(全国通用版)201x年中考数学复习 第六单元 圆 第24讲 与圆相关的计算练习

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第24讲与圆相关的计算1．（2016·宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( D )A．3π B．6π C．9π D．12π2．(2016·泉州）如图，圆锥底面圆半径为r cm，母线长为10 cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为( B )A．3 B．6 C．3π D．6π3．（2016·青岛)如图,一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面帖纸，则贴纸的面积为( B ）A．175π cm2 B．350π cm2 C。

8003π cm2 D．150π cm24．（2016·临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点,AC经过点O，与⊙O分别相交于点D,C.若∠ACB＝30°,AB＝3,则阴影部分面积是( C )A错误! B。

错误! C.错误!－错误! D。

错误!－错误!5．(2016·十堰)如图，从一张腰长为60 cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗）,则该圆锥的高为( D ）A．10 cm B．15 cm C．10错误! cm D．20错误! cm6．（2016·衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为16．7．（2016·台州)如图,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C＝40°,则劣弧AB的长是错误!π．8．(2016·邵阳)如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形,点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积是错误!．9．(2016·襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C,D是半圆O的三等分点．若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为错误!．10．（2016·淮安）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A。

第一部分 第六章 第24讲命题点1 切线的判定及相关计算1．(2016·云南20题8分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝6，∠D ＝30°，求图中阴影部分的面积. (1)证明：如答图，连接OC ，答图∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC ＝∠CAE ， ∴∠OCA ＝∠CAE ， ∴OC ∥AE ，∴∠OCD ＝∠E . ∵AE ⊥DE ，∴∠E ＝90°， ∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ． ∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线． (2)解：在Rt △AED 中， ∵∠D ＝30°，AE ＝6， ∴AD ＝2AE ＝12，在Rt △OCD 中，∠D ＝30°， ∴DO ＝2OC ＝DB ＋OB ＝DB ＋OC ， ∴DB ＝OB ＝OC ＝13AD ＝4，DO ＝8，∴CD ＝DO 2－OC 2＝82－42＝43， ∴S △OCD ＝12CD ·OC ＝43×42＝8 3.∵∠D ＝30°，∠OCD ＝90°，∴∠DOC ＝60°， ∴S 扇形BOC ＝16·π·OC 2＝83π，∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OBC ＝83－8π3， ∴阴影部分面积为83－8π3.2．(2015·昆明22题8分)如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为点F ，B 为半径OH 上一点，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．(1)求证：直线FG 是⊙O 的切线； (2)若CD ＝10，EB ＝5，求⊙O 的直径． (1)证明：连接OE ， ∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO . ∵AE 平分∠FAH ，∴∠EAO ＝∠FAE ，∴∠FAE ＝∠AEO ， ∴AF ∥OE ，∴∠AFE ＋∠OEF ＝180°.∵AF ⊥GF ，∴∠AFE ＝∠OEF ＝90°，∴OE ⊥GF . ∵点E 在圆上，OE 是半径，∴直线FG 是⊙O 的切线． (2)解：∵四边形ABCD 是矩形，CD ＝10， ∴AB ＝CD ＝10，∠ABE ＝90°， 设OA ＝OE ＝x ，则OB ＝10－x ， 在Rt △OBE 中，∠OBE ＝90°，BE ＝5， 由勾股定理得OB 2＋BE 2＝OE 2， ∴(10－x )2＋52＝x 2，∴x ＝254， ∴AH ＝2× 254＝252，∴⊙O 的直径为252.3．(2017·云南23题12分)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上中小学教案、试题、试卷精品资料的点连线距离的最小值为f .(1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围． (1)证明：连接OC ，如答图1.答图1∵AC ∥OP ，∴∠CAO ＝∠POB ，∠ACO ＝∠COP . ∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠POB ＝∠POC ．在△POB 和△POC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠POB ＝∠POC ，PO ＝PO ，∴△POB ≌△POC (SAS)，∴∠PBO ＝∠PCO . ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°， ∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 是⊙O 的切线．(2)解：如答图1，作ON ⊥AC 于点N ， ∵OP ＝32AC ，∴OP AC ＝32.设OP ＝3x ，则AC ＝2x ， ∵ON ⊥AC ，∴AN ＝CN ＝x . ∵∠NAO ＝∠POB ，∠ONA ＝∠OBP ，∴△NAO ∽△BOP ，∴OA x＝3x OB.∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝3x .在Rt △OBP 中，∴sin ∠BPO ＝sin ∠CPO ＝3x 3x ＝33. ∴∠CPO 的正弦值等于33. (3)解：如答图2，连接BC ，作AF ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为点F ，E ，作CQ ⊥AB ，垂足为点Q .答图2∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝9，AB ＝15，∴BC ＝12.①当点M 与点B 重合时，d ＝AC ＝9, f ＝0，d ＋f ＝9； ②当点M 在线段BQ (不包括端点)上时，设∠AMF ＝∠BME ＝α. ∵sin α＝AF ∶AM ，∴AF ＝AM sin α. ∵sin α＝BE ∶BM ，∴BE ＝BM sin α. ∴AF ＋BE ＝(AM ＋BM )sin α＝AB sin α. ∴d ＋f ＝15sin α.∵35<sin α<1，∴9<d ＋f <15； ③当点M 与点Q 重合时，d ＋f ＝AB ＝15；④当点M 在线段QA (不包括端点)上时，设∠AMF ＝∠BME ＝α. ∵d ＋f ＝15sin α，且45<sin α<1，∴12<d ＋f <15；⑤当点M 与点A 重合时，d ＝0, f ＝BC ＝12，d ＋f ＝12 . 综上所述，9≤d ＋f ≤15.命题点2 切线的性质及其相关计算4．(2018·昆明21题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，AC 平分∠BAD ，连接BF .(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．(1)证明：连接OC，如答图，答图∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD．∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED．(2)解：设OC交BF于点H，如答图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8.在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝22＋82＝217，∴⊙O的半径为17.5．(2018·云南22题9分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB 的延长线上，∠BCD＝∠BAC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA．∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD ＝90°.∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r . ∵∠D ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴OD ＝2r ，∠COB ＝60°， ∴△BOC 为等边三角形． ∴BC ＝r ，r ＋2＝2r ，∴r ＝2，∠AOC ＝120°，∴BC ＝2， ∴由勾股定理可知AC ＝23， ∴S △AOC ＝12×23×1＝3，S 扇形OAC ＝120π×4360＝4π3. ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △OAC ＝43π－ 3.6．(2018·曲靖22题9分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作∠MPB ＝∠ADC ．(1)判断PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积． 解：(1)PM 与⊙O 相切． 理由如下：连接DO 并延长交PM 于点E ，如答图，答图∵弧BC 沿直线BC 翻折，弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合， ∴OC ＝DC ，BO ＝BD ， ∴OC ＝DC ＝BO ＝BD ，∴四边形OBDC 为菱形，∴OD ⊥BC ，∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形， ∴∠COD ＝∠BOD ＝60°， ∴∠COP ＝∠EOP ＝60°.∵∠MPB ＝∠ADC ，而∠ADC ＝∠ABC ， ∴∠ABC ＝∠MPB ，∴PM ∥BC ， ∴OE ⊥PM ，∴OE ＝12OP .∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ， ∴OC ＝12OP ，∴OE ＝OC ，而OE ⊥PC ，∴PM 是⊙O 的切线． (2)在Rt △OPC 中，OC ＝33PC ＝33×3＝1， ∴S 四边形OCDB ＝2S △OCD ＝2×34×12＝32. 7．(2014·曲靖23题10分)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D ．(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ，并说明理由． 解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°.又∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ． ∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°， ∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°. (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD ． 理由如下：当∠1＝30°时， 由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°， ∴∠APB ＝180°－60°× 2＝60°. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD ．8．(2016·曲靖22题9分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 是AB 边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边BC 相切于点E .(1)若AC ＝5，BC ＝13，求⊙O 的半径；(2)过点E 作弦EF ⊥AB 于M ，连接AF .若∠F ＝2∠B ，求证：四边形ACEF 是菱形． 解：(1)连接OE ，设⊙O 的半径为r ， 在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2－AC 2＝12. ∵BC 与⊙O 相切，∴OE ⊥BC ， ∴∠OEB ＝∠BAC ＝90°.又∵∠EBO ＝∠ABC ，∴△BOE ∽△BCA ，∴OE AC ＝BO BC ，即r 5 ＝12－r 13，解得r ＝103， 即⊙O 的半径为103.(2)证明：∵A E ＝A E ，∠F ＝2∠B ， ∴∠AOE ＝2∠F ＝4∠B ． ∵∠AOE ＝∠OEB ＋∠B ， ∴∠B ＝30°，∠F ＝60°.∵EF ⊥AD ，∴∠EMB ＝∠CAB ＝90°， ∴∠MEB ＝∠F ＝60°，∴CA ∥EF ，CB ∥AF ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． ∵∠CAB ＝90°，OA 是⊙O 的半径， ∴CA 是⊙O 的切线． 又∵BC 是⊙O 的切线，∴CA ＝CE ，∴平行四边形ACEF 是菱形．。

第24讲 与圆相关的计算重难点 弧长、扇形面积的计算(2017·枣庄改编)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12.(1)⊙O 内接正三角形的边长为63；(2)以⊙O 的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为33；(3)若∠C＝60°. ①求EF ︵的长；②求阴影部分的面积．【自主解答】 解：①连接OE ，OF. ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE⊥CD.∵AB∥CD，∴OE⊥AB，即∠AOE＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C＝60°， ∴∠A＝∠C＝60°. ∵OA＝OF ，∴∠A＝∠OFA＝60°. ∴∠AOF＝60°.∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°. ∴EF ︵的长为30π×6180＝π.②根据①可知，OE 是▱ABCD 的高，S ▱ABCD ＝12×6＝72， ∴S △AOF ＝34×62＝93，S 扇形BOF ＝120π×62360＝12π.∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △AOF －S 扇形BOF ＝72－93－12π.例题剖析(1)已知圆的直径的情况下，要求圆内接正三角形的边长，只需在含120°的等腰三角形中解出GH 即可．含120°的等腰三角形三边之比为1∶1∶3；(2)考查圆锥的高线的计算，h ＝R 2－r 2；(其中R 表示圆锥的母线长，即半圆的半径，r 表示圆锥底面圆的半径)(3)①求弧长的关键是求圆心角的度数，在求圆心角的度数时，涉及切线的性质，平行四边形的性质等等知识点；②求阴影部分的面积关键是要转化成规则图形的面积，然后再进行计算． 方法指导求阴影部分面积的常用方法：(1)公式法：如果所求图形的面积是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； (2)和差法：所求图形的面积是不规则的图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；(3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．【变式训练1】 (2018·沈阳)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，AB ＝22，则AB ︵的长是(A )A ．πB .32πC ．2πD .12π【变式训练2】 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB 内，以BC 为直径作半圆交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是(B )A .5π9－32 B .9π4－94 C .9π4＋94 D .9π8－94【变式训练3】 (2018·荆门)如图，在▱ABCD 中，AB ＜AD ，∠D＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为43π－3．考点1 与正多边形有关的计算 1．正八边形的中心角是(A )A ．45°B ．135°C ．360°D ．1080° 2．(2018·德阳)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B )A ．2B ．1C . 3D .32考点2 弧长的计算3．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为(D )A .23πB .43πC ．2πD .83π4．(2018·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB ＝4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 边于点D ，则CD ︵的长为(C )A .16πB .13πC .23πD .233π5．(2018·白银)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a ，则勒洛三角形的周长为πa ．考点3 扇形面积的计算6．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则此扇形的面积为(A )A .π2m 2 B .32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 27．(2018·山西)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是(A )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－88．(2017·济宁)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1.将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是(A )A .π6B .π3C .π2－12D .129．(2018·云南)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若∠D＝30°，BD ＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点． ∴∠ACB＝90°，即∠AC O ＋∠OCB＝90°. ∵OA＝OC ，∴∠ACO＝∠A. ∵∠BCD＝∠A， ∴∠ACO＝∠BCD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°. ∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线． (2)∵∠D＝30°，∠OCD＝90°， ∴∠BOC＝60°，OD ＝2OC. ∴∠AOC＝120°，∠A＝30°. 设⊙O 的半径为x ，则OB ＝OC ＝x. ∴x＋2＝2x ，解得x ＝2. 过点O 作OE⊥AC，垂足为E.在Rt △OEA 中，OE ＝12OA ＝1，AE ＝AO 2－OE 2＝22－12＝ 3.∴AC＝2 3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝120×π×22360－12×23×1＝43π－ 3.考点4 圆锥的有关计算 10．(2018·衢州)如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为(C )A .34B .35C .45D .5311．(2018·通辽)如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是(C )A ．18πB ．24πC ．27πD ．42π12．(2018·仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°13．(2018·宿迁)已知圆锥的底面圆半径为3 cm ，高为4 cm ，则圆锥的侧面积是15πcm 2.14．(2018·郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为12πcm .(结果用π表示)15．用半径为10 cm 的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是53cm .16．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM＝48°．17．(2018·盐城)如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则右图的周长为8π3__cm ．(结果保留π)18．(2018·烟台)如图，点O为正六边形ABCDEF的中点，点M为AF中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝3∶2．19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？(A)A．120 B．240 C．360 D．48020．(2018·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝23．(结果保留根号)。

第24讲 与圆有关的位置关系1．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.那么下列说法中不正确的是( C ) A ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内 C ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内 D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2．(2016·河北模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是( D ) A ．AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5 B ．∠B ＝45°，AB ＝AT C ．∠B ＝55°，∠TAC ＝55° D ．∠ATC ＝∠B3．如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，如果∠APB ＝90°，线段PA ＝10，那么弦AB 的长是( A )A ．10 2B ．10C ．10 3D ．5 34．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°5．如图，若△ABC 的三边长分别为AB ＝9，BC ＝5，CA ＝6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB ，BC ，AC 于D ，E ，F ，则AF 的长为( A )A ．5B ．10C ．7.5D ．4提示：设AF ＝x ，根据切线长定理，得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5，故选A.6．(2016·黑龙江)若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为( C ) A ．2＋ 3 B.233 C ．2＋3或2－ 3 D ．4＋23或2－ 3提示：存在如图所示的两种情况：7．(2016·株洲)如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝120°.8．(2015·唐山路北区模拟)如图，⊙O是以坐标轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则OP的取值范围是0＜OP≤2．9．(2016·保定模拟)如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB ＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为1．10．(2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝AB2－BC2＝4.(2)证明：连接OC.∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC.∴DC是⊙O的切线．11．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC ＝∠A ；(2)若CE ＝4，DE ＝2，求AD 的长．解：(1)证明：连接OD. ∵CD 是⊙O 切线，∴∠ODC ＝90°，即∠ODB ＋∠BDC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即∠ODB ＋∠ADO ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ADO.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠A.∴∠BDC ＝∠A.(2)∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°.∴DB ∥EC.∴∠DCE ＝∠BDC. ∵∠BDC ＝∠A ，∴∠A ＝∠DCE. ∵∠E ＝∠E ，∴△AEC ∽△CED. ∴CE DE ＝AE CE，即EC 2＝DE ·AE. ∴16＝2(2＋AD)，即AD ＝6.12．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C )A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步13．(2015·邢台模拟)如图，已知▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝45，点E 是BC 边上的动点，当以CE 为半径的圆C 与边AD 不相交时，半径CE 的取值范围是( C )A ．0＜CE ≤8B ．0＜C E ≤5 C ．0＜CE ≤3或5＜CE ≤8D ．3＜CE ≤514．(2016·台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( C )A ．6B ．213＋1C ．9 D.32215．(2016·河北模拟)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在△ABC 中，∠A ＝90°.求作：⊙P ，使得点P 在边AC 上，且⊙P 与AB ，BC 都相切．小轩的主要作法如下：如图，(1)作∠ABC 的平分线BF ，与AC 交于点P ；(2)以点P 为圆心，AP 长为半径作⊙P ，所以⊙P 即为所求． 老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线．16．(2016·南京)如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连接DF ，EG.(1)求证：AB ＝AC ；(2)已知AB ＝10，BC ＝12，求四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径．解：(1)证明：∵ ⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，∴ AD ＝AE. ∴ ∠ADE ＝∠AED. ∵ DE ∥BC ，∴∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED.∴ ∠B ＝∠C. ∴ AB ＝AC.(2)连接AO ，交DE 于点M ，延长AO 交BC 于点N ，连接OE ，DG. 设⊙O 的半径为r.∵四边形DFGE 是矩形，∴∠DFG ＝90°. ∴DG 是⊙O 的直径．∵⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D 、E ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC.又∵OD ＝OE ，∴AN 平分∠BAC. 又∵AB ＝AC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝12BC ＝6.在Rt △ABN 中，AN ＝AB 2－BN 2＝8.∵OD ⊥AB ，AN ⊥BC ，∴∠ADO ＝∠ANB ＝90°. 又∠OAD ＝∠BAN ，∴△AOD ∽△ABN. ∴OD BN ＝AD AN ，即r 6＝AD 8.∴AD ＝43r. ∴BD ＝AB －AD ＝10－43r.∵ OD ⊥AB ，∴∠GDB ＝∠ANB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ，∴△GBD ∽△ABN.∴BD BN ＝GD AN ，即10－43r6＝2r 8，解得r ＝6017. ∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为6017.17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC ，BC ∥OA ，一边OA 在x 轴上，另一边OC 在y 轴上，且OA ＝A B ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，以OC 为直径作⊙P. (1)求⊙P 的直径；(2)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与x 轴相切于点A 时，求⊙P 被直线AB 截得的线段AD 的长； (3)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与直线AB 相切时，求圆心P 移动的距离．解：(1)过点B 作BD ⊥OA.由题意知：∠BCO ＝∠DOC ＝∠BDO ＝90°. ∴四边形ODBC 为矩形． ∴OC ＝BD ，OD ＝BC.∵BC ＝2，∴DA ＝OA －OD ＝5－2＝3.在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2＝AB 2－DA 2，∴BD ＝4. ∴CO ＝4，即⊙P 的直径是4 cm.(2)如图1所示，当⊙P 与x 轴相切于A 时， 设⊙P 与CB 所在直线相切于点E. 易知P 在EA 上，且CE ＝AO ＝5，∴BE ＝3. 连接ED ，EA.∵EA 为直径，∴∠EDA ＝90°.设AD ＝x ，则BD ＝5－x.由勾股定理知BE 2－BD 2＝DE 2＝AE 2－AD 2，即32－(5－x)2＝42－x 2，解得x ＝165，即AD ＝165cm.图1 图2(3)如图2所示，当⊙P 与AB 相切时，分两种情况：第一种情况：当⊙P 滚动到⊙P 1时，设PP 1＝x ，由题意易知：PP 1＝CE ＝OG ＝x ， 则BE ＝BC －CE ＝2－x, AG ＝AO －OG ＝5－x.∵⊙P 1与AB ，AO 分别相切于点F ，G ， ∴AF ＝AG ＝5－x.∵⊙P 1与BC ，AB 分别相切于点E ，F ， ∴BF ＝BE ＝2－x.∵AB ＝5，AF ＋BF ＝AB ，∴5－x ＋2－x ＝5. 解得x ＝1，即PP 1＝1 cm ；第二种情况：当⊙P 滚动到⊙P 2时，设PP 2＝x ，由题意易知：OJ ＝CH ＝PP 2＝x ，则AJ ＝x －5，BH ＝x －2. ∵⊙P 2与AB ，CH 相切，∴BI ＝BH ＝x －2.同理，AI＝AJ＝x－5.∵AB＝BI＋AI，∴x－2＋x－5＝5.解得x＝6，即PP2＝6 cm∴当⊙P与直线AB相切时，点P移动的距离为1 cm或6 cm.。