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变力做功问题归类例析山东省高密市第一中学 孙洲元功是高中物理学中重要的概念，它体现了力对物体的作用在空间上的积累过程，是学生形成能量观念的重要基础概念。
因为求功的公式cos W Fl θ=在计算功时要求力F 是恒量，在做功的过程中，F 的大小、方向都不能有变化，如果力F 是变力，则不能直接用公式cos W Fl θ=求功。
在实际解题时经常遇到求解变力做功的问题，下面介绍几种求变力做的常用方法。
一、利用平均力求变力的功当遇到力的方向不发生改变，而力的大小随位移发生线性变化类的问题时，可以先计算出力的平均值，之后再把平均值当作整个过程的恒力，再运用cos W Fl θ=求解．例题1：如图所示，光滑的水平面上，轻质弹簧一端与竖直墙连接，另一端固定一个质量为m 的小物体，弹簧劲度系数为k ，系统处于静止状态。
现在用水平力F 缓慢拉动物体，使物体沿水平向右运动了位移s 。
已知弹簧在弹性限度内，求此过程中水平拉力F 对物体所做的功。
分析与解：缓缓拉动物体前进，可认为物体处于动态平衡状态，则拉力F 的大小等于弹簧弹力kx(x 为弹簧伸长量、大小等于物体的运动位移s)，即F=kx ，显然弹力为变力。
同时注意到F 与x 成正比，开始压缩时弹力为零，位移为s 时弹力为ks 。
弹力的平均值为02ksF +=，因为拉力做的功与弹力做的功相等，所以拉力F 的功为20122ks W s ks +=⋅=。
答案：212W ks =例题2：如图所示，长为L 的铁链放在水平桌面上，桌面的高度也为L ，当铁链有L/4处在桌面外面时，铁链恰好可以由静止开始下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计链条与桌子边角上的摩擦，求铁链A 端落地时的速度为多大？分析与解：设当链条B 端刚到达地面时链条的速度为v ，此过程中有重力做功和摩擦力做功，重力做功是指落到桌面外的链条的重力做的功，这个重力是变化的，开始时大小为4mg，当链条落地时重力的大小为mg ，平均力为58mg 。
有关变力做功问题的求解在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。
而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。
1，运用等值法求变力做功求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。
此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。
这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。
例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。
T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。
解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)2，运用微元法求解变力做功当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角或者说力的方向与速度方向的夹角不变，且力与速度的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
常见的变力做功情况及求解方法作者：郭磊来源：《中小学实验与装备》 2015年第6期山东省淄博市周村区实验中学(２５５３００) 郭磊在高中物理教材中,应用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式为:W ＝FScosα.如果力的大小是变化的,那么公式中的F 就无法取值;如果力的方向是变化的,公式中的角α 就无法取值,因而此公式只适用于恒力做功问题.而对于变力做功情况在高中物理中又经常出现,学生在解决这一方面问题时往往无从下手.那么如何使这一复杂问题简单化,变成应用高中物理知识就可以解决的问题呢? 下面通过实例分析介绍总结几种解决变力做功的常用方法.１微元法思想当物体在变力作用下做曲线运动时,可用微元法将曲线分成无限个微小段,每一小段可认为恒力做功,总功即为各个小段做功的代数和.如图１所示,有一台小型石磨,某人用大小恒为F ,方向始终与磨杆垂直的力推磨.假设施力点到固定转轴的距离为L ,在使磨转动一周的过程中,推力做了多少功?解析:由于力F 方向不断变化,因此是一个变力做功问题,如果将运动轨迹分成无限个微小段ΔS１,ΔS２,ΔS３???? ,每一小段曲线近似看为直线,力F 的方向也近似与这一小段的轨迹重合,则每一小段均可看作恒力做功过程.３动能定理法动能定理求变力做功是非常方便的,但是必须知道初、末两个状态的物体的速度,以及在中间过程中分别有哪些力对物体做功,各做了多少功.如图３所示,把一个质量为m 的小球系在轻绳的一端,轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔,且受到竖直向下的拉力作用.当拉力大小为F１时,小球在光滑木板平面上做半径为R１的匀速圆周运动;今将拉力逐渐增大为F２时,小球仍在光滑木板平面上做匀速圆周运动,但运动半径变为R２.求在此过程中拉力对小球做了多少功?６结语物理思维方法是物理知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.以上所举的４个例题,都是求变力做功比较常见的题型.在什么情况下用什么方法来处理,都需要探究和总结.在教学中,我们应注重物理思维和物理方法的教育,使学生学会学习、学会应用,学会创新,这样才能“活化”和“深化”物理知识,才能开拓思维空间,进一步提高思维能力和解题能力.收稿日期:２０１５－１０－１４。
变力做功问题的解法高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式。
如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中角就无法取值。
因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解作如下阐述。
一、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
例1如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作点的轨迹分成无限多小段，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。
运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功：．则转动一周过程中推力做的功：。
二、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。
例2如图2所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
解析：弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平均值为：用力的平均值乘以位移即得到变力的功：。
三、动能定理法动能定理求变力的功是非常方便的，但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有那些力对物体做功，各做了多少功。
例3如图3所示，质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的倍，它与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？解析：由题意知物块即将滑动时受到的摩擦力为，设此时物块运动的速度为，则有，于是有。
变力做功问题的求解方法1. 变力的概念嘿，大家好，今天咱们聊聊“变力做功”这个话题，听起来是不是有点高大上？其实它跟我们日常生活的联系可大了去了。
先来简单定义一下，变力就是力的大小或方向随时间而变化的力。
比如说，当你用力推一辆车子，刚开始可能得使出吃奶的劲，但当车子动起来了，你的力量就可以稍微放松点。
想象一下，如果你在推车的过程中，车子因为摩擦或者地势的变化而受到不同的力影响，这时候的力就是变力啦。
1.1 变力的例子再来，咱们举几个生活中的例子吧。
比如说，弹簧。
你把一根弹簧拉长，弹簧的拉力是不断变化的，越拉越长，力越大。
还有啊，骑自行车的时候，坡度越陡，你得使出的劲儿就越大，这也是变力的一个表现。
看到这里，是不是觉得变力其实离我们并不远呢？1.2 变力的特性那么，变力的特性是什么呢？其实，变力通常是个曲线的变化，而不是简单的直线。
所以，处理起来就需要我们更聪明一些，不能用简单的公式了事。
咱们需要对这些变化进行分析，找出一个最优的方法来计算做功。
说白了，变力的路子可不是那么好走的，但只要用心，总能找到办法！2. 变力做功的计算方法好了，咱们进入重点——变力做功的计算方法。
首先，要搞清楚的是，做功这个概念，简单来说，就是力作用在物体上，并使其移动的过程。
要计算变力做功，我们得用到积分的概念。
听起来有点复杂，但其实就是把力在不同位置的大小结合起来，最终得到一个总的“功”。
2.1 积分的运用这里咱们可以这样想象：把一条路分成很多小段，每一段上的力都是不同的，计算每一小段的功，最后加起来就好了。
就像你去超市买东西，最后结账的时候，把每一件的价格加起来就行了。
哎，这样说是不是更简单明了？2.2 常用公式当然，在这个过程中，还有一些常用的公式和技巧。
比如，假设力是一个关于位置的函数，可以写成 (F(x))。
那么，功的计算公式就变成了： (W = int F(x)dx)。
你看，这个公式也不复杂吧？只要你明白变力的变化规律，代入进去就行了！3. 实际应用与案例最后，咱们来聊聊这个知识的实际应用。
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ）A ．0B ．021x F m C ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．图2Fx 0FxF•Ox 0图2－甲图2乙三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是： A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KB D ．E KC <2E KB【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
