多边形内角和与外角和(基础)知识讲解.doc

专题7.18 多边形的内角和与外角和（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】多边形及其相关概念1．多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形，如三角形，四边形，五边形，·····，三角形是最简单的多边形．2．多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．特别提醒：1．多边形的边数、顶点数及角的个数相等；2．把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线．【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等．【知识点三】凸多边形与凹多边形多边形分为凸多边形和凹多边形．如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形．【考点目录】．．．【变式2】（2024上北京朝阳·八年级统考期末）．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为︒的凸多边形纸片，则n的值为【变式1】（2023上·广西南宁5．五边形的外角和为（A．180︒【变式2】（2024上·广东汕头6．如图是由射线AB【考点3】正多边形内角和问题；【例3】（2023上·河南商丘7．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为接一圈后，中间会形成一个正多边形．(1)求1∠的度数；(2)求2∠的度数；(3)求n的值．【变式1】（2023·全国·八年级课堂例题）8．如图所示，在正五边形ABCDEA．26︒【变式2】（2023下·全国9．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠+∠+∠=123【考点4】正多边形外角和问题；【例4】（2023上10．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的(1)它是几边形？A．6【变式2】（202412．若一个正n边形的每个内角为【考点5】多边形外角和实际应用；【例5】（2023上13．亮亮从点M(1)亮亮______（填“能”或“不能(2)亮亮走过的路线围成了______(3)求（2）中图形的周长．【变式1】（2023上·河南许昌A．65︒B．70︒【变式2】（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）15．一个多边形的每一个外角都等于①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，综上所述，原多边形的边数为5或6或7，故答案为：5或6或7．4．180︒【分析】根据多边形的外角和进行解答即可．【详解】解：∵六边形的外角和为360︒，∠+∠+∠+∠+︒+︒=︒，∴12349090360∠+∠+∠+∠=︒．∴1234180【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为360︒．5．B【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和均为360︒即可得出答案．【详解】解：五边形的外角和为360︒，故选：B．6．190【分析】本题考查多边形的外角和，结合已知条件，利用多边形的外角和列式计算即可．【详解】解：由图形可得123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，，∠+∠+∠=︒135170∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，246360170190故答案为：190．∠=︒7．(1)1108∠=︒(2)2120n=(3)6【分析】本题考查了正多边形的内角．（1）根据正五边形的内角和公式即可求解；（2）由（1）知正五边形内角为108︒，利用周角为360︒即可求解；（3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为120︒，根据内角和定理求解即可．a b⊥，90ABC∴∠=︒，∴正多边形的一个外角为∴360845n︒==︒，故选：C．60230︒÷=︒，正五边形的每一个内角()521805108=-︒÷=︒ ，∴图3中的五角星的五个锐角均为：1086048︒-︒=︒．故答案为：48︒．。

《多边形内角和与外角和》说课稿一、说教材：（一）教材的地位与作用本节课的教学内容是“多边形的内角和与外角和”的第2课时“多边形的外角和”，这节课是学生在前阶段学完了“三角形的内角和与外角和”、“多边形的内角和”的基础上进行的拓展与延伸。

起着承上启下的作用，为进一步理解正多边形的镶嵌做铺垫。

本节课由特殊到一般探索多边形的外角和，并运用多边形的外角和解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。

在学习中，注重了知识的形成过程，以及自主学习、合作探究的培养。

（二）教学目标和重点、难点根据新课标要求，数学的教学不仅要传授知识，更要注重学生在学习中所表现出来的情感态度，帮助学生认识自我、建立信心。

根据本节课的内容和学生特点，制定了如下教学目标。

教学目标：（1）使学生了解多边形的外角和的概念，掌握多边形的外角和公式。

（2）通过探索多边形的外角和，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能解决问题。

（3）通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，培养良好的数学思维习惯。

重点：多边形的外角和公式及其应用。

难点：多边形的外角和公式的推导。

二、说教法：针对七年级学生的年龄特点和心理特征，以及他们现有的知识水平，通过自主探究“多边形外角和”的经过启迪学生思维，通过学生合作解决问题促进学生共同进步，又通过图片展示，使学生认识到由特殊道一般的客观规律，并用肯定的言语鼓励学生，帮助学生树立学习的信心。

四、说教学过程1、创设情境，引入新课从三国时的一个典故引入，并让学生自己动手操作来激发学生学习新知的热情，将学生的注意力牢牢吸引至课堂展开教学。

整节课以学生为主教师为辅，使学生成为课堂的主宰者。

2、巩固练习：知识要学以致用。

使学生在课后进一步巩固所学知识。

3、课堂小结号召学生自己总结本节课所学知识,相互补充，以进一步巩固所学知识。

通过小结和反思，激发学生主动参与意识，为每个学生创造在数学活动中获得活动经验的机会．。

多边形内角和与外角和（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．（优质试题•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27 B．35 C．40 D．44【答案】B．【解析】解：当n=10时，==35，即凸十边形的对角线有35条．【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。

根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。

一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。

对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。

根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。

即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。

对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。

根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。

即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。

同样地，我们可以推广到多边形的情况。

对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。

多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。

二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。

相邻边是指连接同一个顶点的两条边。

对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。

对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。

可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。

三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。

对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。

由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。

《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

如果一个多边形有 n 条边，就叫做 n 边形。

例如，三角形是最简单的多边形，有三条边；四边形有四条边；五边形有五条边，以此类推。

二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°，这是一个非常基础且重要的结论。

我们可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以得到一个平角，即 180°。

2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。

3、 n 边形的内角和对于 n 边形，我们可以从一个顶点出发，连接与它不相邻的顶点，将 n 边形分成（n 2) 个三角形。

所以 n 边形的内角和为（n 2)×180°。

例如，五边形可以分成 3 个三角形，内角和为（5 2)×180°＝ 540°；六边形可以分成 4 个三角形，内角和为（6 2)×180°＝ 720°。

三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。

2、外角和的性质多边形的外角和恒为 360°，与边数无关。

我们可以通过以下方法来理解：对于任何一个多边形，它的内角和与外角和相加等于 n×180°（其中 n 为边数）。

因为内角和为（n2)×180°，所以外角和＝ n×180°（n 2)×180°＝ 360°。

四、内角和与外角和的应用1、求边数如果已知多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2)×180°来求出边数 n。

例如，一个多边形的内角和为 1080°，则（n 2)×180°＝ 1080°，解得 n ＝ 8，即这个多边形是八边形。