运能的量子化间隔△E， 并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为
其中， M B =
qℏ 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2µ ∆E = BM B
∆E = 10 × 9 × 10 −24 J = 9 × 10 −23 J
具体到本题，有 根据动能与温度的关系式
E=
以及
3 kT 2
1k ⋅ K = 10 −3 eV = 1.6 × 10 −22 J
� iℏ * * J1 = (ψ 1∇ψ 1 −ψ 1 ∇ψ 1 ) 2m iℏ 1 ikr ∂ 1 −ikr 1 −ikr ∂ 1 ikr � = [ e ( e )− e ( e )]r0 2m r ∂r r r ∂r r iℏ 1 1 1 1 1 1 � = [ (− 2 − ik ) − (− 2 + ik )]r0 2m r r r r r r ℏk � ℏk � = r = r 0 mr 2 mr 3
∫ pdq = nh
其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积 一圈，n 是正整数。 （1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为μ，于是有
E=
这样，便有
p2 1 2 + kx 2µ 2
1 2 kx ) 2
p = ± 2µ ( E −
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动， 一正一负正好表示一个来 回，运动了一圈。此外，根据
∫
π 2 π − 2
2µE cos θ ⋅
∫
π 2 π = 2
2E ⋅
µ n cos 2 θdθ = h k 2
π
这时，令上式左边的积分为 A，此外再构造一个积分
B = ∫ 2π 2 E ⋅
− 2
µ sin 2 θdθ k
这样，便有
π
A + B = ∫ 2π 2 E ⋅
− 2
µ µ dθ = 2 Eπ ⋅ , k k
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 λ m 与温度 T 成反 比，即 ； λ m T=b（常量） 并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式
ρvdv =
以及 有
e −1 λv = c ， ρ v dv = − ρ v dλ ， dv dλ ⎛c⎞ d⎜ ⎟ ⎝λ⎠ = − ρ v (λ ) dλ ρ (λ ) = v ⋅c λ 8πhc 1 = 5 ⋅ hc , λ e λkT − 1 ρ λ = −ρ
可见 J与t 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
i
�
(1 )ψ
1
=
1 ikr e r
( 2 )ψ
2
=
1 − ikr e r
从所得结果说明ψ 1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J 1和J 2 只有r分量
�
�
6
在球坐标中
(1)
� � J1与 r 同向。表示向外传播的球面波。
∫
x+
x−
⇒
∫
x+
x−
1 n 2 µ ( E − kx 2 ) dx = h 2 2
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
x=
这样，便有
π 2 π − 2
2E sin θ k
∫
⇒ ⇒
⎛ 2E ⎞ n ⎟ 2 µE cos 2 θd ⎜ ⎜ k sin θ ⎟ = 2 h ⎝ ⎠ 2E n cos θdθ = h k 2
E=
可解出
1 2 kx 2
x± = ±
2E k
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
3
∫
⇒
x+
x−
x− 1 1 2 µ ( E − kx 2 )dx + ∫ (−) 2µ ( E − kx 2 )dx = nh x+ 2 2 x+ 1 1 2 µ ( E − kx 2 )dx + ∫ 2 µ ( E − kx 2 ) dx = nh x − 2 2
2 × 0.51 × 10 6 × 3 = 0.71 × 10 −9 m = 0.71nm