安徽省阜阳市太和县第一中学2019年高三数学文联考试题

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。

2019年安徽省阜阳市太和县第一职业中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义一种运算“＊”：对于任意正整数满足以下运算性质：（1）1＊1=1 （2）（n+1)＊1=n＊1+1 则n＊1等于A nB n+1C n-1D n2参考答案：A略2. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（）A.B． C． D．参考答案：D略3. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D4. 由圆外一点引圆的切线，切线长为A． B． C．D．参考答案：B略5. 以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：A【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．故选A．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．6. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3 B．－＜x＜0C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6参考答案：D略7. 设数集，如果把叫做集的“长度”。

2019-2020学年安徽省阜阳市太和第一中学高二（卓越班）上学期第一次学情调研数学（文）试题一、单选题1．设A ，B 是两个集合，则“A B A ⋂=”是“A B ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：若A B A ⋂=，对任意x A ∈，则x A B ∈⋂，又A B B ⋂⊆，则x B ∈，所以A B ⊆，充分性得证，若A B ⊆，则对任意x A ∈，有x B ∈，从而x A B ∈⋂，反之若x A B ∈⋂，则x A ∈，因此A B A ⋂=，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C ． 【考点】充分必要条件．2．若方程2211x y m m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,-+∞D ．()(),10,-∞-+∞U【答案】D【解析】根据双曲线的标准方程形式，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为方程2211x y m m -=+表示双曲线，所以(1)0m m +>，解得：0m >或1m <-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由方程表示双曲线求参数，熟记双曲线的标准方程即可，属于基础题型. 3．命题p ：函数3y x =+关于3x =-对称；命题q ：当0a <时，函数a y x x=+在()0,∞+单调递增，则下列结论错误的是（ ）①“()p q ∨⌝”为假命题； ②“()p q ⌝∨”为假命题； ③“()p q ∧⌝”为真命题； ④“p q ∧”为真命题. A ．①② B ．②③C ．①③④D ．①②③【答案】D【解析】先分别判定命题p 和q 的真假，再根据或且非的概念，逐项判定，即可得出结果. 【详解】因为函数y x =是偶函数，关于0x =对称，因此函数3y x =+关于3x =-对称；即命题p 为真命题； 当0a <时，函数ay x=在()0,∞+上单调递增，又y x =也是增函数，所以当0a <时，函数ay x x=+在()0,∞+单调递增；即命题q 为真命题； 所以“()p q ∨⌝”为真命题；“()p q ⌝∨”为真命题；“()p q ∧⌝”为假命题； “p q ∧”为真命题. 即①②③错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复合命题的真假判断，熟记或且非的概念即可，属于基础题型. 4．已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位C ．向右平移23π个单位D ．左平移23π个单位【答案】B【解析】试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ． 【考点】函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．5．已知F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且（OP uuu v ＋2OF u u u uv ）·2F P u u u u v ＝0，｜1PF u u u v ｜＝2｜2PF u u u u v ｜，则该椭圆的离心率为A B C D 【答案】C【解析】取PF 2的中点A ，连接OA ，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（OP uuu v ＋2OF u u u uv ）·2F P u u u u v ＝0（O 为坐标原点），可得OA u u u r ⊥2F P u u u u r ，又1OA F P u u u u r P u u u r ,可得1PF u u u r ⊥2F P u u u u r，不妨2m F P =，则12m PF =，由勾股定理可得4c 2=5m 2，再根据椭圆的定义求得离心率． 【详解】如图，取PF 2的中点A ，连接OA ，∴2OA u u u r =2OF u u u u r +OP uuu r ，且OA u u u r =112F P u u ur ，1 O A F P u u u u r P u u u r又∵（OP uuu v ＋2OF u u u uv ）·2F P u u u u v ＝0，∴OA u u u r ⊥2F P u u u u r ，又1OA F P u u u u r P u u u r ∴1PF u u u r ⊥2F P u u u u r ，∵122PF PF =u u u r u u u u r ，不妨设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ， ∵|PF 2|+|PF 1|=2a=3m ， ∴|F 1F 2|=4c 2=m 2+(2m)2=5m 2，∴a c =3∴e=5 故选C ．【点睛】本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及简单性质，属于中档题．6．椭圆221164x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）A ．3B 11C ．22D 10【答案】D【解析】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线220x y +=的距离公式，计算可得答案． 【详解】设椭圆221164x y +=上的点P （4c osθ，2sinθ）则点P 到直线220x y +-=的距离422442455sin cos sin πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=，422105max d --==，故选D ．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．7．给出下列说法： ①“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；②定义在[,]a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x R x x ∃∈+≥”的否定形式是“1,2x R x x∀∈+>”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①，利用充分不必要条件的定义判读其正确性，对于②，利用偶函数的定义求得参数的值，结合二次函数的性质，求得其最大值，得出其正确性，对于③，应用特称命题的否定形式，判断其是否正确，即可得结果. 【详解】 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k Z ππ=+∈，所以“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义域为[,]a b ，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确；对于③，命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x+<”， 所以③是错误的； 故正确命题的个数为2， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题，涉及到的知识点有充分必要条件的判断，偶函数的性质，含有一个量词的命题的否定，考查的都是基础.8．已知函数()()2cos 1f x x x a x ax a =+-++，若函数()y f x a =-是奇函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是（ ） A ．10x y -+=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．220x y -+=【答案】B【解析】根据函数()y f x a =-是奇函数可求得1a =，所以()cos 1f x x x x =++，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程． 【详解】由题意得()()()2cos 1g x f x a x x a x ax =-=+-+，∴函数()g x 为奇函数，∴()()()()22cos 1cos 1g x g x x x a x ax x x a x ax ⎡⎤+-=+-++-+--⎣⎦()2210a x =-=，∴1a =．∴()cos 1f x x x x =++， ∴()sin 1f x cosx x x =-+'， ∴()02f '=， 又()01f =，∴所求切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=． 故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P 处的切线”说明点P 在曲线上且点P 为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可． 9．函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）. A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先求函数()21ln 2f x x x =-的导数，可判断出函数的单调性和最大值，再分析四个答案中的图像，即得. 【详解】由题得，()1(0)f x x x x'=->，当(0,1)时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当(1,)+∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当1x =时，()f x 取最大值，()112f =-，则B 选项正确. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数图像，涉及函数的单调性和极值.10．双曲线M 与双曲线22:142y x N -=有共同的渐近线，且M 经过抛物线24y x x =--的顶点，则M 的方程为（ ）A ．221168y x -=B ．22184y x -=C ．221612x y -=D ．2211428x y -=【答案】B【解析】先依题意设出双曲线M 的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果. 【详解】因为双曲线M 与双曲线22:142y x N -=有共同的渐近线，所以设双曲线M 的方程为：2242y x m -=其中m 0≠， 又因()22424y x x x =--=-++的顶点为()2,4-, 且M 经过抛物线24y x x=--的顶点,所以有()222442m --=,即2m =， 所以22242y x -=，故22184y x -=即为所求；故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型. 11．已知命题p ：211xx <-，命题q ：()(3)0x a x +->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(3,1]--B ．[3,1]--C ．(,1]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】C【解析】试题分析：由2:11x p x <-得10111x x x +<-<<-，，而p 是q 的充分不必要条件，即，所以1,1a a -≥≤-. 选C .【考点】1.充要条件；2.简单不等式的解法.12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x <时，()()f x f x x'<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(,1)(1,0)-∞--U C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,0)(0,)-+∞U【答案】A【解析】构造函数()()f x g x x=，首先判断函数的奇偶性，利用()()'f x f x x <可判断0x <时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.【详解】设()()f xg x x=， 则()g x 的导数为()()()2''xf x f x g x x-=， 因为0x <时，()()'f x f x x<， 即()()'xf x f x >成立，所以当0x <时，()'g x 恒大于零，∴当0x <时，函数()()f xg x x=为增函数， 又()()()()f x f x g x g x xx--===-Q ，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，当0x >时，函数()()f xg x x=为减函数， 又()()1101f g --==-Q∴函数()g x 的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式()()00f x x g x >⇔⋅>，()00x g x >⎧⇔⎨>⎩或()00x g x <⎧⎨<⎩，可得01x <<或1x <-，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃ 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题13．已知命题p ：对任意的[]1,2x ∈-，都有20x a -≥，命题q ：函数()()221f x x a x =+++在R 上有零点.若命题“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】(]{},40-∞-U【解析】先根据题意，判定命题p 和命题q 都为真命题；再分别求出实数a 的取值范围，进而可求出结果. 【详解】因为命题“p q ∧”为真命题，则命题p 和命题q 都为真命题；由命题p 为真可得，2a x ≤对任意的[]1,2x ∈-恒成立，因此0a ≤； 由命题q 为真可得，()()221f x x a x =+++在R 上有零点，所以()2240a ∆=+-≥，解得：0a ≥或4a ≤-， 综上，0a =或4a ≤-. 故答案为：(]{},40-∞-U . 【点睛】本题主要考查由复合命题的真假求参数的问题，能根据复合命题的真假判断命题的真假即可，属于常考题型.14．已知椭圆221369x y +=的左右两个焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为______.【答案】【解析】先设1PF m =，2PF n =，根据椭圆定义，得12m n +=，再由余弦定理，根据题意，求出mn ，进而可得出结果. 【详解】设1PF m =，2PF n =，根据椭圆定义可得，12212PF PF m n a +=+== 由椭圆221369x y +=可得，其焦距为12F F ==又1260F PF ∠=︒，所以2222212121212108cos cos6022PF PF F F m n F PF PF PF mn+-+-∠=︒==()221081812m n mn mnmn+--==-， 即12mn =所以12F PF △的面积为1212121sin 1333222F PF F PF mn S PF PF ∠=⨯==△. 故答案为：33.【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，以及解三角形的问题，熟记椭圆的定义与标准方程，余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.15．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于A 、B 两点，交C 的准线于点M ，若F 为AM 的中点，则||AB =__． 【答案】323【解析】先根据三角形中位线性质得A x ，再根据条件求B x ，最后根据抛物线定义求弦长. 【详解】 如图，由抛物线2:8C y x =，得4p =，F Q 为AM 的中点，228AE FG p ∴===，则862A px =-=． 由焦点弦性质得244A B p x x ==，所以4263B x ==，∴ 282233B p BF x =+=+=． 832833AB AF BF ∴=+=+=．故答案为：323．【点睛】本题考查抛物线定义以及焦点弦性质，考查综合分析求解能力，属中档题.16．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM ∆为等腰三角形，且外接圆面积为24a π，则双曲线E 的离心率为______．【答案】【解析】根据正弦定理解得M 的坐标，代入双曲线方程可得a b =即得离心率． 【详解】解：不妨设M 在双曲线22221x y a b-=的右支上∵外接圆面积为24a π，∴224a R ππ=，2R a ⇒=．2MB AB a ==，MAB θ∠=，∴224sin a R a θ==，1sin 2θ⇒=，则M 的坐标为()2a ，代入双曲线方程可得2222431a a a b-=，可得a b =，即有c e a ==． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用正弦定理求得M 的坐标是解题的关键．三、解答题17．已知0a >，设命题p ：函数(32)x y a =-在R 上为减函数，命题q ：不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围.【答案】3(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【解析】化简命题p 可得312a <<，化简命题q 可得04a ≤<，由p q ∨为真命题，p q∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a 的取值范围. 【详解】∵p ：函数()32xy a =-在R 上为减函数，∴0321a <-<，即312a <<.∵q ：不等式210ax ax -+>对一切R 恒成立，∴0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即04a ≤<.∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴p ，q 一真一假，若p 真q 假，则3124a a ⎧<<⎪⎨⎪≥⎩，此时a 不存在，若p 假q 真，则301204a a a ⎧<≤≥⎪⎨⎪<<⎩，，解得01a <≤或342a ≤<.∴a 的取值范围为3(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查指数函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 18．已知p ：220x x --<，q ：()()20x m x m +-<，0m ≠.若p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】()[),12,-∞-+∞U【解析】分0m >，0m <两种情况，根据题意，分别求出m 的范围，进而可求出结果. 【详解】依题意，p ：12x -<<，p 是q 的充分而不必要条件， ①当0m >时，q ：2m x m -<<，所以212m m -≤-⎧⎨≤⎩，解得2m ≥.经检验，符合题意；②当0m <时，q ：2m x m <<-，所以122m m≤-⎧⎨≤-⎩，解得1m ≤-.经检验，1m =-不符合题意，综上①②所述，m 的取值范围是()[),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查求由命题的充分不必要条件求参数的问题，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型. 19．已知函数ln ()()x af x a x+=∈R . （1）若曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --= 平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数()f x 的单调区间和极值；【答案】（1）0（2）单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞ ，在x e =处取得极大值，为1e【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得()11f '=,解得a 的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值 试题解析：解：（1）函数(){}0,f x x x 的定义域为 所以()21ln .x af x x--='又曲线()()()1,1y f x f =在点处的切线与直线10x y --=平行，所以()111,0.f a a =-=='即 （2）令()0,f x x e ='=得当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：+ 0 —极大值由表可知：()f x 的单调递增区间是()0,e，单调递减区间是(),e +∞所以()f x x e =在处取得极大值，()()ln .e f x f ee 极大值== 1e=20．设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠． 【答案】（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析.【解析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程； （2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BNx y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. 综上，ABM ABN ∠=∠. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.21．过椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两倍. （1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线分别为AB ，CD ，且0AB CD ⋅=u u u v u u u v，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(1)22163x y +=;(2)3. 【解析】分析：(1)根据题意，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得到M 的方程；(2)先求出AB =，直线CD 的方程为y x m =+，联立方程组22163y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：2234260x mx m +++=，利用韦达定理、弦长公式可得()()2221212162499CD x x x x m ⎡⎤=+-=-⎣⎦，结合0AB CD ⋅=u u u v u u u v 可得四边形ACBD 的面积12S AB CD =⋅=. 详解：（1）由题意知222c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得26a =，23b =，所以M 的方程为：22163x y +=. （2）联立方程组220163x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得33A ⎛ ⎝⎭、(B ，求得3AB =. 依题意可设直线CD 的方程为：y x m =+，CD 与线段AB相交3m ⇒-<< 联立方程组22163y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：2234260x mx m +++=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则()()2221212162499CD x x x x m ⎡⎤=+-=-⎣⎦， 四边形ACBD 的面积2186929S AB CD m =⋅=-， 当0m =时，S 最大，最大值为86. 所以四边形ACBD 的面积最大值为86. 点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b 从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 22．已知函数()22ln f x x a x =-．（1）若4a =，求函数()f x 的极小值； （2）设函数()()2312g x x a x =-+-，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量()1,2,3i x i =使得()()i i f x g x +的值相等，若存在，请求出a 的范围，若不存在，请说明理由？【答案】（1）极小值为2；（2）不存在，详见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）由a=4，得函数f （x ）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f （x ）的极小值；（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x i （i=1，2，3），使得f （x i ）-g （x i ）的值恰好都相等，设f （x i ）-g （x i ）=m ．（i=1，2，3），则对于某一实数m ，方程f （x ）-g （x ）=m 在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x i （i=1，2，3）使得f （x i ）-g （x i ）的值恰好都相等． 解：（1）定义域为，由已知得，则当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数，故函数的极小值为．（2）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，设，则函数的图象与x轴有三个不同交点，即在有两个不同的零点．显然在上至多只有一个零点则函数的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在．【考点】1．函数在某点取得极值的条件；2．根的存在性及根的个数判断．。

安徽省阜阳市太和县第一中学2019年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为（）A. B. C.D.参考答案：C2. 函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是( )A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．3. 在回归分析中，相关指数R2越接近1，说明（）A、两个变量的线性相关关系越强B、两个变量的线性相关关系越弱C、回归模型的拟合效果越好D、回归模型的拟合效果越差参考答案：A4. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx. 若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，则的范围（）A．（-2,1]B．(－∞，－2)∪[1，＋∞)．C．（，1]． D. [-2,]参考答案：B6. 设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是()A．－4≤k≤B．－≤k≤4C．k≥或k≤－4 D．以上都不对参考答案：C7. 如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：D．8. 已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝( ) A．(2,1) B．(1,0) C. D．(0，－1)参考答案：C9. 已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）A. B.C．D．参考答案：C10. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2016?鞍山一模）在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a，则a∈（0，1）的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，比较基础．12. 不等式-2x2+x+3<0的解集为．参考答案：13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为．参考答案：810【考点】频率分布直方图．【分析】先分别求出130～140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频率的比值等于人数的比值，求出所求即可．【解答】解：130～140分数段的频率为0.05，90～100分数段的频率为0.45，故90～100分数段的人数为9×90=810．故答案为：81014. 观察下列等式：由以上等式推测到一个一般的结论：对于=参考答案：略15. 在的展开式中，的系数为____(用数字作答)参考答案：7试题分析：由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是考点：二项式定理16. 若等式sinα+cosα=能够成立，则的取值范围是______________. 参考答案：17. 不等式的解集为_______.参考答案：(1,+∞)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年安徽省阜阳市太和中学高三（上）10月质检数学试卷（理科）一、选择题1. 已知全集U＝{x∈N|−2<x<6}，若A＝{2, 4}，B＝{1, 3, 4}，则(∁U A)∩B＝（）A.{1, 3}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3, 5}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合U，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】∵U＝{0, 1, 2, 3, 4, 5}，A＝{2, 4}，B＝{1, 3, 4}，∴∁U A＝{0, 1, 3, 5}，∴(∁U A)∩B＝{1, 3}．2. “∃x∈(2, +∞)，使得x2+2x>0”的否定是（）A.∃x0∈(−∞, 2]，使得x02−2x0≤0B.∀x∈(2, +∞)，使得x2+2x≤0C.∃x0∈(2, +∞)，使得x02−2x0≤0D.∀x∈(−∞, 2]，使得x2+2x>0【答案】B【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为全称命题，则“∃x∈(2, +∞)，使得x2+2x>0”的否定是∀x∈(2, +∞)，使得x2+2x≤0，3. 已知在等差数列{a n}中，a1+a9＝10，a2＝−1，则a n+1−a n＝（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】将求a n+1−a n的问题转化为求等差数列的公差d的问题即可．【解答】依题意，设等差数列{a n}的公差为d，则a1+a9＝2a1+8d＝10①，a2＝a1+d＝−1②，联立①②得，d＝2，故a n+1−a n＝d＝2，4. 已知某扇形的面积为2.5cm 2，若该扇形的半径r ，弧长l 满足2r +l =7cm ，则该扇形圆心角大小的弧度数是( ) A.45B.5C.12D.45或 5【答案】 D【考点】 扇形面积公式 弧长公式 【解析】由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数． 【解答】解：由题意可得{l +2r =7，12lr =2.5，解得{r =52，l =2，或{r =1，l =5，可得lr=45或5．故选D .5. 函数f(x)＝x 3−x 2−4x 的一个零点所在区间为（ ） A.(−2, 0) B.(−1, 0) C.(0, 1)D.(1, 2)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理 【解析】f(x)＝x 3−x 2−4x ＝x(x 2−x −4)，令g(x)＝x 2−x −4，利用函数的解析式求出g(0)，g(−2)的值，利用零点判定定理得出结论． 【解答】f(x)＝x 3−x 2−4x ＝x(x 2−x −4)，令g(x)＝x 2−x −4， ∵ g(0)＝−4<0，g(−2)＝2>0，利用零点判定定理得出f(x)＝x 3−x 2−4x 的一个零点所在区间为(−2, 0)．6. 如图，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（ ）A.c →=23b →−16a →B.c →=43b →+13a →C.c →=43b →−13a →D.c →=23b →+16a →C【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】根据平面向量的线性表示与运算法则，用OA →、OB →表示OC →即可． 【解答】OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →， 则OC →=OB →+BC →=OB →+13AB →=OB →+13(OB →−OA →)=43OB →−13OA → =43b →−13a →．7. 若cos θ=−45，且θ为第三象限角，则tan (θ+π4)的值等于（ ）A.17B.−17C.−7D.7【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tan θ的值，再利用两角和的正切公式，求得tan (θ+π4)的值．【解答】若cos θ=−45，且θ为第三象限角，则sin θ=−√1−cos 2θ=−35，∴ tan θ=sin θcos θ=34，tan (θ+π4)=tan θ+11−tan θ=7，8. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为3√22，则线段AB 的长是（ ） A.9 B.4C.92D.8【答案】 C抛物线的性质 【解析】设过焦点的直线方程联立抛物线方程 可得纵坐标之和及之积，进而得面积，与已知联立可得参数的值，过焦点的弦长转化为到准线的距离，即可得出结果． 【解答】如图所示：由题意可得：F(1, 0)，显然直线AB 的斜率不为零， 设直线AB 的方程：x ＝my +1，设A(x, y)，B(x ′, y ′)，联立抛物线的方程整理得：y 2−4my −4＝0，y +y ′＝4m ，yy ′＝−4，∴ S △OAB =12⋅|OF|⋅|y −y ′|=12⋅1⋅√(y +y ′)2−4yy ′=12√16m 2+16=2√1+m 2． 由题意：2√1+m 2=3√22，∴ m 2=18，∴ |AB|＝x +x ′+p ＝m(y +y ′)+2+2＝4m 2+4=92， 故选：C ．9. 已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE →⋅DF →=( ) A.8B.10C.12D.14【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解． 【解答】由题可得：DA →⊥DC →，AE →⊥CF →； DA →⋅DC →=AE →⋅CF →=0；∴ DE →⋅DF →=(DA →+AE →)⋅(DC →+CF →)=DA →⋅DC →+DA →⋅CF →+AE →⋅DC →+AE →⋅CF →=0+2×1×cos 0+2×4×cos 0+0＝10．则△ABC外接圆的面积为（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】B【考点】余弦定理【解析】由已知利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可得a的值，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可解得R，即可得解△ABC外接圆的面积．【解答】∵A=π3，b＝2，S△ABC=2√3=12bc sin A=12×2×c×√32，∴解得：c＝4，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2−2bc cos A＝4+16−2×2×4×12，解得：a＝2√3，∵设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得：2R=asin A =√3√32=4，解得R＝2，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π．11. 一艘轮船从A出发，沿南偏东70∘的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35∘的方向航行了40√2海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A.北偏东80∘，20(√6+√2)B.北偏东65∘，20(√3+2)C.北偏东65∘，20(√6+√2)D.北偏东80∘，20(√3+2)【答案】C【考点】解三角形【解析】在△ABC中，∠ABC＝70∘+35∘＝105∘，AB＝40，BC＝40√2，故可由余弦定理求出边AC的长度，在△ABC中，可由正弦定理建立方程BCsin∠CAB =ACsin105，求出∠CAB．【解答】由题意，在△ABC中，∠ABC＝70∘+35∘＝105∘，AB＝40，BC＝40√2根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC＝402+(40√2)2−2×40×40√2×√2−√64= 3200+1600√3，∴AC＝20(√6+√2)．根据正弦定理BCsin∠CAB =ACsin105，∴∠CAB＝45∘，∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65∘、20(√6+√2)．12. 若函数f(x)＝|log3x|+6x2−x3−9x+4−a在区间(0, 3]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用 【解析】首先对函数的零点和方程的根进行转换，进一步引入新函数，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步利用函数的最值求出参数的取值范围． 【解答】根据题意，得到关于x 的方程|log 3x|＝−(6x 2−x 3−9x +4−a)在区间(0, 3]上有两个不同的交点，引入函数G(x)＝−(6x 2−x 3−9x +4−a)， 所以G′(x)＝3x 2−12x +9，当1<x <3时，G′(x)<0，所以函数G(x)在(1, 3)上单调递减． 当0<x <1时，G′(x)>0，所以函数G(x)在(0, 1)上单调递增． 所以函数G(x)在x ＝1时取得最大值．即G(x)max ＝a ．由于关于x 的方程|log 3x|+6x 2−x 3−9x +4−a 在区间(0, 3]上有两个不同的实根， 所以a >0，且33−6⋅32+3⋅9+a ≤1+4， 解得a ≤5． 故0<a ≤5． 二、填空题已知平面向量a →=(4, −3)，b →=(−x, 2)，若a →⊥b →，则实数x ＝________． 【答案】−32【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据a →⊥b →可得出a →⋅b →=0，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值． 【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=−4x −6=0，解得x =−32．二项式(√xx 2)10的二项展开式中的常数项是________．【答案】 45【考点】二项式定理的应用 【解析】利用二项式的通项公式即可得出x 的指数幂为0，即可得出r 的值，就能够求解常数项． 【解答】令20−5r2=0=0，解得r=8．∴常数项为T8=C108×(−1)2=45. 故答案为：45．化简：sin(θ−3π2)cos(π−θ)sin(θ+π)cos(θ−π2)=________．【答案】cot2θ【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】sin(θ−3π2)cos(π−θ)sin(θ+π)cos(θ−π2)=−sin(3π2−θ)⋅(−cosθ)−sinθ⋅sinθ=cosθ⋅(−cosθ)−sin2θ=cos2θsin2θ=cot2θ．已知奇函数f(x)在定义域(−∞, +∞)上单调递增，若f(sin x+cos2x)+f(sin x+m)≥0对任意的x∈(−∞, +∞)成立，则实数m的最小值为________．【答案】3【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，可转化不等式，然后结合恒成立问题与最值的相互转化，结合二次函数的性质即可得到结论．【解答】∵f(sin x+cos2x)+f(sin x+m)≥0对任意的x∈(−∞, +∞)成立，且f(x)为奇函数，∴f(sin x+cos2x)≥−f(sin x+m)＝f(−sin x−m)对任意的x∈(−∞, +∞)成立，函数f(x)在(−∞, +∞)上是增函数，则不等式等价为2sin x+cos2x≥−m，令g(x)＝2sin x+cos2x＝−2sin2x+2sin x+1，∵−1≤sin x≤1，结合二次函数的性质可知，当sin x＝−1时，g(x)取得最小值−3，故−m≤−3，∴m≥3，即m的最小值3．三、解答题已知tanθ1−tanθ=1，求下列各式的值：（1）sinθ−cosθsinθ+cosθ；（2）sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2．【答案】∴sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=12−112+1=−13；sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2＝−sinθcosθ−sin2θ−2＝−[sin2θ+sinθcosθ+2(cos2θ+sin2θ)]=−3sin2θ+sinθcosθ+2cos2θsin2θ+cos2θ=−3tan2θ+tanθ+2 tan2θ+1=−3×14+12+214+1=−135．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）由已知求得tanθ，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】∵tanθ1−tanθ=1，∴tanθ=12，∴sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=12−112+1=−13；sin(π−θ)cos(π+θ)−cos2(θ+π2)−2＝−sinθcosθ−sin2θ−2＝−[sin2θ+sinθcosθ+2(cos2θ+sin2θ)]=−3sin2θ+sinθcosθ+2cos2θsin2θ+cos2θ=−3tan2θ+tanθ+2 tan2θ+1=−3×14+12+214+1=−135．已知函数f(x)＝2x3−3x2+4．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[−1, 2]时，求函数f(x)的最小值．【答案】由题意f(x)＝2x3−3x2+4，f′(x)＝6x(x−1)，当x∈(−∞, 0)时，f′(x)>0；当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0．所以，函数f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)和(1, +∞)． 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所以，当x ＝−1，y min ＝2(−1)3−3(−1)2+4＝−1． 当x ∈[−1, 2]时，函数f(x)的最小值为−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；导数小于0，可得函数的单调增区间；（2）令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值． 【解答】由题意f(x)＝2x 3−3x 2+4，f′(x)＝6x(x −1)， 当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)>0； 当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0； 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0．所以，函数f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)和(1, +∞)． 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所以，当x ＝−1，y min ＝2(−1)3−3(−1)2+4＝−1． 当x ∈[−1, 2]时，函数f(x)的最小值为−1．已知平面向量m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)．（1）若m →∥n →，x ∈[0, π2]，求实数x 的值；（2）求函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间． 【答案】∵ m →∥n →，m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)． ∴ 12sin (x −π6)−12cos x ＝0． 即sin x =√3cos x ． ∴ tan x =√3；ππ由题得：f(x)=m →⋅n →=sin (x −π6)⋅cos x +14=(√32sin x −12cos x)cos x +14=(√32sin x ⋅cos x −12cos 2x)+14=12sin (2x −π6)． 令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ (k ∈Z)；∴ π3+kπ≤x ≤5π6+kπ (k ∈Z)；函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间为：[π3+kπ, 5π6+kπ](k ∈Z)．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）直接根据向量共线的结论即可求解；（2）先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论． 【解答】∵ m →∥n →，m →=(sin (x −π6)，12)，n →=(cos x, 12)． ∴ 12sin (x −π6)−12cos x ＝0．即sin x =√3cos x ． ∴ tan x =√3；∵ x ∈[0, π2]，∴ x =π3．由题得：f(x)=m →⋅n →=sin (x −π6)⋅cos x +14=(√32sin x −12cos x)cos x +14=(√32sin x ⋅cos x −12cos 2x)+14=12sin (2x −π6)． 令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ (k ∈Z)；∴ π3+kπ≤x ≤5π6+kπ (k ∈Z)；函数f(x)=m →⋅n →的单调递减区间为：[π3+kπ, 5π6+kπ](k ∈Z)．已知函数f(x)=sin ωx cos ωx −√3sin 2ωx +√32(ω>0)图象两条相邻的对称轴间的距离为π4．（1）求ω的值；（2）将函数f(x)的图象沿z 轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(2019π)的值． 【答案】2√3=12sin2ωx−√3−√3cos2ωx2+√32，＝sin(2ωx+π3)．由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，所以2×π4=2π2ω，解得ω＝2．由（1）得f(x)＝sin(4x+π3)．函数f(x)的图象沿z轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象，所以g(2019π)=cos(2×2019π+π3)=12．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】函数f(x)=sinωx cosωx−√3sin2ωx+√32(ω>0)=12sin2ωx−√3−√3cos2ωx2+√32，＝sin(2ωx+π3)．由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为π4，所以2×π4=2π2ω，解得ω＝2．由（1）得f(x)＝sin(4x+π3)．函数f(x)的图象沿z轴向左平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=cos(2x+π3)的图象，所以g(2019π)=cos(2×2019π+π3)=12．已知函数f(x)=a⋅2x−x2−43a(a∈R)（1）若函数f(x)是偶函数，求实数a的值；（2）若函数g(x)=4x+12x−x2，关于x的方程f(x)＝g(x)有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．【答案】因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立所以a⋅2−x−(−x)2−43a＝a⋅2x−x2−43a对任意的x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，所以a＝0；因为g(x)=4x+12x−x2，f(x)＝g(x)，所以a⋅2x−x2−43a=4x+12x−x2所以{a⋅2x−43a>04x+1 2x =a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，若a−1>0，即a>1时，则需关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个大于43的实数根，设ℎ(t)＝(a−1)t2−43at−1，则ℎ(43)<0，所以(a−1)×(43)2−43a×43−1<0，所以−25<0成立，所以a>1满足题意；若a−1＝0，即a＝1时，解得t=−34，不满足题意；若a−1<0，即a<1时，(−43a)2+4(a−1)＝0，且−−43a2(a−1)>0，所以a＝−3，当a＝−3时，关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个实数根12，12<43，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是{a|a>1}．【考点】函数与方程的综合运用函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，进而求解；（2）因为g(x)=4x+12x−x2，f(x)＝g(x)，所以{a⋅2x−43a>04x+12x=a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，进而求解．【解答】因为f(x)＝a⋅2x−x2−43a(a∉R)是偶函数，所以f(−x)＝f(x)对任意x∈R成立所以a⋅2−x−(−x)2−43a＝a⋅2x−x2−43a对任意的x∈R成立，所以a⋅(2−x−2x)＝0对任意x∈R成立，所以a＝0；因为g(x)=4x+12−x2，f(x)＝g(x)，所以a⋅2x−x2−43a=4x+12x−x2所以{a⋅2x−43a>04x+1 2x =a⋅2x−43a，设t＝2x(t>0)，则有关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0，若a−1>0，即a>1时，则需关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个大于43的实数根，设ℎ(t)＝(a−1)t2−43at−1，则ℎ(43)<0，所以(a−1)×(43)2−43a×43−1<0，所以−25<0成立，所以a>1满足题意；若a−1＝0，即a＝1时，解得t=−34，不满足题意；若a−1<0，即a<1时，(−43a)2+4(a−1)＝0，且−−43a2(a−1)>0，所以a＝−3，当a＝−3时，关于t的方程(a−1)t2−43at−1＝0有且只有一个实数根12，12<43，不满足题意，综上，所求实数a的取值范围是{a|a>1}．已知函数f(x)＝x ln x．（1）求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处切线的方程；（2）讨论函数g(x)＝f(x)+32x2−4x的极值；（3）若f(x)≤m(x2−1)对任意的x∈[1, +∞)成立，求实数m的取值范围．【答案】求导函数，可得f′(x)＝1+ln x，∴f′(1)＝1，f(1)＝0，∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程y−0＝1×(x−1)即y＝x−1．函数g(x)＝x ln x+32x2−4x，∴g′(x)＝1+ln x+3x−4＝ln x+3(x−1)，令g(x)＝0，解得x＝1，当g′(x)>0时，解得x>1，函数f(x)在(1, +∞)单调递增，由g′(x)<0，解得0<x<1，函数f(x)在(0, 1)单调递减，故函数f(x)在(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，当x＝1时，函数有极小值，极小值为g(1)=−52，无极大值，∵∀x≥1，f(x)≤m(x2−1)成立，即ln x≤m(x−1x)，令ℎ(x)＝ln x−m(x−1x)(x≥1)，ℎ′(x)=1x −m(1+1x)=−mx2+x−mx，当m≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[1, +∞)单调递增，又ℎ(1)＝0，所以ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1, +∞)恒成立矛盾，当m>0，y＝−mx2+x−m，△＝1−4m2，若△≤0，即m≥12，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(1)＝0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题意，若△>0，解得0<m<12，此时对应方程−mx2+x−m＝0，有两个实数根x1=1−√1−4m22m ,x2=1+√1−4m22m，其中x1<1，x2>1，又分析知，函数ℎ(x)在区间(x1, x2)上单调递增，ℎ(1)＝0，所以当x∈(1, x2)时，ℎ(x)>0，不符合题意，综上，m的取值范围为[12,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程；（2）先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值；（3）构造函数ℎ(x)，对m分类讨论，判断m的范围．【解答】求导函数，可得f′(x)＝1+ln x，∴f′(1)＝1，f(1)＝0，∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程y−0＝1×(x−1)即y＝x−1．函数g(x)＝x ln x+32x2−4x，∴g′(x)＝1+ln x+3x−4＝ln x+3(x−1)，令g(x)＝0，解得x＝1，当g′(x)>0时，解得x>1，函数f(x)在(1, +∞)单调递增，由g′(x)<0，解得0<x<1，函数f(x)在(0, 1)单调递减，故函数f(x)在(1, +∞)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，当x＝1时，函数有极小值，极小值为g(1)=−52，无极大值，∵∀x≥1，f(x)≤m(x2−1)成立，即ln x≤m(x−1x)，令ℎ(x)＝ln x−m(x−1x)(x≥1)，ℎ′(x)=1x −m(1+1x)=−mx2+x−mx，当m≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[1, +∞)单调递增，又ℎ(1)＝0，所以ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1, +∞)恒成立矛盾，当m>0，y＝−mx2+x−m，△＝1−4m2，若△≤0，即m≥12，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(1)＝0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题意，若△>0，解得0<m<12，此时对应方程−mx2+x−m＝0，有两个实数根x1=1−√1−4m22m ,x2=1+√1−4m22m，其中x1<1，x2>1，又分析知，函数ℎ(x)在区间(x1, x2)上单调递增，ℎ(1)＝0，所以当x∈(1, x2)时，ℎ(x)>0，不符合题意，综上，m的取值范围为[12,+∞)．。

安徽省阜阳市太和一中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）。

1．函数24()log (1)2xf x x x -=+--的定义域为（ ） A ．()1,4B ．()2,4C ．()()1,22,4UD ．()(]1,22,4U2．函数1π2sin()24y x =+的周期，振幅，初相分别是（ ）A ．π4π,2,4 B ．π4π,2,4-- C ．ππ,2,44 D ．π2π,2,43．若2log 0.5a =，0.52b =，20.5c =，则,,a b c 三个数的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<4．已知51cos sin ),,0(=+∈ααπα ，则=αtan （ ） A ．43- B ．34 C ．34- D ．435．函数332xx xy =+的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，1） C ．（1，+∞） D ．（﹣∞，1）6．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象的相邻两条对称轴间的距离是2π．若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到()g x ，则()g x 的解析式为( )A ．()sin(4)6g x x π=+B ．()sin(8)3g x x π=-C ．()sin()6g x x π=+ D ．()sin 4g x x = 7.若幂函数在上为减函数,则的值为( )A.1或3B. 1C. 3D. 28．函数)1ln()(xx x f -=的图像大致为( )A. B. C.D.9．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这支股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A ．略有盈利 B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况10．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，且满足对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[4,8)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．(1,)+∞11.若函数f （x ）221x xm-=++tan x 的定义域为[﹣1，1]，且f （0）=0，则满足f （2x —1）<f （x —m +1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（0，1]B ．（﹣1，0）C ．[1，2）D ．[0，1）12.己知函数()()ππsin (00)23f x x ωϕωϕ=+><<-，，为f （x ）的一个零点，x π6=为f （x ）图象的一条对称轴，且f （x ）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ） A ．π6ϕ=B ．f （x ）的最小正周期为4πC.5=ωD ．f （x ）在（0，π42）上单调递增 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.已知集合{}210A x x =-<，{}01B x x =≤≤，那么A B I 等于 14．已知一扇形的面积是8cm 2，周长是12cm ，则该扇形的圆心角α（0<α<π）的弧度 数是15．设函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内是增函数； ③函数()f x 是奇函数； ④图象C 关于点(,0)3π对称． ⑤|()|f x 的周期为π其中，正确命题的编号是 16.已知函数,22)(,2)(-=+-=x x g a x xx f 若对任意,R x ∈总有0)(0)(<<x g x f 或成立，则a 的取值范围为三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分，每小题5分。

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

阜阳市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 若关于的不等式的解集为或，则的取值为（ ）2043x ax x +>++31x -<<-2x >A ． B ． C ．D ．1212-2-2． 已知i 为虚数单位，则复数所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（）A ．﹣B ．﹣5C ．5D ．5． 满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6． 下列命题正确的是（）A ．已知实数，则“”是“”的必要不充分条件,a b a b >22a b >B ．“存在，使得”的否定是“对任意，均有”0x R ∈2010x -<x R ∈210x ->C ．函数的零点在区间内131()(2xf x x =-11(,32D ．设是两条直线，是空间中两个平面，若，则,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂m n ⊥αβ⊥7．若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（）ABD 8． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30°9． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2，且函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜1B ．﹣≤a ≤C ．﹣1≤a ≤1D ．﹣2≤a ≤2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1•e 2+1的取值范围为（ ）A ．（1，+∞）B ．（，+∞）C ．（，+∞）D ．（，+∞）11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.12．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切二、填空题13．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．14．已知集合，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为_____.2x y +=【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.16．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．18．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．三、解答题19．．（1）求证：（2），若．20．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设,函数.1a >()()21xf x x ea =+-（1）证明在上仅有一个零点；(（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,（O 是坐标原点）,证明:1m ≤-21．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.{x ＝cos t y ＝1＋sin t)3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．22．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，M 为CD 的中点，现将△CDE 沿DE 折起，使点A 在平面CDE 内的射影恰好为M ．（I）求AM的长；（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．23．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．24．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．阜阳市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题题号12345678910答案D A ABDCCABB题号1112答案C.D二、填空题13．　6　． 14．3-15．222x y +=16．　{2，3，4}　． 17． ．18． ．三、解答题19．20．（1）在上有且只有一个零点（2）证明见解析f x （）∞+∞（﹣，）21．22．解：（I ）由已知可得AM ⊥CD ，又M 为CD 的中点，∴； 3分（II ）在平面ABED 内，过AD 的中点O 作AD 的垂线OF ，交BE 于F 点，以OA 为x 轴，OF 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系，可得，∴，，5分设为面BCE 的法向量，由可得=（1，2，﹣），∴cos ＜，＞==，∴面DCE 与面BCE 夹角的余弦值为4分23．24．。

太和中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A．74B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.2． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）3． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=B ．y=﹣x+C ．y=﹣x|x|D ．y=4． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C. 2-D. 3-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.5． 定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1- C．,12⎤⎥⎣⎦ D．1,2⎡-⎢⎣⎦ 6． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b <C ．22a b >D ．33a b >7． 已知是虚数单位，若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．38． 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞9． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ） A．=B．0S = C ．0122S S S =+ D ．20122S S S =10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣311．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 12．若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．14．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．15．计算121(lg lg 25)1004--÷= ▲ ．16．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1S x x =<-或}5x >，集合{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),31,-∞--+∞ B.()3,1--C.(][),31,-∞--+∞ D.[]3,1--【答案】B 【解析】【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，所以185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-，即实数a 的取值范围为()3,1--.故选：B ．2.设复数z 满足()1i 1i z +=-，则1z +=（）A.1 B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出i z=-，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.【详解】()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ---+====-++-，故i z =，i 11z +=+=.故选：B3.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．4.已知数列{}n a 满足()22n a n n λλ=+∈R ，则“{}n a 为递增数列”是“0λ≥”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由{}n a 为递增数列得6λ>-，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】由{}n a 为递增数列得，()()2212(1)12420,n n a a n n n n n n λλλ++⎡⎤-=+++-+=++>∈⎣⎦N ，则()42n λ>-+对于n +∈N 恒成立，得6λ>-．可得06λλ≥⇒>-，反之不行，故选：C ．5.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm ）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量/mm0.19.9~1024.9~2549.9~5099.9~等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm ，底面直径为8cm ，深度为20cm 的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的12，则当日的降雨所属等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】设上口半径为R ，下口半径为r ，桶深为h ，水面半径为1r ，则17cm 2R rr +==，降水量的体积()()222231111110ππππ310πcm 323h V r r rr r r rr =++⋅=++=，降水深度为2310π3.1cm 31mm π100πV R ===，属于大雨等级.故选：C ．6.已知圆22:46120C x y x y +--+=与直线:10l x y +-=，P ，Q 分别是圆C 和直线l 上的点且直线PQ 与圆C 恰有1个公共点，则PQ 的最小值是（）A.B. C.1- D.1【分析】PQ ==，CQ 的最小值为圆心()2,3C 到直线的距离，可求PQ 的最小值.【详解】圆22:46120C x y x y +--+=化为标准方程为()()22:231C x y -+-=，则圆C 的圆心为()2,3C ，半径1r =，则1CP =，直线PQ 与圆C相切，有PQ ==，因为点Q 在直线l上，所以CQ ≥=，则PQ ≥．即PQ.故选：A7.设28log 3,log 12,lg15a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】22232331log 3log 21log 122log 2a ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，88832331log 12log 81log 122log 8b ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，101032331lg15log 101log 122log 10c ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，3332220log 2log 8log 10,a b c <<<∴>> .故选：D ．8.已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+-，()14f =且当0x >时，()2f x >，若存在[]1,2x ∈，使得()()2421f ax x f x -+=，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.52,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，再结合赋值法求出3()12f -=-，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.【详解】任取12,x x ，且12x x <，则210x x ->，而当0x >时，()2f x >，于是21()2f x x ->，又()()()2f x y f x f y +=+-，因此21211211()[()]()()2()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->，则函数()f x 是增函数，而222(4)(2)[(4)2]2(2)21f ax x f x f ax x x f ax x -+=-++=-+=，于是2(2)1f ax x -=-，令0x y ==，得(0)2f =，令1,1x y ==-，得(1)0f -=，令1,1x y =-=-，得(2)2f -=-，令2,1x y =-=-，得(3)4f -=-，令3x y 2==-，得3(12f -=-，即有23(2)()2f ax x f -=-，因此2322ax x -=-，原问题即2432x a x -=在[]1,2有解，令11[,1]2t x =∈，则22242343()33a t t t =-+=--+在1[,1]2t ∈时有解，从而42[1,]3a ∈，12[,]23a ∈，所以a 的取值范围是12[,]23.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【答案】BCD 【解析】【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可求解.【详解】对于A 中，例如：数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，所以A 错误；对于B 中，根据频率分布直方图中中位数的求法，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，所以B 正确；对于C 中，根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以C 正确；对于D ．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，所以D 正确故选：BCD ．10.已知O 为坐标原点，椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为12,.,F F A B 两点都在C 上，A ，,O B 三点共线，P （不与,A B 重合）为上顶点，则（）A.AB 的最小值为4B.11AF BF +为定值C.存在点A ，使得12AF AF ⊥D.13PA PB k k ⋅=-【答案】BCD 【解析】【分析】求出AB >可判断A ；由椭圆的对称性可判断B ；因为2>c ，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点可判断C ；求出13PA PB k k ⋅=-可判断D .【详解】对于A ，由椭圆的方程可知2a b c ===，所以焦点()()122,0,2,0F F -，设()11,A x y ，则()11,B x y --，(P ，因为()11,A x y 在椭圆上，所以2211216x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AB AO ====≥即AB >，A 错误；对于B ，由椭圆的对称性可知，1112AF BF AF AF +=+=B 正确；对于C ，因为c b >，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A ，使得12AF AF ⊥，故C 正确；对于D ，设()11,A x y ，则()11,B x y --(,P 2c =，则212111221111212622213PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭⋅=⋅===--，故D正确．故选:BCD ．11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω=B.π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'-⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12.如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，22CD AB ==，则()AB CD FE +⋅=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】连接AF 、DF ，根据平面向量线性运算法则得到()12FE BA CD =+，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】连接AF 、DF ，所以FA FB BA =+ ，FD FC CD =+，又E 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以()()()111222FE FA FD FB BA FC CD BA CD =+=+++=+，所以()()()12AB CD FE AB CD BA CD +⋅=+⋅+()()12AB CD CD AB =+⋅-()221413222CD AB -=-== ．故答案为：3213.抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，得到抛物线2C ，其准线方程为340x y ++=，则抛物线1C 的焦点坐标为______．【答案】()2,0【解析】【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出4p =，进而得到结果.【详解】由于抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，抛物线2C ()24231=+且可知0p >，则4222p ==，则4p =，所以抛物线1C 的焦点坐标为()2,0．故答案为：()2,0.14.已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=≠，则()cos αβ-=______，()sin αβ+=______.【答案】①.2222a b +-②.222ab a b +【解析】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到tan2αβ+，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由sin sin a αβ+=可得()22sin sin a αβ+=，即222sin sin 2sin sin a αβαβ++=，由cos cos b αβ+=可得()22cos cos b αβ+=，即222cos cos 2cos cos b αβαβ++=，两式相加可得()2222sin sin cos cos a b αβαβ++=+，即()2222cos a b αβ+-=+，解得()222cos 2a b αβ+--=；因为sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 22a αβαβ+-==，cos cos cos cos 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2coscos 22b αβαβ+-==，所以2sin cos22tan22cos cos 22a b αβαβαβαβαβ+-+==+-，所以()22222222sincos 2tan 2222sin sin cos tan 11222a ab b a b a b αβαβαβαβαβαβαβ+++⨯+====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．故答案为：2222a b +-；222ab a b +.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=．（1）求角C 的大小；（2）若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2）332【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，所以根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos cos A A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，即sin C C =．因为cos 0C ≠，所以tan C =．因为0πC <<，所以π3C =．【小问2详解】cos 1AB AC bc A ⋅== ．因为2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos 11b c bc A +=+=①．因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-②．联立①②可得22320b b --=，解得2b =（负根舍去），故ABC 的面积为11333sin 322222ab C =⨯⨯⨯=．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.（1）证明://BE 平面PDF .（2）求平面PBC 与平面PDF 夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得PF ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，可得平面PDF 的法向量，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为PAB 是等边三角形，F 是AB 的中点，所以PF AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，不妨令2AB =，则()()()()(0,0,0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,F B C D P --，所以11,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,22BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()(2,1,0,FD FP == ，设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，则200m FD x y m FP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得()1,2,0m =- ，所以111202BE m ⋅=⨯-⨯= ，即BE m ⊥ ，又BE ⊄平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；【小问2详解】因为()()(0,1,0,2,1,0,B C P --，所以()(2,0,0,BC BP == ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '''= ，则200n BC x n BP y ⎧⋅==⎪⎨⋅='''+=⎪⎩ ，令1z '=，可得()0,n = ，又平面PDF 的一个法向量为()1,2,0m =- ，所以15cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面PBC 与平面PDF夹角的余弦值为5.17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为()()1,0,1,0A B -，动直线l 过点()2,0M ，当直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点时，点B 到直线l的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）当直线l 与双曲线C 交于异于,A B 的两点,P Q 时，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ．是否存在实数λ，使得21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221x y -=（2）存在，3λ=-【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得()121234my y y y =-+，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解.【小问1详解】2221,1y a x b =∴-= ，故当直线l 过()2,0且与双曲线C 有且仅有一个公共点时，l 与C 的渐近线平行．设直线():2l y b x =±-，则点()1,0B 到直线l,12b =∴=，所以双曲线C 的标准方程为221x y -=．【小问2详解】由题可知，直线l 的斜率不为0，设直线()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，由221,2,x y x my ⎧-=⎨=+⎩得()()222143010m y my m -++=-≠．2Δ4120m =+>成立，则12122243,11m y y y y m m -+==--，()121234my y y y ∴=-+．121212,11y y k k x x ==+- ，()()()()221212212211121212111313111y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x λ++-+∴=====-+++()()122121211233934443313444y y y y y y y y y y -++-+===--++-．故存在实数3λ=-，使得21k k λ=成立．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数()3ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性．（2）已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a 进行分类讨论()f x 的单调性；（2）利用方程组113ln x ax =，223ln x ax =得到21213lnx x a x x =-，问题转化为()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】()()30ax f x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得3x a <，即()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln 01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()()()2111ln 1,t h t t h t t t λλλλ-+⎛⎫=-+-= ''⎪⎭'⎝．令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0h t ''<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要能转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =.【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.19。