《量子力学试卷A》答案
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《量子力学》试题 A 答案 （闭卷）（电子科学与技术系2008级）姓名 班级 学号1、 (10分) 简述量子力学的5个基本假设[答] (1) 微观体系状体由波函数描述。
波函数满足连续性、有限性和单值性。
(2) 力学量用厄米算符表示。
(3) 将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开则在 态中测量力学量得到 结果为 的几率是 ,得到结果在 范围内的几率是 (4) 体系的状态波函数满足薛定谔方程： , 为体系的哈密顿算符。
(5) 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。
2、(10分) 分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。
1()()()E E ix i tix i tx u x eu x eψ---=+12212()()()()E E iti tx u x eu x e E E ψ--=+≠3()()()E E i t i tx u x eu x eψ-=+[答]21122*222()()()(2)E E E E ititx x u x eeωψψ--==++ 与时间无关,是定态；2*22111()()()(2)i x i x x x u x e e ωψψ-==++， 与时间有关,不是定态；i H t∧∂ψ=ψ∂H ∧n λ2n c d λλλ→+2c d λλF ∧ψψF ∧Φ()n n n F F λλλλ∧∧Φ=ΦΦ=Φn n n c c d λλλψ=Φ+Φ∑⎰222*333()()()(2)EEititx x u x e eωψψ-==++，与时间有关,不是定态。
3、(10分) 已知一质量为m 的粒子在一维势场⎩⎨⎧<>∞≤≤=000)(x a x ax x U 或中运动（1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程; （2）求解该粒子的能级;（3）求解该粒子归一化后的波函数. [答]222222()()2()()()2d x E x x a m dx d x x E x x am dx ψψψψψ⎧-=≤⎪⎪⎨⎪-+∞=>⎪⎩令222mE k = 则有 通解为kx B kx A x cos sin )(+=ψ 边界条件为：解得， 能级 波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<>≤≤=000)sin(2)(x a x a x axn a x 或πψ4、(10分) (1) 设ˆˆ,AB 为厄米算符，且[ˆˆ,A B ]0≠，证明ˆˆˆˆ()i AB BA -为厄米算符；(2) 下列算符中，哪些是线性算符？ 其中哪些是厄米算符？dxdx ,2， 22dx d ，， Sin ， dxdi，ln [答] (1)因为ˆˆ,AB 为厄米算符，对于任意两个波函数,φψ，有： ***ˆˆA d A d φψτφψτ=⎰⎰，***B d B d φψτφψτ=⎰⎰E ψ222()0d k x dx ψψ+=()sin cos 0(0)cos 0a A ka B ka B ka ψψ=+===0B =n k aπ=22222n E ma π=***********************ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,]()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆ()([,])i A B d i AB BA d i AB d i BA d i A B d i B A d i B A d i A Bd iBA d iAB B d iAB iBA d i A Bd φψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτφψτ=-=-=-=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即ˆˆˆˆ()i ABBA -为厄米算符，得证。
(2所以线性算符和厄米算符定义可判断：线性算符：dx d x ,2， 22dx d ， dx di厄米算符：2,x 22dx d ， dxd i5、(10分) 根据测不准关系，估算氢原子的基态能级。
[答] 由测不准关系 rp≈/r p ≈对于氢原子 222p e E m r =-,即222p e E p m =- 处于基态时，200p p p dEe dpm==-=，20me p = 所以2422402212m e e me me E m =-=-6、(10分) 设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为πψ412/2/3100ar e a -=，计算(1)库仑势能r e r V 2)(-=的平均值;(2)最可几半径。
[答] (1) 221()e V r e r r<>=<->=-<>1001002*2//23/2012()4r a r a V r e d e e dr r a ψψτπ∞--<>=-=-⋅⎰⎰ 22/304()r ae V r e r dr a ∞-<>=-⎰解得2222/2/2002()r a r ae e e V r e dr de a a a ∞∞--<>=-==-⎰⎰(2)电子的径向分布函数为()w r22100()4w r dr r dr πψ= 2222/10034()4r aw r r r ea πψ-==对于最可几半径0r ，0()0r r dw r dr ==，并且022()0r r d w r dr =>， 解得 0r a =。
7、 (10分)设已知在z L L ˆ,ˆ2的共同表象中，算符xˆL 矩阵为 000200y i L i i i -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎭,(1)求y ˆL 的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵ˆy L 对角化;(2) 求xˆL 的矩阵表示。
[答] (1) 设y ˆL 的本征函数为123c c c ϕ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则y ˆL 的本征方程 112233000200i c c i i c c i c c λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭'1'2'30020i c i ic ic λλλ⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎭，这里'2λλ= '''00i i i iλλλ----=- ， 解得：'1λ=，'20λ=，'3λ=yˆL 的本征值依次为-，0，。
1λ=-时，12320020i c i ic c i⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝，1212323ic ic ic ic ==+=，经整理11121ϕ⎛⎫ =-⎪-⎝⎭，同理得2101ϕ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，31121ϕ⎛⎫ = ⎪-⎝⎭ 对角化100000001y L -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）根据[,]y z x L L i L =,将矩阵形式带入，解得010*******x L ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎭8、(10分) (1)什么是全同性原理，全同性原理对体系波函数有何要求？(2)证明电子具有自旋的实验有哪些？自旋角动量有何特点？[答] （1）全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变。
描写全同粒子体系的状态波函数只能是对称的或反对称的，而且其对称性（交换对称性）不随时间改变。
（2）a 、Stern-Gerlach 实验，基态（S 态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
b 、塞曼效应。
c 、光谱的精细结构。
自旋角动量满足与其他角动量相同的对易关系ˆˆˆSS i S ⨯=，且在任意方向投影只能取 ±/2 两个值，自旋量子数s 只有一个数值1/2。
9、（10分）已知某表象中Hamilton 量的矩阵形式120230001c H cc ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭和微扰论方法中能级二级近似公式为2(2)(0)(0)||knnk n n k H E E E ≠'=-∑，（1）讨论微扰法适用的条件，（2）设c << 1，求H 本征值的一级近似和二级近似。
[答]（1）(0)(0)(0)(0)1mnn m n mH E E E E ，H mn 要小，即微扰矩阵元要小；|En (0) – Em (0)| 要大，即能级间距要宽。
（2）0H H H '=+，010002003020000100c H H cc ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，由非简并微扰公式：(1)2(2)(0)(0)||n nnknn k n n kE H H E E E ≠'⎧=⎪'⎨=⎪-⎩∑能量一级修正：(1)111(1)222(1)33300E H E H E H c '⎧==⎪'==⎨⎪'==⎩能量二级修正为：222(2)2311211(0)(0)(0)(0)(0)(0)111213||||||2k k k H H H Ec E E E E E E ≠'''==+=----∑222(2)2322122(0)(0)(0)(0)(0)(0)222123||||||2k k k H H H Ec E E E E E E ≠'''==+=---∑222(2)313233(0)(0)(0)(0)(0)(0)333132||||||0k k k H H H EE E E E E E ≠'''==+=---∑10、（10分）（1）证明量子力学体系所有任意态中，基态能量最低， （2）在恒定弱电场ε作用下的一维带电荷e 的简谐振子Hamilton 量为22222d 1ˆ2d 2H x e x x μωεμ=-+- 试参考一维简谐振子的本征函数22/2()()x n n n x N eH x αψα-=，提出此体系基态的近似解，并说明理由。
[答]（1）设H 本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=><=>>=∑mnn m n n n n n n n E H δψψψψψψ|1||,2,1,0 ,||ˆ其中设体系的 Hamilton 量本征值由小到大顺序排列为：能级E0 < E1 < E2 < ...< En <...，本征态|ψ0> , |ψ1> ,|ψ2> ,...,|ψn>,... 则任意叠加态n nc φψ=∑的能量为20ˆn n H c E E φφ=≥∑。
（2）试探波函数的选取原则：根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；试探波函数要满足问题的边界条件；为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；若体系 Hamilton 量可以分成两部分 H =H 0 + H 1，而H 0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。
