2008-2009学年江苏省扬州中学高一(下)3月月考数学试卷

江苏省扬州中学高三数学月考试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）． 充要5. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)6. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________．由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－137. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．[－4,4]8. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．4解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．9. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]10. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 311. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x ，令t＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5(x ＞1)，若∃x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)13. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的2015.10最小值为_______．解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6． 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．14. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．⎣⎡ln33,⎭⎫1e 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=． 问：m 为何值时，有：（1）12l l ；（2）12l l ⊥． 解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．………7分（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．………14分16. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17. （本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18. （本小题满分15分）如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．（1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分（2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分 令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分19. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋a x ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-； ………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-； ………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F (x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分20. （本小题满分16分）已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2xx ＋2．（1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；（2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a ＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t－2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x－2，∴h(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)2015.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)已知矩阵312221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A（1）求1-A ；（2）满足AX ＝1-A 二阶矩阵X解：(1) 12143A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………5分(2)852013X -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分) 所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值． 解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.1A 1B 1C ABC同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角, 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分 （2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B .此时,1925BD BC λ==. ………10分 24.（本小题满分10分)（1）证明：①111r r r n n n C C C ++++=；②122212n nn n C C +++=（其中,,01,n r N r n *∈≤≤-）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设21n +局，每局比赛甲获胜的概率均为12p p ⎛⎫>⎪⎝⎭，首先赢满1n +局者获胜（n N *∈）. ①若2n =，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由①1+122212121=+2n n n nn n n n C C C C +++++=……3分（2）①若2n =，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为q ，则210,1<<=+q q p ． 记在甲最终获胜的概率为n P ，则()nn nn n n n n nn n nn n n n n n n n qC q Cq Cpq p pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以1+<n n P P即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分。

江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题2019．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相．．．．应的位置上．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}N 13x x ∈≤≤，B ＝{2，3，4，5}，则A U B ＝． 2．若复数z 满足(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则z ＝ ．3．根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为﹣1时，则输入的x 的值为 ．第7题 第9题 第3题4．已知一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +(a ，b ∈R)的方差为12，则a 的值为 ．5．在区间(1，3)内任取1个数x ，则满足2log (21)1x ->的概率是 ．6．已知圆锥的体积为3π，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ． 7．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则ϕ＝ ． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1≤1a ≤3，3≤13a S +≤6，则21a a 的取值范围是 ． 9．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r ，ACb =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则14x y+的最小值为 ．10．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是 ．11．已知双曲线22221 x ya b-=(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，11FM1F N2=，则双曲线的离心率等于．12．已知a＞0，函数2()3f x x x a=+--在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝．13．在边长为8的正方形ABCD中，M是BC的中点，N是AD边上的一点，且DN＝3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使PM PN m⋅=u u u r u u u r，则实数m的取值范围是．14．已知函数2()2lnf x ax x x=-+有两个不同的极值点1x，2x，若不等式1()f xλ>+2()f x恒成立，则实数λ的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）已知函数()2cos(2)cos213f x x xπ=+-+．（1）求()f x的对称中心；（2）若锐角△ABC 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(A)f＝0，求bc的取值范围．16．（本题满分14分）如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝12CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：BD⊥平面PBC．17．（本题满分14分）如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l l，l2，且l l和l2交于点O．为了方便游客游览，计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O'，半径为2百米的圆，且公路AB与圆O'相切，圆心O'到l l，l2的距离均为5百米，设∠OAB＝θ，AB长为L百米．（1）求L关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，公路AB的长度最短？18．（本题满分16分）过椭圆W ：2212x y +=的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A(0，1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点(0，﹣1)重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（1）求B 点坐标和直线l 1的方程；（2）比较线段EF 1和线段GF 1的长度关系并给出证明． 19．（本题满分16分）设函数()sin cos f x a x x x =-，x ∈[0，2π]． （1）当a ＝1时，求证：()f x ≥0；（2）如果()f x ≥0恒成立，求实数a 的最小值．20．（本题满分16分）正数数列{}n a 、{}n b 满足：1a ≥1b ，且对一切k ≥2，k N *∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项．（1）若22a =，21b =，求1a ，1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是{}n a 为常数数列；（3）记n n n c a b =-，当n ≥2(n N *∈)时，指出23n c c c +++L 与1c 的大小关系并说明理由．附加题21．（本题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足1 1 2A 3 4-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11 0(BA)0 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1B -． 22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，射线l ：y =(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求MN的值．23．（本题满分10分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足X∈[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足X85-≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．24．（本题满分10分）已知2220122(1)(N)n nnx a a x a x a x n++=++++∈L．（1）求12212n na a a a--++-L的值；（2）求122121111n na a a a--++-L的值．参考答案。

扬州中学08-09学年高二下学期5月月考高二数学试卷 2009.5一、填空题（145'⨯）1．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U AC B 为_____________2．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为____________3．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则,,a b c 从大到小排序为__________ 4．直线2+=kx y 与曲线3y x mx n =++相切于点)4,1(，则n =_____________5．已知()f x 和()g x 为奇函数，若()()()1H x af x bg x =++在区间(0,)+∞有最大值5，则()H x 在区间(,0)-∞上的最小值为________6．函数3||22)21(-+=x x y 的值域为_____________7．已知2|log |y x =的定义域为[, ]a b ， 值域为[0, 2]，则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为_________8．函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当(0,3)x ∈时，()x x f 2=，则当(6,3)x ∈--时，()x f =_____________9．已知函数3()12f x x x a =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=____________10．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是________ 11．若不等式012421≥-+-+a a x x 在[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围为__________12．已知命题21:[1,2],02x p x e x a ∀∈--≥是真命题，命题2:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤ 是假命题，则实数a 的取值范围是 13．已知1()sin x f x e x =，1()(),2n n f x f x n -'=≥，则20091(0)i i f ==∑ 14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >；④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立。

2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．设全集{}0U x x =≥，{}20M x x x =-<，{}2,0xN y y x ==≥，则()UMN （ ）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合M ，根据指数函数的单调性求出结合N ，进而求出UN ，根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-<=<<，{}{}2,01xN y y x y y ==≥=≥所以{}1UN y y =<所以(){}01=Ux MN x <<.故选：D.2．“1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求直线斜率不存在时的a 的值，然后再验证即可得到答案. 【详解】直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在，则210a -=，10a +≠， 解得1a =．∴ “1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的充要条件， 故选：C ．3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3【答案】B【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，=故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ） A ．26 B ．46 C ．52 D ．126【答案】A【分析】根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类：（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有16C 6=种分组方式；（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有36C 20=种分组方式，所以共有62026+=种分组方式． 故选：A ．5．关于函数y =sin （2x +φ）（R ϕ∈）有如下四个命题： 甲：该函数在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；乙：该函数图象向右平移12π个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为65x π=-； 丁：该函数图像的一个对称中心为(,0)12π.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令222,Z 22k x k k πππϕπ-+≤+≤+∈，则函数的增区间为(),Z 4242k k k πϕπϕππ⎡⎤--+-∈⎢⎥⎣⎦…①； 函数图象向右平移12π个单位长度得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…②； 令2,Z 2242k x k x k πππϕϕπ+=+⇒=+-∈…③； 令2,Z 22k x k x k πϕϕπ+=⇒=-∈…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则甲正确，矛盾.令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为,Z 23k x k ππ=-∈，1k =-时，65x π=-，则丙正确.由④，函数的对称中心为()7,0Z 212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令74212123k k πππ-=⇒=，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令424222k k x k πϕπϕππϕπ--++-==-，结合④，令()2Z 2126k k k ϕπππϕπ-=⇒=-∈，由函数的奇偶性，取k =0，6πϕ=-，由③，,Z 241223k k x k πππππ=++=+∈，令572363k k πππ+=-⇒=-，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.取区间中点()36Z 212k k x k k ππππππ-++==-+∈，则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.由③，,Z 241226k k x k πππππ=+-=+∈.k =-2时，65x π=-，则丙正确.由④，,Z 212k x k ππ=-∈，令1212123k k πππ-=⇒=，④错误.满足题意.综上：该命题是丁. 故选：D.6．已知数列{an }的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为Sn ，若m ＞n ，则Sm ﹣Sn 的最大值是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】B【分析】由题可得要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，求出0n a >即可得出.【详解】解：依题意，12m n n n m S S a a a ++-=++⋯⋯+，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=. 故选：B ．7．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为2322-，则p =（ ） A ．22 B ．4C ．32D ．42【答案】D【分析】如图所示，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-，再解方程24232242p p +-=-，即得解. 【详解】如图所示，由题得准线方程为2px =-，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF =2p=解之得p =故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e ，根据()1f e =，求得()2xf x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解.【详解】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x c e=+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<， 又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B 二、多选题9．以下命题正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan αB ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．若点(),P x y 在线段26y x =-+（12x ≤≤）上运动，则211y x ++的最大值为92【答案】BD【分析】根据斜率和倾斜角的关系判断A ，根据空间向量基本定理判断B ，根据截距式方程判断C ，根据反比例函数的性质判断D ；【详解】对于A ：因为倾斜角的取值范围为[0,)π，当2πα=，斜率不存在，故A 错误；对于B ：由A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则()()2255OP OB OA OB OC OB -=-+-，即2255BP BA BC =+，则P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ：平行于x 轴或y 轴的直线不能用方程1x ya b+=表示，故C 错误；对于D ：因为点(),P x y 在线段()2612y x x =-+≤≤上运动，所以()()22614117211741111x x y x x x x -++-+++===-+++++，因为12x ≤≤，所以213≤+≤x ，111312x ≤≤+，所以51794312x ≤-+≤+，故211y x ++的最大值为92，故D 正确； 故选：BD10．已知向量(3a =，1)，(cos ,sin )b θθ=，则下列说法正确的是（ ）A ．存在(0,)2πθ∈，使得a b ⊥B ．存在(0,)2πθ∈，使得//a bC ．对于任意(0,)2πθ∈，(1a b ⋅∈，2]D ．对于任意(0,)2πθ∈，||[1a b -∈【答案】BCD【分析】A 垂直的数量积为0，列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；B 由平行的坐标表示列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；C 先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D 先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】解：对A ：3cos sin 2sin()3a b πθθθ⋅=+=+，若a b ⊥，则2sin()03πθ+=，因为(0,)2πθ∈，此时θ无解，故A 错误；对B ：若//a b cos 0θθ-=，因为(0,)2πθ∈，所以6πθ=，故B 正确；对C ：2sin()3a b πθ⋅=+，因为(0,)2πθ∈，所以(33ππθ+∈，5)6π，则1sin()(32πθ+∈，1]，所以2sin()(13a b πθ⋅=+∈，2]，故C 正确；对D ：||(3a b -=-=(0,)2πθ∈，则(66ππθ-∈-，)3π，所以1cos (2θ∈-，1]，则||[1a b -∈，故D 正确；故选：BCD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为32【答案】ABD【分析】连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，根据线线平行，面面平行求出1A C ⊥平面1BC D ，得到1A 到平面PMN 的距离，判断A ；连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，根据比例关系得到四边形1AD PM 为梯形，判断B ；连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，根据线面关系判断C ；在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推截面为六边形，求出六边形的周长判断D 即可．【详解】对于A ：连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图示：CP CM CN ==，//MN BD ∴，1//NP C D ，1//MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为2，则三棱锥11A BC D -为正四面体， 故1A 到平面1BC D 的距离为：222223(2)(3)23-⨯⨯=， 11A B ⊥平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，11B AC ∴⊥， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，1A C ∴⊥平面1BC D ， 又13A C =，1A ∴到平面PMN 的距离23(∈，3)，且23433<<，故A 正确；对于B ：连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，如图示：CP CM =，且1//CP DD ，//CM AD ，则1CP CM CQDD DA DQ=='，1DA DD ∴'=，故A '即为A ，连接1AD ，∴过点P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ， 由条件可知1//MP BC ，11//BC AD ，且1||||MP AD ≠，∴四边形1AD PM 为梯形，故B 正确；对于C ：连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，如图示：又B ∈平面1BC D ，1D ∈平面1BC D ，故1BD 不平行于平面1BC D ， 故1//BD 平面PMN 不成立，故C 错误；对于D ：在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ， 过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，如图示：依次可得点2N ，1M ，2M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ， 不妨设1BP x =，则1221212PM P N N M x ==，故1212122(1)PP N N M M x ===-， 故六边形的周长为：3[22(1)]32x x -=D 正确； 故选：ABD ．12．已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为22直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB 的内心为I ，则（ ） A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B ．满足6AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan θ=b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S △△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以2b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB =l 只有1条，B 错误；C选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确；D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等. 三、填空题13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________. 【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+， 故答案为：12i +．14．100的展开式中有理项的个数为_____． 【答案】17【分析】先写出通项公式，然后让506r-为整数即可求解.【详解】通项公式(10050611001002r rrrr rr T CC x--+==，有理项只需要保证506r -为整数即可，又,0100r Z r ∈≤≤，故0,6,12,96r =，共17个.故答案为：17.15．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是______.【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称，再根据条件可知，所以函数()f x 在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解之即可求出结果.【详解】由于函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称， 又“()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-”，所以函数()f x 在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增， 由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解得1324a -. 故答案为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题. 四、双空题16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______. 【答案】 3 8π【解析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan 3α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan 3α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小， 又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 五、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)31n a n =+，2nn b =(2)301632S =【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，根据已知条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可求得n b ，求出3a 的值，可求得d ，利用等差数列的通项公式可求得n a ；（2）分析可知，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成，利用等差数列的求和公式可求得30S 的值.【详解】(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+.(2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成. ()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，5AB =，2BC =，4cos 5ABC ∠=-．(1)若sin ACD ∠AD 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5(2)7【分析】（1）先通过余弦定理求出AC ，再借助正弦定理求AD 即可；（2）直接表示出周长，借助余弦定理求出DC DA +的最大值，即可求出周长的最大值. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠22452252()455=+-⨯⨯⨯-=，得AC =因为4cos ,05ABC ABC π∠=-<∠<，所以3sin 5ABC ∠=.因为,,,A B C D 四点共圆，所以ABC ∠与角ADC ∠互补， 所以3sin 5ADC ∠=，4cos 5ADC ∠=，在ACD △，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，所以sin 553sin 5AC ACDAD ADC⋅∠===∠.(2)因为四边形ABCD 的周长为7DC DA BC BA DC DA +++=++， 在ACD △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即22281845()55DA DC DA DC DA DC DA DC =+-⋅=+-⋅222181()()()5210DA DC DA DC DA DC +≥+-=+2()450,DA DC DA DC ∴+≤∴+≤当且仅当2DA DC ==时，max ()DA DC += 所以四边形ABCD周长的最大值为7.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）若1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；（2）当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明； （2）设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥E ABC -的体积.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCDPA CD ∴⊥四边形ABCD 为矩形AD CD ∴⊥又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PADCD 平面PADAE ⊂平面PADCD AE ∴⊥在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点AE PD ∴⊥又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCDAE ∴⊥平面PCD（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设()0AP a a =>，则()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1,PC a =-，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则 00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩201022x y ay z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,12a n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则||sin cos ,||||n PC n PC n PC θα⋅=<>=225154a a =++222720295a a=≤++ 当且仅当2a =∴三棱锥E ABC -的体积1122213226E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c0y +-上，且离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设(),0A a -，(),0B a ，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x a =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线x a =交于点N ，是否存在常数λ，使得BN BM λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2211612x y +=； (2)存在，12λ=，理由见解析【分析】（1）先把(c,0)F 代入直线方程，求出c ，根据离心率和,,a b c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP 的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP 的斜率，再使用二倍角公式及直线NF 的斜率表达出直线AP 的斜率，从而得到等式，求出2112(2)(8)0y y y y -+=，得到21,y y 的关系，得到λ的值.【详解】(1)因为右焦点(c,0)F0y +-0,-2c ∴= 221,4,16412.2c e a b a a ===∴=∴=-= 所以椭圆C 的方程为221.1612x y(2)存在，12λ=，理由如下：因为(4,0),(4,0),(2,0)A B F -，设1200(4,),(4,),(,)M y N y P x y . 显然120y y >. 可设直线AP 的方程为4(0)x my m =-≠， 因为点M 在这条直线上，则1188,.my m y ==联立2243448x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234240m y my +-=的两根为00y 和， 200022241216,4.3434m m y x my m m -∴=∴=-=++2012222012248434,.121624162234PFNFmy y y m m k k m x m y m +=====-----+ 设,BFN θ∠= 则2,PFB θ∠=2222222242tan 4tan 2.1tan 441()2y y m y y m θθθ∴====----122112221284(2)(8)0164y y y y y y y y ∴=∴-+=--，， 因为120y y >，所以2121120,2y y y y -=∴=. 故存在常数12λ=，使得.BN BM λ=【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【分析】（1）根据题意，集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况：1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于()5P F ，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率再求解.（2）①根据题意，115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，再根据数列知识计算n Q 即可；②由①得购买甲系列的概率近似于25，故用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布的期望计算即可.【详解】解：（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况，1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C C A 种；故()22232134264263136266320327C C C C C C A C A P E ++==. 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=. （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列，∴1151245n n Q -⎛⎫=--+⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【点睛】本题考查排列组合，数列递推关系，二项分布的数学期望等，考查运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于根据题意，分类计数，注意考虑全面，避免重漏，第二问解题的关键在于根据题意得关于n Q 的递推关系()1111124n n n Q Q Q --=-+，进而利用数列知识求解.22．已知函数()()212ln 2f x x m x =-+，m R ∈，若函数()f x 在定义域上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <.(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：()()2112f x f x x x <. 【答案】(1)01m <<(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由()0f x '=转化为2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，列出不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）先得到12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，化简得到211111112()()1(2)ln(2)ln f x f x x x x x x x x -=-+---，构造新函数()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），二次求导后利用单调性和极值证明出不等式.【详解】(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(2)m x x m f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '=，得2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，Δ4400m m =->⎧⎨>⎩，解得01m <<，经验证，符合要求.(2)由（1）可知，1x ，2x （12x x <）是方程2=02x x m -+在(0,)+∞上的两个不等实根，所以12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，其中01m <<，12012x x <<<<. 22222122211111(2)ln (2)ln ()22x m x x x x x f x x x x -+-+== 2222222221(2)(2)ln 12(2)ln 22x x x x x x x x -+-==-+-. 同理，11112()1(2)ln 2f x x x x x =-+. 2122211112()()11(2)ln (2)ln 22f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 122211111111()ln ln 1(2)ln(2)ln 2x x x x x x x x x x x =-+-=-+---.令()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），则[]()1ln(2)ln 1ln (2)g x x x x x '=----=-+-，再令()1ln (2)h x x x =+-，（01x <<），则22'()0(2)x h x x x -=>-在()0,1上恒成立，则 函数()h x 在()0,1上单调递增，()()(1)2ln1120h x h <=-+=-<，从而()0g x '>在区间()0,1上恒成立，于是函数()g x 在()0,1上单调递增，()(1)0g x g <=. 所以2112()()0f x f x x x -<，即2112()()f x f x x x <. 【点睛】利用导函数研究函数单调性是非常重要的，这道题目就是含有多元的不等式证明问题，消去一个未知量，变为一个新函数，通过研究新函数的单调性和极值等性质进行不等式的证明.。

扬州中学高一数学下学期5月月苏教版)含解析(考试卷．学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷 2012-201370分）14一、填空题（共小题，每小题5分，满分）﹣1﹣1）x+（2m1．（5分）m为任意实数时，直线（m ．）（必过定点 9y=m ﹣5，﹣4恒过定点的直线．考点：直线与圆．专：题5y=m﹣2m（﹣1）分对于任意实数m，直线（m﹣1）x+x+2y则将方程转化为（则与m的取值无关，析：恒过定点，的系数和常数项为零即．让m5）=0﹣1）m+（x+y﹣可．x+2y可化为（y=m﹣5x+（2m﹣1）解解：方程（m﹣1）﹣ 1）m+（x+y﹣5答：）=0∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点由，得．故定点坐标是（9，﹣4）．故答案为（9，﹣4）．点本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力评：及直线系的理解．2x+2cosx （≤x≤）的最小值为 y=sin5．2（分）函数﹣2 ．复合三角函数的单调性．考 ：点 计算题；三角函数的图像与性质．专 ：题22，再x+2cosx+1y=﹣cos 分先将y=sinx+2cosx 转化为 析：配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．2x+2cosx 解：∵y=sin 解2x+2cosx+1 ﹣cos 答：= 2 ，）+2=﹣（cosx ﹣1 ，∵≤x ≤，∴﹣1≤cosx ≤，﹣2≤cosx ﹣1≤﹣22≤﹣﹣1）≤（cosx ﹣1）．≤4，﹣4≤﹣（cosx ∴2．1）≤∴﹣2≤2﹣（cosx ﹣2 ．）y=sinx+2cosx （≤x ≤的最小值为﹣2∴函数．故答案为：﹣2本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方点 评：法的应用，属于中档题．＜，第k 项满足5项和3．（5分）已知数列的前n． 8 ＜a8，则k 的值为k等差数列的前n 项和．考 点： 专计算题． 题：﹣=Sn 项和的关系可得 a=项与前分根据数列的第n 1182k510=2n ﹣S ﹣=S ，当8析： n ≥2 a ，由＜﹣10＜1nnn ﹣的值．求得正整数k n 项和，解解：∵数列的前答：﹣8．∴a=S=1﹣9=1122﹣（n﹣1）﹣9=nn ≥2 a=S﹣S﹣9n﹣[（n当1nnn﹣ 10，1）]=2n ﹣，9，解得＜k＜ 58 可得＜2k﹣10＜8由5＜a＜k，故正整数k=8 ．故答案为 8项和的关系，解n本题主要考查数列的第n项与前点评：一元一次不等式，属于基础题．，）x+3y+2m=0（l：m﹣2l4．（5分）设直线：x+my+6=0和21m= ﹣1 时，l∥l．当21考直线的一般式方程与直线的平行关系．点：专直线与圆．题：分由平行的条件可得：，解后注意验证．析：解解：由平行的条件可得：，答：由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l与l重合，不满足题意，舍去，故21m=﹣1．故答案为：﹣1．本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘点去掉重合的情况，属基础题．评：记，a，b5．（分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为5 ．的值为b，c成等比数列，c=2a，则cosB ，c，且a余弦定理．考：点计算题．专：题可得，成等比数列且，cc=2ab，c，且a，b分由a，c=2a，结合余弦定理可求析：b= ，c=2ac成等比数列且，且a，b，，解解：∵a，bc22，=ac=2a答：bc=2a，b== 故答案为：点本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理评：在解三角形中的应用，属于基础试题6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω= ．考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．点：专计算题．题：时确定最大值，就是由题意可知函数在x=分析：ω的值即可．，求出时确定最大值，就是解：由题意可知函数在x=解答：时，ω=；只有k=0Z，所以ω=6k+∈，k满足选项．故答案为：．本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式点评：的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．轴上的截距相等的yx、4A（1，）且在．7（5分）过点条． 2 直线共有考直线的截距式方程．点：专探究型；分类讨论．题：分分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，析：则答案可求．解解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；答：当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故答案为2．点本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的评：数学思想方法，是基础题．k（，xy为自变量的目标函数z=kx+y 8．（5分）已知以B，1，2）＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（取最），若使z，E （2，1（C0，1），（，0），D，0）（k= 1 ．大值时的最优解有无穷多个，则考简单线性规划的应用．点：专图表型．题：分由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优析：解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y答：应与直线 AE平行∵k==﹣1，AE∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆评：用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．，前分）（2005?湖北）设等比数列{a}的公比为q9．（5n﹣的值为成等差数列，则qSn 项和为，若S，S，S n+2nnn+1 2 ．考等差数列的性质；等比数列的性质．点：专压轴题；分类讨论．题：，=S+SS，S成等差数列，可得2S分首先由S，n+2nn+1n+1n+2n，S， S，S析：然后利用等比数列的求和公式分别表示n+2nn+1两种情况讨论，解方程即可．注意分q=1和q≠1，且S，前n项和为的公比为解解：设等比数列{a}q nn答：S ，S，S成等差数列，则2S=S+S，n+2n+1nn+1n+2n若q=1，则S=na，式显然不成立，1n若q≠1，则为，nn+1n+2，+q故2q =q2即q+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类评：讨论．10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为 {，3，﹣6} ．考两条直线的交点坐标．点：专计算题；直线与圆．题：的交点，代入2x﹣y+8=0分首先解出直线x+y+1=0与分别﹣5=05=0求解a的值；然后由ax+3y析：ax+3y ﹣ a的值．和已知直线平行求解解解：由，，得答：，3，2）﹣所以直线x+y+1=0与2xy+8=0的交点为（﹣，5=0，则﹣3a+6﹣，ax+3y﹣5=0过（﹣32）若直线；解得，），过定点（由ax+3y﹣5=00；，a=3﹣5=0与x+y+1=0平行，得ax+3y若．a=平行，得ax+3y若﹣5=0与2x﹣y+8=0﹣6，a组成的集合为{．}所以满足条件的{故答案为}．本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论点评：的数学思想方法，是基础题．*则函数N∈，=1+2+3+…+n，511．（分）设Sn n．的最大值为考等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义．点：专计算题．题：代简将其代入分由题意求出S的表达式，n 析：后求其最值即可．解解：由题意S=1+2+3+…+n=n答：===∴时成立=等号当且仅当≤故答案为项公式以及利用基本不等n点本题考查等差数列的前求解本题的关键是将所得的关系式转化为式求最值，评：利用基本不等式可以利用基本不等式求最值的形式，其特征是看是求最值是最值的一个比较常用的技巧，否具备：一正，二定，三相等．，4）（0）过点A4，：12．（5分）直线lx=my+n （n＞n若可行域的值是的外接圆直径为，则实数 6 ．2或考简单线性规划的应用．点：专不等式的解法及应用．题：分令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B 点，则得可析：行域是三角形 OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0），点答：x直线，4 ），n＞0）经过点A （4∵直线x=my+n（），4，4 ﹣y=0也经过点A（）经过一、二、四象限n＞0∴直线x=my+n （0∴m＜，且∠AOB=60°∴可行域是三角形OAB，∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为由正弦定理可得，=2R=?sin∠60°=8=∴AB=6∴n=2或．6故答案为：2或本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中点的方程， n评：根据已知条件，结合正弦定理，构造关于是解答本题关键．），0ll，若经过点（a3513．（分）过点（1，）作直线 2 条．的个数为则可作出的N*ba，b0和（，）且，∈，l考直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．：点探究型；直线与圆．专：题的斜率，写l，b）求出a，0）和（0分由l经过点（，）可得=1出直线方程的点斜式，代入点（ a，0析：，则答案可求．，b求出满足该式的整数对a+3 ）﹣1的表达式为y=（x解：由题意可得直线L解答： =1，），可得+3=b 变形得因为直线l 经过（a，0，和a=4a=2，b=6因为a，b都属于正整数，所以只有符合要求b=4﹣y=）+3和﹣3（x ﹣1所以直线l只有两条，即y= ．）+3（x ﹣1 ．故答案为2本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率点评：的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．aR ，则，且满足c5分）若a ，b ，∈．14（ ．，5] 的取值范围是[1考函数与方程的综合运用．点：专应用题．题：分根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a 析：的不等式，解之，即可得到 a 的取值范围．2解解：∵a ﹣bc ﹣2a+10=0，2﹣bc=a ∴2a+10答：22∵b+bc+c ﹣12a ﹣15=0．22∴b+bc+c=12a+15．22∵b+bc+c ≥bc+2bc=3bc2∴12a+15≥3（a ﹣2a+10）2∴a ﹣6a+5≤0∴1≤a ≤5∴a 的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]点本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查评：学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及点：其求法；复合三角函数的单调性．专计算题．题：分（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，析：，结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．（1）∵解：解答： =sinxcos=，∴=2f（x）∴T=2π，max）2（∵∴cosαcosβ=0，∵∴点本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的评：应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用．16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B 之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB之间的距离．考解三角形的实际应用．点：专计算题；应用题．题：分先在△ACD中求出∠CAD、∠ADC的值，从而可得到析：AC=CD= ，然后在△BCD中利用正弦定理可求出BC的长度，最后在△ABC中利用余弦定理求出AB的长度即可．解解：在△ACD中，∠ACD=120°，答：∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD= km在△BCD中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°=，=∴BC=∵在△ABC中，由余弦定理得：222×cos75°=3+2+﹣+（）AB﹣=2=5∴AB=km答：A、B之间距离为km．点本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的评：综合运用．解三角形在高考中是必考内容，而且属于较简单的题目，一定要做到满分．17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x 轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；（2）求v=|PA|?|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．考直线和圆的方程的应用．点：专直线与圆．题：分（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代析：数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|?|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．解解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：答：∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b＞0，∴a＞2．==．当且仅当a﹣2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此b=1+时．，即； ∴，此时l ：，）知， ）由（（21，∵∴ ．时等号成立，a=3，即当且仅当 ．此时b=3 ，此时=4∴ux+y=3：l ，即．min点本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式评： 求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．考简单线性规划．点：专应用题．题：分先设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其析：利产值为 z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=600x+400y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，答：其利产值为 z元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=600x+400y，作直线l：3x+2y=0，再作一组平行于l的直线l：003x+2y=z，当直线l经过P点时z=600x+400y取得最大值，…．（9分），解得交点P（ 7.5，35）…．（12分）由所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）点本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等评：式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且2x≤f（x）≤（x+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．考二次函数的性质．点：专函数的性质及应用．题：分（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系析：数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．2+1）对一切实数x）≤（x解解：（1）因为x≤f（x答：恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．2（2）设二次函数f（x）=ax+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f （x ）≥x 对一切实数x 恒成立，2）x+c ≥0，所以必有，﹣1ax+（b 即 0．ac ，，所以c ＞解得a ＞0因为取等号，，当且仅当a=c=所以．）因为3（， 所以．+…+＞+…+ 故不等式＞2成立．点本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩评：法证明不等式，综合性较强．20．（16分）（2011?朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k 项为a（m，k=1，2，3，…，mk n，n≥3），公差为d，并且a，a，a，…，a成等差nn1n3nm2n 数列．（Ⅰ）证明d=pd+pd（3≤m≤n，p，p是m 的多项式），2m11221并求p+p的值；21（Ⅱ）当d=1，d=3时，将数列d分组如下：（d），（d，221m1d，d），（d，d，d，d，d），…（每组数的个数构成等94768534差数列）．设前m 组中所有数之和为（c）（c＞0），求mm数列的前n项和S．n（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S，求使得不等式成立的所有N的值．n考等差数列的性质；数列与不等式的综合．点：专综合题；压轴题．题：分（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利析：用通项公式表示出数列 a，a，a，…，a中的第nn3n1n2n项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d是首项d，公差为d﹣d的等差121n 数列，根据等差数列的通项公式表示出d的通项，m令p=2﹣m，p=m﹣1，得证，求出p+p 即可；2211（Ⅱ）由d=1，d=3，代入d中，确定出d的通项，m12m根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n 项和公式表示出之和，2从而表示出前m 个奇数的和，又前m 组中所有数之4和为（c ）（c ＞0），即可得到c=m ，代入中确mmm定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n 项和S ，记作①，两边乘以2得到另n一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n 项和S n的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d 和S 的通项公式代入已知的nn 不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f （n ），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n ≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N 不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N 从5开始到20的连续的正整数．解解：（Ⅰ）由题意知a=1+（n ﹣1）d ． mmn答：则 a ﹣a=[1+（n ﹣1）d]﹣[1+（n ﹣1）d]=（n ﹣122n1n 1）（d ﹣d ）， 12同理，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ），a ﹣a=（n ﹣1）3n3n322n4n （d ﹣d ），…，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ）． 1nnn ﹣n （4n ﹣31）n 又因为a ，a ，a ，a 成等差数列，所以a ﹣a=a 3n2nnn3n1n1n2n ﹣a=…=a ﹣a ． n ）2nnnn ﹣1（故d ﹣d=d ﹣d=…=d ﹣d ，即d 是公差为d ﹣d 11n322n2﹣n1的等差数列． 所以，d=d+（m ﹣1）（d ﹣d ）=（2﹣m ）d+（m ﹣1）112m1d ． 2令p=2﹣m ，p=m ﹣1，则d=pd+pd ，此时p+p=1．（422111m212分） *（Ⅱ）当d=1，d=3时，d=2m ﹣1（m ∈N ）． m12数列d 分组如下：（d ），（d ，d ，d ），（d ，d ，d ，7m251346d ，d ），． 98按分组规律，第m 组中有2m ﹣1个奇数，2所以第1组到第m 组共有1+3+5+…+（2m ﹣1）=m 个奇数． 2，=k ） 2k 注意到前k 个奇数的和为1+3+5+…+（﹣12224所以前m 个奇数的和为（m ）=m ．444．） 组中所有数之和为m=m ，所以（c 即前m m 因为c ＞0，所以c=m ，从而． mm234n ﹣1所以S=1?2+3?2+5?2+7?2+…+（2n﹣3）?2+（2n nn ﹣1）?2.2S n234nn+1．①?2 2n﹣1（2n﹣3）?2=1?2）+3?2++5?2（+…+234nn+1故2S=2+2?2+2?2+2?2+…+2?2﹣（2n﹣1）?2=2n23n （2+2+2+…+2）﹣2﹣（2n﹣1）n+1n+1?2==（3﹣2n）2﹣6．②n+1 9分）+6．（（2n﹣3）2=②﹣①得：S n*）3（2n﹣∈N），S==2n（Ⅲ）由（Ⅱ）得d﹣1（n nn*n+1．∈N）2+6（n n+1．1）＞50（2n即故不等式，（2n﹣3）2﹣n+12n（﹣1）=2n（2n ﹣3）2﹣50（考虑函数f（n）=n+1．﹣50）﹣100﹣3）（22n）＜0，即（n4，5时，都有f（3当n=1，2，，n+11）．＜50（2n﹣）﹣32 ，050）﹣100=602＞=9而f（6）（128﹣）＞n）单调递增，故有f（n注意到当n≥6时，f （．0n+1）成立，﹣12＞50（2n3时，因此当n≥6（2n﹣）成立．即14（．7，6，，…，20N=5所以，满足条件的所有正整数分）n 点此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列评：的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．。

a ←1 c ←0For a Form 1 To 11 Step 2 c ←2c +3If c>20 Then c ←c -20 End For Print c江苏省扬州中学2008－2009学年第一学期十月份月考高二数学试卷本试卷参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：^1221^^()ni i i n i i x y nx yb x n x a y b x==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪⎪=-⎩∑∑ 样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差s =一、填空题(18590⨯=分)1．下面的问题中必须用条件结构才能实现的是___________． （1）已知三角形三边长，求三角形的面积； （2）求方程ax +b =0(a ，b 为常数)的根； （3）求三个实数a ，b ，c 中的最大者； （4）求1+2+3+ +100的值。

2．某校高中共有900个人，其中高一年级300人，高二年级200人，，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取容量为45的样本，那么高一，高二，高三年级抽取的人数分别为_____________． 3．用秦九韶算法计算函数43()2354f x x x x =++-当2x =时的函数值时，乘法运算进行____次。

4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的点数分别为x 、y ，则1log 1x y +=的概率为_________．5．将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是____________．6．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图．则罚球命中率较高的是____________． 7．向圆224x y +=所围成的区域内随机地丢一粒豆子,则豆子落在直线20y -+=上方的概率是_______．8．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果c 为 ___________．甲 乙 0 1 2 3 98 1 3 4 8 92 3 0 1 1 30 2 4 5 6 7 7（第9题图）9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =____________．10．在一次知识竞赛中，抽取10名选手，成绩分布情况如下：则这组样本的方差为_____________．11．右边程序执行后输出的结果是_________.12．某算法的伪代码如图所示，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的 值是___________.13．若从集合{}1,2,3,4,5的所有子集中任取一个子集，则取出的集合含有至少两个元素的概率是_______________．14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是_________．15．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{}n a ，已知122a a =，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为______________ ．Read xIf x ＜0 Theny←x －2 Elsey←x 2－3x End If Print y （第12题）16．甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人15分钟，过时即可离去，则两人会面的概率是____________．17．设集合{,1},{,1,2},,,{1,2,3,,9}P x Q y P Q x y ==⊆∈ ，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，其落在圆222x y r +=内的概率恰为27，则2r 的一个可能的正整数值是________（只需写出一个即可）． 18．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3， ，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为________．二、解答题（14570⨯=分）。

F EA D BC M N（第10题图）（第9题图）江苏省扬州中学2009～2010学年度第二学期期末考试高 一 数 学 试 卷注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案全部写在答题纸上.审核：李茂生 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．直线210x y -+=在y 轴上的截距为 ★ . 2．在数列{}n a 中，1a =1，14n n a a +-=，则100a 的值为 ★ .3．设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β； （4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β． 上面命题中，所有真命题的序号是 ★ ．4．在ABC ∆中，若三个内角A 、B 、C 成等差数列，且2=b ，则ABC ∆外接圆半径 ★ . 5．若0<a ，则不等式0)4)(1(<--ax x 的解集是 ★ . 6．在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 ★ .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，2c a =，则b a =★ .8．若关于x 的方程0139=+⋅+xxa 有实数解.则实数a 的取值范围为 ★ ． 9. 如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么① AD MN ⊥；② //MN 面CDE ；③ //MN CE ；④ MN 、CE 异面其中正确结论的序号是____★______.10．已知平面区域如图所示，)0(>+=m my x z 在平面区域内取得最大值时的解(,)x y 有无OC A(5,3)B(1,1)yx)4,1(CADABA（第15题图）数多个，则=m ★ .11. 设*123,n S n n N =+++⋅⋅⋅+∈，则1)7()(++=n nS n S n f 的最大值为___★__． 12．正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是11B C 的中点，则四棱锥11P A BCD -的体积为____★______．13．不等式n a n n2)1(5)1(1+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_★_． 14．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113、111、15，则此人作出的三角形的形状为 ★ .二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，10AD =，14AC =，6DC =，求AB 的长.16. （本小题满分14分）已知()f x =21ax bx ++．（1）若()0f x >的解集是(1,2)-，求实数,a b 的值．（2）若{|()0}A x f x =>，且1A -∈，2A ∈，求3a b -的取值范围．17．（本小题满分15分）已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为Sn ，且满足：11743=⋅a a ，2252=+a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式na ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且c n S b nn +=，求非零常数c ．A BA CA A 1B 1C 1H18．（本小题满分15分）如图，斜三棱柱ABC —A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角． （1）求证：AC ⊥面ABC1；（2）求证：C1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上； （3）求此三棱柱体积的最小值．19. （本小题满分16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x （*x N ∈）千件，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，xx x C 1031)(2+=（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=x x x C （万元）.通过市场分析，若每千件售价为50万元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.f(1,1) f(1,2) … f(1,n －1) f(1,n) f(2,1) f(2,2) … f(2,n －1)f(3,1) … f(3,n －2) … f(n,1)20. （本小题满分16分） 一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i 行的第j 个数为f(i,j)． (1)若数表中第i (1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列；(2)已知f(1,j)=4j ，求f(i,1)关于i 的表达式； (3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(ai －1)，bi=1aiai+1，试求一个函数g(x)，使得 Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+b ng(n)＜13 ，且对于任意的m ∈(14 ,13 )，均存在实数，使得当n＞时，都有Sn >m.高一数学期末试卷参考答案 2010.7abO A1.122.3973. （2）（4）4.2335.4{|x x a <或1}x > 6. 22 7.51- 8.2a ≤- 9. ①②③ 10.411.233 12. 83 13.1954a -≤<14.钝角三角形 15. 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +-g =10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC=120°, ∠ADB=60° 在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠,∴AB=310sin 10sin 60256sin sin 4522AD ADB B ⨯∠︒===︒g .16. （Ⅰ）由题意可知：0a <，且21ax bx ++＝0的解为－1,2∴⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0121a a ba <=--= 解得：12a =-，12b = （Ⅱ）由题意可得⎧⎨⎩(1)0(2)0f f ->>，⇒104210a b a b -+>⎧⎨++>⎩画出可行域，由104210a b a b -+=⎧⎨++=⎩得⎧⎪⎨⎪⎩1212a b =-= 作平行直线系3z a b =-可知3z a b =-的取值范围是(2,)-+∞ 17. （1）}{n a 为等差数列，∵225243=+=+a a a a ，又11743=⋅a a ，∴3a ，4a 是方程2221170x x -+=的两个根又公差0>d ，∴43a a <，∴93=a ，134=a∴⎩⎨⎧=+=+1339211d a d a ∴⎩⎨⎧==411d a ∴34-=n a n ,（2）由(1)知，nn n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1,∴c n n n c n S b n n +-=+=22 ∴c b +=111，c b +=262，c b +=3153 ,∵}{n b 是等差数列，∴3122b b b +=，∴022=+c c ,∴21-=c （0=c 舍去） ,再验证成立18. （1）由棱柱性质，可知A1C1//AC ，∵A1C1⊥BC1， ∴AC ⊥BC1，又∵AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABC1（2）由（1）知AC ⊥平面ABC1，又AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC1， 在平面ABC1内，过C1作C1H ⊥AB 于H ，则C1H ⊥平面ABC ，故点C1在平面ABC 上 的射影H 在直线AB 上.（3）连结HC ，由（2）知C1H ⊥平面ABC ， ∴∠C1CH 就是侧棱CC1与底面所成的角，∴∠C1CH=60°，C1H=CH ·tan60°=CH 3 V 棱柱=CH CH H C AC AB H C S ABC 33323212111=⨯⨯⨯=⨯⨯=⋅∆∵CA ⊥AB ，∴CH 2=≥AC ，所以棱柱体积最小值33362=⨯.19. （1）当*,800N x x ∈<<时，21()50102503L x x x x =---21402503x x =-+-当80≥x ，*N x ∈时，（2）当*,800N x x ∈<<时，950)60(31)(2+--=x x L∴当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L ，当80≥x ，*N x ∈时，)10000(12002501450100005150)(xx x x x x L +-=-+--=*),80(*),800()10000(12002504031)(2N x x N x x x x x x x L ∈≥∈<<⎪⎩⎪⎨⎧+--+-=∴,100020012001000021200)10000(1200)(=-=⋅-≤+-=x x x x x L Θ∴当且仅当x x 10000=，即100=x 时，)(x L 取得最大值9501000)100(>=L ．综上所述，当100=x 时)(x L 取得最大值1000，即年产量为100千件时， 该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 20. (1)数表中第1i +行的数依次所组成数列的通项为()1,f i j +，则由题意可得()()()()()1,11,,1,2,(,1)f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,f i j f i j =+-2d=(其中d 为第i 行数所组成的数列的公差) ．(2)()1,4f j j =Q ，∴第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列. 设第i 行的数公差为id ,则12i id d +=，则11112422i i i i d d --+=⨯=⨯=所以()()()(),11,11,221,12i f i f i f i f i =-+-=-+()1222,122i if i -⎡⎤=-++⎣⎦()222,122i f i =-+⨯()()121,112i if i -=⋅⋅⋅=+-⨯()12412i i i -=⨯+-⨯()()121212i i ii i +=+-⨯=+⨯．(3)由()()(),111i f i i a =+-，可得(),11211i i f i a i =+=++所以11i i i b a a +=()()112121i i +=++=111122121i i i +⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 令()2ig i =,则()1112121i i i b g i +=-++,所以 111321nn S +=-+13<要使得n S m>，即111321n m +->+，只要111213n m +<-+=133m -， 11,34m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，10134m ∴<-<，所以只要132113n m ++>-, 即只要23log 1113n m ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭,所以可以令23log 1113m λ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭则当n λ>时，都有n S m>．所以适合题设的一个函数为()2xg x =．。

江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.已知集合A＝，B＝{2，3，4，5}，则A B＝_______．【答案】【解析】【分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案．【详解】由题意得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．2.若复数z满足（i是虚数单位），则＝_______．【答案】1-i【解析】【分析】根据题意求出复数z，然后可求出．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】解答本题的关键是求出复数的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．3.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为﹣1时，则输入的x的值为_______．【答案】 1【解析】【分析】根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可．【详解】由题意得，当时，有，此方程无解；当时，有，解得．故答案为：1．【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属于基础题．4.已知一组数据，，…，的方差为3，若数据，，…，(a，b R)的方差为12，则a的值为_______．【答案】【解析】由题意知，，解得.5.在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_______．【答案】【解析】【分析】解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．【详解】由得，解得．根据几何概型概率公式可得，所求概率为．故答案为：【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于基础题．6.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】设圆锥底面半径，则母线长，高，则，求出，，该圆锥的表面积为，由此能求出结果．【详解】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径，则母线长，高，，解得，，，该圆锥的表面积为．【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.函数(A＞0，＞0，＜)的部分图象如图所示，则＝_______．。

江苏省扬州中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞D ．(),1-∞2．已知向量(1,2)=-a ，(,4)b m =，且//a b ，那么a b -等于（ ） A ．(4，0)B ．(0，4)C ．(3，－6)D ．(－3，6)3．已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A BCD 4．已知a ，b 满足：3a =，2b =，4a b +=，则a b -=（ ）AB C D 5．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅的最小值是（ ）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-7．若ABC 的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．[]2,6-B ．[]2,6C ．[]22-,D ．[]2,48．已知函数()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则实数a的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．()51,0,24⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭D ．()51,0,24⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭二、多选题 9．（多选）下列结论中错误的是（ ） A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a +=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=10．如果定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”.下列函数为“H函数”的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()33f x x x =-D ．()f x x x =11．已知函数f(x )＝cos(ωx －6π)＋sin ωx (0<ω<10)，且f (x )过点(6π则下列说法正确的是（ ） A ．f (x )关于直线x ＝12π对称 B ．f (x)在(π，32π)上单调递减 C ．f (x )的最小正周期为π D ．为了得到g (x )x 的图象，只需把y ＝f (x )的图象向右平移12π个单位长度12．一般的，,a b 的夹角可记为,a b ，已知同一个平面上的单位向量,,a b c 满足,,,a b b c c a π++=，则a b c +-的取值可以是（ ）.A1 B ．1C ．2D 1三、填空题 13．已知12,e e 是夹角为23π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+.若0a b ⋅=，则实数k 的值为________．14．已知函数()()2ln 23f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为______.15．设经过△AOB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于P ，Q 两点.若OP mOA =，OQ nOB =，m ，n +∈R ，则3m n +的最小值________________.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．四、解答题 17．（1）已知角α的终边经过点()3,4P -，求sin cos 11tan ααα--+的值；（2）已知sin αβ==，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos(αβ+)的值. 18．已知向量()sin cos a θθ=,与()3,1b =，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)若a b ∥，求sin θ和cos θ的值； (2)若()f a b θ=⋅，求()f θ的值域.19．如图所示，ABC 中，AB a =，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示AE ；(2)用向量a ，b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.21．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0与前方反应时间t 1,系统反应时间t 2、制动时间3t ，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3如图所示.当车速v （米/秒），且0≤v ≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k ≤0.9)(1)请写出报警距离d （（米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式,并求当k =2时，若汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k =1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?22．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，(){}|B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦，那么，（1）求函数()38g x x =-的“稳定点”； （2）求证：A B ⊆；（3）若()()21,f x ax a x R =-∈，且A B φ=≠，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，列出参数a 的不等关系式，即可求得参数的取值范围. 【详解】△集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，△1a ≤. 故选：C ． 2．C 【解析】 【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】解析 △//a b ，△λa b 则1,24,m λλ=⎧⎨-=⎩得1,22,m λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ △(2,4)b =-，△a b -＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6). 故选：C 3．D 【解析】 【分析】利用平方关系π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭α，再根据cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦结合两角和的余弦公式即可得解. 【详解】解：因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π,663ππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以11cos cos 6632ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：D. 4．D 【解析】 【分析】先对4a b +=两边平方化简求出2a b ⋅的值，从而可求出222a b a a b b -=-⋅+的值 【详解】解：因为3a =，2b =，4a b +=，，所以222216a b a a b b +=+⋅+=，92416a b +⋅+=，得23a b ⋅= ，所以22293a b a a b b -=-⋅+=-= 故选：D 5．D 【解析】 【分析】由题设可得01a <<且函数y 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，结合对数复合函数的单调性，应用排除法确定函数图象. 【详解】由题设，01a <<且||10x ->，即函数y 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，排除A 、B ； 当(,1)x ∈-∞-时，||11t x x =-=--单调递减，当(1,)x ∈+∞时，||11t x x =-=-单调递增，而log a y t =在定义域上递减，所以(,1)x ∈-∞-时y 递增；(1,)x ∈+∞时y 递减；排除C. 故选：D 6．A 【解析】 【分析】建立如图所示坐标系设(,)P x y ，根据数量积坐标公式即可求解最值． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--，故()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅取得最小值58-．故选：A ．7．A 【解析】 【分析】设ABC 的外接圆圆心为O ，由题设可知AOB 为正三角形，则,120AB BO =，()24cos ,AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC AB OC ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=+，由0,AB OC π≤≤，知1cos ,1AB OC -≤≤，计算可求解.【详解】如图设ABC 的外接圆圆心为O ，ABC 的边2AB =，ABC 的外接圆半径为2， AOB ∴为正三角形，且,120AB BO =，则()AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC ⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅2222cos ,22cos ,AB BO AB OC =+⨯+⨯1444cos ,2AB OC ⎛⎫=+⨯-+ ⎪⎝⎭24cos ,AB OC =+0,AB OC π≤≤，1cos ,1AB OC ∴-≤≤，26AB AC ∴-≤⋅≤故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的AC 通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将AB AC ⋅的最小值转化为AB OC ⋅的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力. 8．D 【解析】利用基本不等式计算得出(][)11,31,x x+-∈-∞-+∞，由题意可知，关于t 的方程()f t a=有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，然后作出函数()y f t =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围. 【详解】()2132132111x x x x x -++==+---，()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩， 设11t x x=+-. 当0x >时，由基本不等式可得1111t x x =+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 当0x <时，由基本不等式可得()111113t x x x x ⎡⎤=+-=--+-≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立. 所以，(][)11,31,t x x=+-∈-∞-+∞. 当3t时，()()21321213221111t t t f t t t t t -+++====+<----. 作出函数11t x x=+-的图象如下图所示：由于方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则关于t 的方程()f t a =有两个实根1t 、2t ，设12t t ≤.若13t =-，则54a =，此时关于t 的方程()f t a =的另一实根23t >， 直线1=t t 与函数11t x x=+-的图象只有一个交点， 直线2=t t 与函数11t x x=+-的 图象有两个交点， 此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；若11t =，则0a =，则关于t 的方程()f t a =的另一实根23t =， 直线1=t t 与函数11t x x=+-的图象有且只有一个交点， 直线2=t t 与函数11t x x=+-的 图象有两个交点， 此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；所以，关于t 的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，由图象可知，10a -<<或524a <<. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数与外层函数； （2）确定外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）然后确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，最后得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.9．BD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可. 【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误； 任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误； 故选：BD 10．BD【分析】对新定义进行变形得出函数为增函数，然后根据新定义检验各选项可得． 【详解】根据题意，对于任意的不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数.对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由指数函数性质可得f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，(()00f f f ===，()f x 在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝22,0,,0,x x x x ⎧≥⎨-<⎩为奇函数且在R 上为增函数，符合题意，故选：BD. 11．CD 【解析】 【分析】先化简函数解析式，代入点的坐标求得参数2ω=，写出解析式，根据三角函数解析式判断函数的对称轴，单调区间，最小正周期及图像平移后的解析式问题. 【详解】由题知，13()sin sin sin 22f x x x x x x ωωωωω=++=+)6x πω+，010ω<<，则()sin()666f πππω=+=解得2ω=，即())6f x x π=+对于A ，3())12662f πππ+=，即直线112x π=不是函数的对称轴，故A 错误；对于B ，3(,)2x ππ∈时，13192(,)666x πππ+∈，由正弦函数单调性知，函数没有单调性，故对于C ，函数最小正周期为π，故C 正确；对于D ，函数()f x 图像向右平移12π个单位得到，)]2126y x x ππ=-+=，故D 正确； 故选：CD 12．ABC 【解析】 【分析】结合题意，讨论满足,,,a b b c c a π++=的情况，分别研究a b c +-即可 【详解】由题意可知，当a b ⊥且c 在,a b 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 如图所示，不妨令,,OA a OB b CO c ===，则易知a b OD +=，a b c OD OC CD +-=-=，结合图象可知当C 点在OD 上时，min 1CD ， 当点C 与点A 或点B 重合时，max 1CD =，11a b c ≤+-≤；当a c ⊥且b 在,a c 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 如图所示，不妨令,,OA a OB b CO c ===，过点O 作//OD AC ，且OD AC =，连接DC ，则易知ODCA 为平行四边形，又易知a c OA OC CA DO -=-==，则a b c a c b DO OB DB +-=-+=+=， 结合图象可知当B 点与C 点时，min 1BD =，当B 点与A 点重合时，max BD =， 此时15a b c ≤+-≤；当b c ⊥且a 在,b c 之间时，满足,,,a b b c c a π++=， 同理当a c ⊥且b 在,a c 之间时，有15a b c ≤+-≤；15a b c ≤+-≤ 故选：ABC 13．54【解析】 【分析】由122a e e =-，12b ke e =+带入0a b ⋅=，整理即可得解. 【详解】由0a b ⋅=得1212(2)()0e e ke e -⋅+= ， 整理，得k －2＋(1－2k )2cos 3π＝0， 可得5202k -=， 所以54k =， 故答案为：54.14．(]1,1-##（-1，1） 【解析】【分析】先求定义域为()1,3-，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得. 【详解】因为2230x x -++>，解得：13x ，所以()()2ln 23f x x x =-++的定义域为()1,3-.令()222314t x x x =-++=--+，则ln y t =. 要求()f x 的单调增区间，只需1x ≤.所以11x -<≤，所以()f x 的单调增区间为(]1,1-. 故答案为：(]1,1-. 15【解析】应用向量减法在几何中的应用有PG OG OP =-，PQ OQ OP =-，结合三点共线知PQ PG λ=，即可得113m n+=，结合基本不等式求3m n +的最小值即可 【详解】设OA a =，OB b =，又G 为△AOB 的重心△在△AOB 中，211()()323OG OA OB a b =⨯+=+△OP mOA =，OQ nOB =，有OP ma =，OQ nb =△11()33PG OG OP m a b =-=-+，PQ OQ OP nb ma =-=-又P ，Q ，G 三点共线，知存在实数λ，使得PQ PG λ= 1313m m nλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得113m n +=，m ，n +∈R△1111313(3)()(4)(4333n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当3m n n m =时等号成立【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值16【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒ 由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.17．（1）65-；（2）2-【解析】 【分析】(1)根据三角函数的定义可得sin cos αα、tan α、，代入直接计算即可； (2)根据同角三角函数的基本关系求出cos sin αβ、，利用两角和的余弦公式计算即可. 【详解】(1)因为角α的终边经过点(3,4)P -，||5OP γ==， 所以43sin cos 55αα==-，，4tan 3α=-， 所以43()1sin cos 165541tan 51()3ααα-----==-++-； （2）因(0,)2βπα∈、，且sin cos αβ==则cos sin αβ==，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-== 18．(1)sin θ=1cos 2θ=.(2)(]1,2 【解析】 【分析】(1)由已知可得tan θ，再用同角三角函数的关系即可.(2)根据向量数量积法则可得()f θ，再由正弦型三角函数性质得解. (1)因为a b ∥，所以sin 10θθ⋅=，则tan θ=又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，所以sin θ=1cos 2θ=.(2)()π3sin cos 2sin 6f a b θθθθ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭.因为π02θ<<，则ππ2π663θ<+<， 所以1πsin 126θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则π12sin 26θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f θ的值域为(]1,2. 19．(1)1384AE a b =+(2)1677AF a b =+，7，6 【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=-，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案； （2）设BF tBC =，得 ()1AF tb t a =+-，设AF AE λ=，可得1384AE a b =+，即384AF a b λλ=+，由a ，b 不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)根据题意因为：4DC EC =，所以()4AC AD AC AE -=-， 所以3144AE AC AD =+， D 为AB 的中点，AB a =，AC b =，所以12AD a =，1384AE a b =+.(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF tBC =，所以()1AF t AB t AC =-+， 即()1AF tb t a =+-，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+，即384AF a b λλ=+，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以87λ=，67t =，所以87AF AE =，67BF BC =， 则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.20．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【解析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】（1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin 3f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件；当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去，所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点， ∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.21．(1)()22020v d v v k=++21秒(2)710米/秒以下 【解析】 【分析】（1）由题意直接可得函数关系，再由基本不等式可得最短时间； （2）依题意解不等式即可. (1)由题意知，20123()200.80.220v d v d d d d v v k =+++=+++ 即2()2020v d v v k=++当2k =时，2()2040v d v v =++，20()11140v t v v =++≥=1 (2)当1k =时，()50d v <，即2205020v v ++<即2206000v v +-<，1010v --<-+故010v <<-+所以，汽车的行驶速度应限制在10米/秒以下. 22．（1）“稳定点”为4x =；（2）见解析；（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数()38g x x =-的“稳定点”只需求方程()g g x x ⎡⎤=⎣⎦中x 的值，即为“稳定点”若x A ∈，有()f x x =这是不动点的定义，此时得出()()f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，A B ⇒⊆，如果A φ=，则直接满足.先求出A φ≠即()f x 存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论. 【详解】（1）由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦有()3388x x --=，得：3x =，所以函数()38g x x =-的“稳定点”为4x =；（2）证明：若A φ=，则A B ⊆，显然成立；若A φ≠，设t A ∈，有()f t t =，则有()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦， 所以t B ∈，故A B ⊆（3）因为A φ≠，所以方程21ax x -=有实根，即210ax x --=有实根，答案第16页，共16页 所以0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+≥⎩，解得14a ≥-又由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦得：()2211a ax x --=即()3422210*a x a x x a --+-=由（1）知A B ⊆，故方程()*左边含有因式21ax x --所以()()222110ax x a x ax a --+-+=，又A B =，所以方程2210a x ax a +-+=要么无实根，要么根是方程210ax x --=的解，当方程2210a x ax a +-+=无实根时，0a =或()220410a a a a ≠⎧⎨∆=--+<⎩，即34a <， 当方程2210a x ax a +-+=有实根时，则方程2210a x ax a +-+=的根是方程210ax x --=的解，则有22a x ax a =+，代入方程2210a x ax a +-+=得210ax +=，故12x a=-， 将12x a =-代入方程210ax x --=，得111042a a +-=，所以34a =. 综上：a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求()f x x =；求稳定点，就去求()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，完全根据定义去处理问题. 需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.。