多元统计分析-判别分析

多元统计分析数据处理中常见的方法与原理多元统计分析是一种从多个变量间关系来进行数据分析的方法。

它可以帮助我们发现变量间的关联，并揭示隐藏在数据背后的模式和规律。

在实际应用中，我们常常需要采用一些常见的方法来处理多元统计分析数据。

本文将介绍几种常见的方法及其原理，包括因子分析、聚类分析、判别分析和回归分析。

一、因子分析因子分析是一种用于降低变量维度的方法。

它基于一个假设，即多个观测变量可以由少数几个因子来解释。

因子分析的目标是找出这些因子，并确定它们与观测变量之间的关系。

因子分析的原理是通过对变量之间的协方差矩阵进行特征分解来获得因子载荷矩阵。

在这个矩阵中，每个变量与每个因子之间都有一个因子载荷系数。

这些系数表示了变量与因子之间的相关程度，值越大表示相关性越高。

通过分析因子载荷矩阵，我们可以确定哪些变量与哪些因子相关性最强，从而得出变量的潜在因子。

二、聚类分析聚类分析是一种用于将观测对象或变量进行分类的方法。

它基于一个假设，即属于同一类别的对象或变量在某些方面上相似，而不同类别之间的对象或变量则在某些方面上不同。

聚类分析可以帮助我们发现数据集中的群组，并研究不同群组之间的差异。

聚类分析的原理是通过测量对象或变量之间的相异性来确定分类。

最常用的相异性度量是欧氏距离和相关系数。

通过计算每个对象或变量之间的相异性，并基于相异性矩阵进行聚类，我们可以将数据划分为不同的类别。

三、判别分析判别分析是一种用于预测或解释分类变量的方法。

它基于一个假设，即存在一些预测变量对于解释或预测分类变量的发生概率有重要影响。

判别分析可以帮助我们确定哪些预测变量对于分类变量的发生概率有重要影响，并建立分类模型。

判别分析的原理是通过计算不同分类组之间的差异来确定预测变量的重要性。

最常用的差异度量是F统计量和卡方统计量。

通过计算这些统计量，并建立判别方程，我们可以将预测变量与分类变量之间的关系进行建模。

进而，我们可以使用该模型来对新的预测变量进行分类。

判别分析：实验步骤：1. 在SPSS窗口中选择：分析-分类-判别，将变量导入自变量框中，group 导入分组变量中，选择定义范围，最小为1最大为3，并选择一起输入自变量，点击继续2. 点击统计量，描述性中选择“均值”，“单变量”和”Box”，选择函数系数中的“Fisher”“未标准化”，矩阵中选择“组内相关”，点击继续3. 点击分类点击继续4. 点击“保存”，三个框均选中，点击继续5. 点击确定实验结果分析：1. 表1 组统计量看各个总体在均值等指标上的值是否接近，若接近说明各类之间在该指标差异不大表2组均值的均等性的检验Wilks 的 Lambda F df1 df2 Sig. 0岁组死亡概率.997 .019 2 12 .981 1岁组死亡概率.990 .063 2 12 .939 10岁组死亡概率.645 3.301 2 12 .072 55岁组死亡概率.438 7.690 2 12 .007 80岁组死亡概率.174 28.557 2 12 .000由表中看到第一二六个指标的sig值很大，说明拒绝原假设，在总体间差异不大表3 汇聚的组内矩阵若自变量之间存在高度相关，则判别分析价值不大，但并不严格，允许出现一定的相关表4 协方差矩阵的均等性的箱式检验检验结果 p值>0.05时，说明协方差矩阵相等，可以进行bayes检验表5由表5看出，函数1的特征值很大，对判别的贡献大表6表7给出非标准化的典型判别函数系数典型判别式函数系数函数1 20岁组死亡概率-1.861 -.8671岁组死亡概率 1.656 1.155 10岁组死亡概率-.877 -.356 55岁组死亡概率.798 -.089 80岁组死亡概率.098 .054平均预期寿命 1.579 .690 (常量) -74.990 -29.482由表7可知，两个Fisher判别函数分别为表8 结构矩阵结构矩阵函数1 20岁组死亡概率.008* -.001 80岁组死亡概率.288 -.388* 55岁组死亡概率.149 -.199* 10岁组死亡概率.098 .106* 1岁组死亡概率.007 .104* 平均预期寿命-.036 .091*该表是原始变量与典型变量（标准化的典型判别函数）的相关系数，相关系数的绝对值越大，说明原始变量与这个判别函数的相关性越强表9 组重心处的函数由表9可知各类别重心的位置，通过计算观测值与各重心的距离，距离最小的即为该观测值的分类。

多元统计分析公式主成分分析判别分析多元统计分析是一种通过收集和分析多个变量之间相互作用关系来帮助我们理解、解释和预测数据的方法。

其中，主成分分析和判别分析是常用的多元统计分析方法。

本文将对这两种方法的公式和应用进行介绍。

一、主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种通过线性变换将一组可能存在相关性的变量转化为一组线性无关的新变量的方法。

它的基本思想是通过将原始变量进行线性组合来构建主成分，这些主成分能够解释原始数据中大部分的方差。

主成分分析的公式如下：X = A * T其中，X是原始数据矩阵，A是变量相关系数矩阵，T是主成分得分矩阵。

主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据标准化，确保各个变量具有相同的尺度。

2. 计算相关系数矩阵：计算标准化后的数据的相关系数矩阵A。

3. 计算特征值和特征向量：对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4. 选择主成分：根据特征值的大小选择前n个主成分。

5. 计算主成分得分：将原始数据投影到所选的主成分上，得到主成分得分矩阵T。

主成分分析的应用十分广泛，常用于降维、数据可视化、变量选择等领域。

例如，在社会科学研究中，可以将大量的社会经济指标通过主成分分析进行降维，从而更好地理解社会现象。

二、判别分析判别分析（Discriminant Analysis）是一种帮助我们根据已知类别数据预测未知类别数据的方法。

判别分析通过寻找最佳投影方向，将不同类别的样本在投影后最大程度地分离开来，从而提高分类的准确性。

判别分析的公式如下：D = W * X其中，D是判别得分，W是权重系数，X是原始数据。

判别分析的步骤如下：1. 计算类内散度矩阵和类间散度矩阵：分别计算各个类别的散度矩阵。

2. 计算广义特征值和广义特征向量：对类内散度矩阵和类间散度矩阵进行广义特征值分解，得到广义特征值和对应的广义特征向量。

Equation Chapter 1 Section 1 Array《多元统计分析》Multivariate Statistical Analysis主讲：统计学院统计学院应用统计学教研室School of Statistics第三章 判别分析【教学目的】1． 让学生了解判别分析的背景、基本思想； 2． 掌握判别分析的基本原理与方法； 3． 掌握判别分析的操作步骤和基本过程； 4． 学会应用聚类分析解决实际问题。

【教学重点】1． 注意判别分析与聚类分析的关系（联系与区别）； 2． 阐述各种判别分析方法。

§1 概述一、什么是判别分析1．研究背景科学研究中，经常会遇到这样的问题：某研究对象以某种方式（如先前的结果或经验）已划分成若干类型，而每一类型都是用一些指标()12,,,p X X X X '=来表征的，即不同类型的X 的观测值在某种意义上有一定的差异。

当得到一个新样本观测值（或个体）的关于指标X 的观测值时，要判断该样本观测值（或个体）属于这几个已知类型中的哪一个，这类问题通常称为判别分析。

也就是说，判别分析（discriminant analysis ）是根据所研究个体的某些指标的观测值来推断该个体所属类型的一种统计方法。

判别分析的应用十分广泛。

例如，在工业生产中，要根据某种产品的一些非破坏性测量指标判别产品的质量等级；在经济分析中，根据人均国民收入，人均工农业产值，人均消费水平等指标判断一个国家的经济发展程度；在考古研究中，根据挖掘的古人头盖骨的容量，周长等判断此人的性别；在地质勘探中，根据某地的地质结构，化探和物探等各项指标来判断该地的矿化类型；在医学诊断中，医生要根据某病人的化验结果和病情征兆判断病人患哪一种疾病，等等。

值得注意的是，作为一种统计方法，判别分析所处理的问题一般都是机理不甚清楚或者基本不了解的复杂问题，如果样本观测值的某些观测指标和其所属类型有必然的逻辑关系，也就没有必要应用判别分析方法了。

多元统计分析之判别分析第六章判别分析§6.1 什么是判别分析判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广可与回归分析媲美。

在生产、科研和日常生活中经常需要根据观测到的数据资料，对所研究的对象进行分类。

例如在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等多种指标来判定一个国家的经济发展程度所属类型；在市场预测中，根据以往调查所得的种种指标，判别下季度产品是畅销、平常或滞销；在地质勘探中，根据岩石标本的多种特性来判别地层的地质年代，由采样分析出的多种成份来判别此地是有矿或无矿，是铜矿或铁矿等；在油田开发中，根据钻井的电测或化验数据，判别是否遇到油层、水层、干层或油水混合层；在农林害虫预报中，根据以往的虫情、多种气象因子来判别一个月后的虫情是大发生、中发生或正常；在体育运动中，判别某游泳运动员的“苗子”是适合练蛙泳、仰泳、还是自由泳等；在医疗诊断中，根据某人多种体验指标（如体温、血压、白血球等）来判别此人是有病还是无病。

总之，在实际问题中需要判别的问题几乎到处可见。

判别分析与聚类分析不同。

判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。

对于聚类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类型的。

正因为如此，判别分析和聚类分析往往联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以对新样品进行判别。

判别分析内容很丰富，方法很多。

判别分析按判别的组数来区分，有两组判别分析和多组判别分析；按区分不同总体的所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别；按判别时所处理的变量方法不同，有逐步判别和序贯判别等。

判别分析可以从不同角度提出的问题，因此有不同的判别准则，如马氏距离最小准则、Fisher 准则、平均损失最小准则、最小平方准则、最大似然准则、最大概率准则等等，按判别准则的不同又提出多种判别方法。

多元统计分析_判别分析实验报告一、实验目的本实验旨在通过对一组数据进行判别分析，了解判别分析的基本原理和应用过程，掌握判别分析的实现方法并运用MATLAB软件进行实现。

二、实验原理判别分析是一种分类方法，用于将已知的样本分类到已知类别中。

判别分析的目的是找到一个统计模型，通过对样本进行观测和测量，能够把它们判别为若干类别中的一种。

在判别分析中，样本数据是由多个指标组成，每个指标都是一个随机变量。

在多元统计中，这些指标被称为变量。

判别函数是一个用于将样本分类的函数，它以样本的多个变量作为输入，并输出该样本属于哪一类的分类决策。

判别函数的形式取决于所使用的判别方法。

判别分析中最重要的判别方法是线性判别分析。

线性判别分析是一种找到最佳线性分类器的方法。

在线性判别分析中，样本被认为是由每个变量线性组合而成，各个变量之间存在某种相关性。

判别分析的目标是找到一条分割两个类别的直线，使得该直线上或下的样本属于不同的类别。

这条直线被称为判别函数。

对于一个具有p个指标的样本，判别函数可以通过下式计算得到：$g_j(x)=x^T\hat{a_j}+\hat{a}_{j0}$其中，j表示第j个判别函数，x是一个向量，包含了样本各个指标的取值，$\hat{a_j}$是一个向量，表示样本各个变量在第j个判别函数中的系数，$\hat{a}_{j0}$是一个截距项。

在线性判别分析中，判别函数的系数可以通过最小平方判别函数系数估计公式获得：$\hat{a_j}=(\sum_{i=1}^{n_j}(x_i-\bar{x_j})(x_i-\bar{x_j})^T)^{-1}(\bar{x_1}-\ bar{x_2})$其中，$\bar{x_1}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i$n1和n2分别是两个类别的样本数。

三、实验步骤1. 导入数据并分别计算两个类别数据的均值和协方差矩阵。

2. 计算最佳线性判别函数，并作图展示判别平面和两个类别的分布情况。

多元统计学中的判别分析方法在统计学中，判别分析是一种常用的多元数据分析方法，用于将数据集划分为不同的类别或群组。

它通过对多个变量进行分析，以确定哪些变量在分类中起到重要的作用。

判别分析方法在许多领域都有广泛的应用，包括医学、社会科学、生物学等。

判别分析的基本思想是通过寻找最佳的线性组合，将不同类别的样本在多维空间中分开。

这个线性组合被称为判别函数，它能够最大程度地区分不同类别的样本。

判别函数的构建可以通过多种方法实现，其中最常用的方法包括线性判别分析（LDA）和二次判别分析（QDA）。

线性判别分析是判别分析中最简单和最常用的方法之一。

它假设不同类别的样本具有相同的协方差矩阵，且每个类别的样本在多维空间中服从多元正态分布。

线性判别分析通过计算类别之间的协方差矩阵和均值向量，以及总体的协方差矩阵和均值向量，来构建判别函数。

这个判别函数可以将样本点映射到一条直线上，使得不同类别的样本点在直线上的投影尽可能分开。

二次判别分析是线性判别分析的一种扩展形式。

它假设不同类别的样本具有不同的协方差矩阵，即每个类别的样本在多维空间中服从不同的多元正态分布。

二次判别分析通过计算每个类别的协方差矩阵和均值向量，以及总体的协方差矩阵和均值向量，来构建判别函数。

这个判别函数可以将样本点映射到一个二次曲线上，使得不同类别的样本点在曲线上的投影尽可能分开。

判别分析方法的应用非常广泛。

在医学领域，判别分析可以用于诊断疾病和预测疾病的发展趋势。

例如，通过对患者的多个生物指标进行判别分析，可以将患者分为不同的疾病类别，从而为医生提供更准确的诊断依据。

在社会科学领域，判别分析可以用于研究人群的特征和行为。

例如，通过对人们的收入、教育水平和职业等多个变量进行判别分析，可以将人群分为不同的社会经济阶层，从而为社会政策的制定提供参考。

在生物学领域，判别分析可以用于分类和鉴别生物物种。

例如，通过对不同物种的形态特征进行判别分析，可以将不同物种的样本点在多维空间中分开，从而实现物种的分类和鉴别。

实验课程名称： __多元统计分析--判别分析___准则判别归类，则可写成：⎪⎩⎪⎨⎧=>∈<∈),(),( ,),(),(,),(),(,21212211G X D G X D G X D G X D G X G X D G X D G X 当待判当当题目：表11.5的数据包含三种鸢尾的X2=萼片宽度与X4=花瓣的宽度的观测值。

对每种鸢尾有n1=n2=n3=50个观测值。

部分数据:第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）散点图：图形→旧对话框→散点图，打开简单散点图子对话框；将想X2选入X轴变量，X4选入Y轴变量，将总体选入设置标记框中，点击确定。

判别分析：步骤:1、选择分析→分类→判别，打开判别分析子对话框。

2、选择变量“总体”，单击→，将其加入到分组变量栏中。

3、打开定义范围子对话框，最小值输入1，最大值输入3。

4、将变量“X2萼片宽度”、“X4花瓣的宽度”选入自变量栏中。

选择“一起输入自变量”的方法。

5、打开统计变量子对话框，选择均值、单变量ANOVA、Box’M、未标准化、组内协方差、分组协方差及总体协方差，单击继续。

6、打开分类子对话框，选择不考虑该个案时的分类，其余为默认值。

7、打开保存，选择所有的变量。

相关系数矩阵a总体萼片宽度X2 花瓣宽度X4合计萼片宽度X2 .190 -.122花瓣宽度X4 -.122 .581对数行列式总体秩对数行列式1 2 -6.4962 2 -6.1413 2 -5.189汇聚的组内 2 -5.583检验结果箱的M 52.832F 近似。

8.632df1 6df2 538562.769Sig. .000Wilks 的Lambda函数检验Wilks 的Lambda 卡方df Sig.1 到2 .038 477.868 4 .0002 .809 31.075 1 .000典型判别式函数系数函数1 2萼片宽度X2 -1.987 2.680花瓣宽度X4 5.477 .817(常量) -.494 -9.174非标准化系数组质心处的函数总体函数1 21 -5.958 .2152 1.265 -.6673 4.693 .452分类结果b,c总体预测组成员1 2 3 合计初始计数 1 50 0 0 502 0 49 1 503 04 46 50% 1 100.0 .0 .0 100.02 .0 98.0 2.0 100.03 .0 8.0 92.0 100.0 交叉验证a计数 1 50 0 0 502 0 48 2 503 04 46 50% 1 100.0 .0 .0 100.02 .0 96.0 4.0 100.03 .0 8.0 92.0 100.0。

可编辑修改精选全文完整版实验报告5判别分析（设计性实验）(Discriminant analysis)实验原理：判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法。

判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数目，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。

本实验要求学生应用距离判别准则（即，对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类），对两总体和多总体情形下分别进行判别分析。

实验中需注意协方差矩阵相等时，选取线性判别函数；协方差矩阵不相等时，应选取二次判别函数。

实验题目一：为了检测潜在的血友病A携带者，下表中给出了两组数据：(t11a8)其中x1＝log10（AHF activity），x2＝log10（AHF antigen）。

下表给出了五个新的观测，试对这些观测判别归类；(t11b8)实验要求：（1）分别检验两组数据是否大致满足二元正态性；（2）分别计算两组数据的协方差矩阵，是否可以认为两者近似相等？（3）对训练样本和新观测合并作散点图，不同的类用不同颜色标识；（4）用lda函数做判别分析，即在协方差矩阵相等的情形下作判别分析；（5）用qda函数做判别分析，即在协方差矩阵不相等的情形下作判别分析；（6）比较方法（4）和方法（5）的误判率。

实验题目二：某商学研究生院的招生官员利用指标――大学期间平均成绩GPA和研究生管理能力考试GMAT的成绩，将申请者分为三类：接受，不接受，待定。

下表中给出了三类申请者的GPA与GMAT成绩：(t11a6)GPA （x1）GMAT（x2）接受GPA（x1）GMAT（x2）不接受GPA（x1）GMAT（x2）待定2.96 596 1 2.54 446 2 2.86 494 33.14 473 1 2.43 425 2 2.85 496 3 3.22 482 1 2.2 474 2 3.14 419 3 3.29 527 1 2.36 531 2 3.28 371 3 3.69 505 1 2.57 542 2 2.89 447 3 3.46 693 1 2.35 406 2 3.15 313 3 3.03 626 1 2.51 412 2 3.5 402 3 3.19 663 1 2.51 458 2 2.89 485 3 3.63 447 1 2.36 399 2 2.8 444 33.59 588 1 2.36 482 2 3.13 416 33.3 563 1 2.66 420 2 3.01 471 33.4 553 1 2.68 414 2 2.79 490 33.5 572 1 2.48 533 2 2.89 431 33.78 591 1 2.46 509 2 2.91 446 33.44 692 1 2.63 504 2 2.75 546 33.48 528 1 2.44 336 2 2.73 467 33.47 552 1 2.13 408 2 3.12 463 33.35 520 1 2.41 469 2 3.08 440 33.39 543 1 2.55 538 2 3.03 419 33.28 523 1 2.31 505 2 3 509 33.21 530 1 2.41 489 2 3.03 438 33.58 564 1 2.19 411 2 3.05 399 33.33 565 1 2.35 321 2 2.85 483 33.4 431 1 2.6 394 2 3.01 453 33.38 605 1 2.55 528 2 3.03 414 33.26 664 1 2.72 399 2 3.04 446 33.6 609 1 2.85 381 23.37 559 1 2.9 384 23.8 521 13.76 646 13.24 467 1实验要求：（1）对上表中的数据作散点图，不同的类用不同的颜色标识；（2）用lda函数做判别分析，即在协方差矩阵相等的情形下作判别分析；（3）用qda函数做判别分析，即在协方差矩阵不相等的情形下作判别分析；（4）比较方法（2）和方法（3）的误判率；（5）现有一新申请者的GPA为3.21，GMAT成绩为497。