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清华机械工程控制基础课件2Routh判据

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三稳定性时域判据—Routh判据

三稳定性时域判据—Routh判据

系统不稳定,系统包含一个具有正实部的特征根!
举例1 Consider the stability of a system having the characteristic equation of
s 41.5s 517 s 2.3 10 0
3 2 4
The complete Routh array is 3 1 517 s 4 2 41 . 5 2 . 3 10 s 1 38 . 5 0 s 4 0 0 s 2 . 3 10
4 2
举例4(续）
s 1 8 20 16 Differentiate the 5 2 12 16 0 s polynomial with s 4 2 12 16 0 respect to s and 3 8 24 0 s obtain s 2 6 16 0 3 d Pa ( s ) d s 8 s 24 s s 1 8 / 3 0 0 16 s Use the coefficients of the equation to replace All elements in the the row of zeros. Thus 1st column are the entire Routh array positive, hence the becomes: system is stable.
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
s s3 s2 s1 s0
4
1 1 1 ( 19 ) 1 11 30 1 ( 30 ) 11 1 30 12 30 30
19 11 30 0 0
30 0 0 （改变符号一次） 0 （改变符号一次） 0

第五章劳斯判据PPT课件

第五章劳斯判据PPT课件

方程解为：
s1,20.821 8.4527s32-j1.8423 s4,5-0.9. 07 13 .3690j
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；
l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 dP ( s ) 的系数代替零行，继续 ds 劳斯行列式的计算；
s4 1 3 5
s3 2 4 0
s2 1 5 0 s1 6 0 0 s0 5 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s 1 ,2 1 .2 0 9 .8j,7 s 3 ,4 2 .9 1 .4j2
.
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的 计算；
不
实 部
明 系
符 号
列 式
稳的统变第
定
根 ，
有 一
化 一
一 列
s 0 50
。系个次系
，
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s)2s44s8250 (s22)5s(21)0
s 1 , s 5j
原 ( s 方 1 ) s ( 1 ) s ( 程 j 5 ) s ( j 5 ) s ( 2 )
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
➢ 系统（运动）稳定性概念 (Stability)
❖ 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
➢ 静态误差计算 (Static Error)
❖ 有关定义和计算
➢ 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
❖ 各类性能指标定义和二阶系统运动分析

《机械控制工程基础》-5系统的稳定性

《机械控制工程基础》-5系统的稳定性

控制工程基础
例5-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
K G( s) s( s 1)( s 2)
试确定K值的闭环稳定范围。 解：其单位反馈系统的闭环传递函数为
Y ( s) G( s) K 3 X ( s) 1 G ( s) s 3s 2 2s K
特征方程式为 劳斯阵列为
控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件
1+G(s)H(s)=0为闭环传递函数的特征方程式。 一般情况下，系统的闭环传递函数为
Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 ...... b1s b.0 (s) X ( s ) an s n an 1s n 1 ...... a1s a0 K (s Zi )
控制工程基础


5. 系统的稳定性
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 系统稳定的条件 稳定性的代数判据 稳定性的几何判据 系统的相对稳定性 根轨迹简介
一、基本要求 （1）了解系统稳定性的定义；系统稳定的条件。 （2）掌握Routh-Hurwitz判据的必要条件和充要 条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对 于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征 根的个数。 （3）掌握Nyquist判据。 （4）理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度 和幅值裕度。
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) j 1 k 1 q r m
（5-2）
闭环系统的特征方程为
2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) 0 j 1 k 1 q r
控制工程基础 5.1.2 系统稳定的条件
1 0

第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案

第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案

Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。

重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。

本章难点Nyquist 判据及其应用。

§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。

（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。

与输入量种类、性质无关。

②系统不稳定必伴有反馈作用。

（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。

将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。

即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。

2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。

机械工程控制理论基础PPT课件

机械工程控制理论基础PPT课件
• 第一节 稳定性概念 • 第二节 劳斯判据 • 第三节 乃奎斯特判据 • 第四节 对数坐标图的稳定性判据
8
第八章 控制系统的偏差 • 第一节 控制系统的偏差概念 • 第二节 输入引起的定态偏差 • 第三节 输入引起的动态偏差
9
第九章 控制系统的设计和校正
• 第一节 综述 • 第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制 • 第三节 校正方法与校正环节 • 第四节 控制系统的增益调整 • 第五节 控制系统的串联校正 • 第六节 控制系统的局部反馈校正 • 第七节 控制系统的顺馈校正
反馈环节
图6-2
22
开环系统 优点：结构简单、稳定性能好； 缺点：不能纠偏，精度低。 闭环系统：与上相反。
23
第三节 典型控制信号
输入信号是多种多样的，为了对各种控制 系统的性能进行统一的评价，通常选定几种 外作用形式作为典型外作用信号，并提出统 一的性能指标，作为评价标准。
1．阶跃信号 x(t)=0 t＜0 x(t)=A t≥0
机械工程控制理论基础
张 克 仁 教授
1
目录
第一章 自动控制系统的基本原理
• 第一节 控制系统的工作原理和基本要求 • 第二节 控制系统的基本类型 • 第三节 典型控制信号 • 第四节 控制理论的内容和方法
2
第二章 控制系统的数学模型
• 第一节 机械系统的数学模型 • 第二节 液压系统的数学模型 • 第三节 电气系统的数学模型 • 第四节 线性控制系统的卷积关系式
24
X i(t)
A
0
t
图7
当A=1时，称为单位阶跃信号，写为1(t)。
阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例 如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡 过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用，相应的过 渡过程称为阶跃响应。

机械工程控制基础chap5-1

机械工程控制基础chap5-1
n n si t si t lim ∑A i e + ∑A i e → A e± jωt k 1 2 t→ ∞ i =1 i=1
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定 自由响应等幅振动， 4) 若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s] 位于[s]平面的原点），其余极点位于[s] [s]平面的原点），其余极点位于 平面的左半平面
n−1 2 an−1an−2 − anan−3 B = 1 n−3 1 A= 1 A 1 an−1 1 3 an−1an−4 − anan−5 B = A an−5 − an−1 A A = 2 2 A an−1 1 a a − anan−7 Aa −a A A = n−1 n−6 B3 = 1 n−7 n−1 4 3 an−1 A 1
稳定判据
College of mechanical & electronic engineering
第五章 系统的稳定性
Routh（劳斯） Routh（劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布） 代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
n n si t si t lim ∑A i e + ∑A i e →0 1 2 t→ ∞ i =1 i=1
自由响应收敛，系统稳定 自由响应收敛， 2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面） 具有正实部（位于[s]平面的右半平面） [s]平面的右半平面 n n si t si t s t lime →∞ lim ∑A i e + ∑A i e →∞ 1 2 t→ ∞ t→ ∞ i =1 i=1

整理版清华机械工程操纵基础ppt课件1_第五章系统的稳固性


N
(s)
是与初始条件x(k ) (0 )［输出x ( t )
及其各阶导数
x
(
k
)
(
t
)
在输入作用前 t 0 时刻的值，即系统在输入作用前的初
始状态］有关的多项式。
研究初始状态 N ( s ) 影响下系统的时间响应时，可在式
（5.1.2）中取 Xi(s) 0 得到这一时间响应（即零输
入的响应）：
2020/11/4
机械工程
装备一个铸造车间，需要熔炼设备、 造型及 制芯设 备、砂 处理设 备、铸 件清洗 设备以 及各种 运输机 械，通 风除尘 设备等 。只有 设备配 套，才 能形成 生产能 力。
5.1.2
稳定的定义和条件
若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态， 还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间 响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零 （即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；
系统的全部特征根
都具有负实部时，才有 lim(t)0。
t
2020/11/4
机械工程
装备一个铸造车间，需要熔炼设备、 造型及 制芯设 备、砂 处理设 备、铸 件清洗 设备以 及各种 运输机 械，通 风除尘 设备等 。只有 设备配 套，才 能形成 生产能 力。
无论是无输入时的初态或输入所引起的初态， 或只是输入所引起的初态，则系统是否稳 定应由此时的过渡过程随着时间的推移是 否收敛至一个稳态响应来决定，而这是与 本小节开始时讲的系统的稳定性的定义是 一致的；
X (t) L 1X (s) L 1 N D ( (s s ) ) i n 1A 1 ie x p (s it)（5.1.3）
式中，
N(s)
•
d

清华大学《控制工程基础》课件-4

则系统闭环传递函数为假设得到的闭环传递函数三阶特征多项式可分解为令对应项系数相等，有二、高阶系统累试法对于固有传递函数是高于二阶的高阶系统，PID校正不可能作到全部闭环极点的任意配置。

但可以控制部分极点，以达到系统预期的性能指标。

根据相位裕量的定义，有则有则由式可独立地解出比例增益，而后一式包含两个未知参数和，不是唯一解。

通常由稳态误差要求，通过开环放大倍数，先确定积分增益，然后计算出微分增益。

同时通过数字仿真，反复试探，最后确定、和三个参数。

设单位反馈的受控对象的传递函数为试设计PID控制器，实现系统剪切频率，相角裕量。

解：由式,得由式,得输入引起的系统误差象函数表达式为令单位加速度输入的稳态误差，利用上式，可得试探法采用试探法，首先仅选择比例校正，使系统闭环后满足稳定性指标。

然后，在此基础上根据稳态误差要求加入适当参数的积分校正。

积分校正的加入往往使系统稳定裕量和快速性下降，此时再加入适当参数的微分校正，保证系统的稳定性和快速性。

以上过程通常需要循环试探几次，方能使系统闭环后达到理想的性能指标。

齐格勒－尼柯尔斯法（Ziegler and Nichols ）对于受控对象比较复杂、数学模型难以建立的情况，在系统的设计和调试过程中，可以考虑借助实验方法，采用齐格勒－尼柯尔斯法对PID调节器进行设计。

用该方法系统实现所谓“四分之一衰减”响应（”quarter-decay”），即设计的调节器使系统闭环阶跃响应相临后一个周期的超调衰减为前一个周期的25%左右。

当开环受控对象阶跃响应没有超调，其响应曲线有如下图的S形状时，采用齐格勒－尼柯尔斯第一法设定PID参数。

对单位阶跃响应曲线上斜率最大的拐点作切线，得参数L 和T，则齐格勒－尼柯尔斯法参数设定如下：(a) 比例控制器：(b) 比例－积分控制器：，(c) 比例－积分－微分控制器：，对于低增益时稳定而高增益时不稳定会产生振荡发散的系统，采用齐格勒－尼柯尔斯第二法(即连续振荡法)设定参数。

《机械工程控制基础》课件


二、开环、闭环和复合控制系统


控制系统按其有无反馈作用和反馈作用 的方式可分为三类： 1、开环控制系统 2、闭环控制系统 3、复合控制系统
开环控制系统


如果系统的输出量和输入量之间没有反 馈作用，输出量对系统的控制过程不发 生影响时，这样的系统称为开环控制系 统。 图1-5是数控线切割机的进给系统.
二、控制理论的发展

4、1948年美国数学家维纳（N.Wiener）出版了 著名的《控制论—关于在动物和机器中控制和通 讯的科学》一书，他揭示了无论机器系统、生命 系统甚至社会和经济系统中，都存在一个共同本 质的特点，它们都是通过信息的传递、处理与反 馈这三个要素来进行控制，这就是控制论的中心 思想。1950年伊万斯（W.R.Evans）提出的根轨 迹法提供了寻找特征方程根的比较简易的图解方 法，至此，形成了完整的经典控制理论。
控制系统中常用的概念和术语的含义说明
• 输出量（或称输出信号、被控制量）：是指控制系统中需要
加以控制的物理量。系统的输出量常用符号xo(t)表示。 • 输入量（或称输入信号、给定值、给定量）：是指输入给控 制系统用以控制输出量变化规律的物理量它作用于系统输入端 ，直接地或间接地表示系统输出量的期望值（给定值）。系统 的输入量常用符号xi(t)表示. • 扰动量（或称扰动信号）：指那些能使输出量偏离预定要求 （期望值）的意外干扰因素。 • 反馈量（或称反馈信号）：是指把输出量取出并直接或经转 换以后送回到输入端与输入信号进行比较的物理量。
一、控制系统的基本工作原理





系统：是由相互制约的各个部分组成的具有一 定功能的有机整体。 自动控制系统：能够进行自动控制的一整套设 备或装置。通常由控制器（控制装置）和被控 对象两大部分组成。 被控对象是指系统中需要加以控制的机器、设 备或生产过程； 控制器是指能够对被控对象产生控制作用的设 备的总体。 控制系统的任务就是使被控制对象的物理量按 照预先给定的控制规律变化。

清华机械工程控制基础课件第二章自动控制系统的数学模型


则(2.18)可以写成
(2.1.18)
qKqxKcp
(2.1.19)
当系统在预定工作条件 q(x0, p0)0， x 0 0 ，p 0 0 下工作 q,x,p即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为
qKqxKcp
(2.1.20)
2019/11/3
机械工程
（4）消除中间变量
2019/11/3
机械工程
4)线性系统与非线性系统
定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如 2.0.1
a n x o ( n ) ( t ) a 1 x o ( t ) a 0 x o ( t ) b m x i ( m ) ( t ) . . . b 1 x i ( t ) b 0 x i ( t )2 . 0 . 1
k L d k J m d d 2 t2 k R d k J m d d t k 1 du a k d L k m d M d tL k d R k m M L (2.1.10)
令 L R T a ,R J ( k d k m ) T m , 1 k d C d , T m J C m ，则上式为
统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个 时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生 变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。
2019/11/3
机械工程
若 a i , b j 中有系数依赖于xi (t), x(t)或它们的导函数，或者，在微
分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是非线性的， 相应的系统也称为非线性系统，下面模型
将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略 去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：
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(2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半
平面。
2019/5/23
机械工程
例5-2 已知某调速系统的特征方程式为 S 3 41.5S 2 517 S 1670 (1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。
解：列劳斯表
S3
1
517
0
S2
41.5 1670(1 K ) 0
Copy反r的ig实ht根2或0共04轭-2虚0根1。1 相As应p的o系se统P为t不y 稳Lt定d.
2019/5/23
机械工程
请看例题
例如，一个控制系统的特征方程为 S 6 2S 5 8S 4 12S 3 20S 2 16S 16 0
列劳斯表
S6
1
8
20
16
S5
2
12
其中 p1, p2 , ,1,2 , 都是正值，则式（ 3 55）改写为
a0{(S P1 )(S P2 ) [(S 1 j1 )(S 1 j1 )][( S 2 j 2 )(S 2 j 2 )] } 0
5.2劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
5.2.1劳斯表
充要条件
线性系统稳定
闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。
令系统的闭环特征方程为
稳定判据
a0 S n a1S n1 a2 S n2 an1S an 0
a0 0
2019/5/23
机械工程
稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用 而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平 衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。
线形系统的稳定性取决于E系v统a的lu固a有ti特o征n（o结n构ly、. 参数），与系统的输
2019/5/23
机械工程
这也就是说，若要求系统的输出不能超出任意给 定的正数，能在初态为
x(k ) (0)
的情况下, 满足输出为


(5.1.6)
ted
with
Asposx(ek ).(St )lEidveaslufao(tr0io.NntEoTnl3y).,.5

Client
比较C渐op近yri稳gh定t 2性00与4Л-20я11п AуspнosоeвPt意y 义Ltd下. 的稳 定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求 高，系统若是渐近稳定的则一定是 Л я п у н о в 意义下稳定的，反之则不尽然。
2019/5/23
机械工程
3、“小偏差”稳定性
“小偏差”稳定性又称“小稳定”或“局部稳定 性”。
由于实际系统往往存在非线性，因此系统的动力 学方程往往是建立在“小偏差”线性化的基础之 上的。在偏差较E大va时lu，ati线on性o化nly带. 来的误差太大，
ted因w此ith，As用p线os性e.S化li方de程s f来or研.N究ET的3稳.5定C性lie时nt，P就rof只ile限5.2 于讨C论o初py始rig偏ht差2（00初4-态20）11不A超sp出os某e P一ty微L小td范. 围时 的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏差 大时，就不能用来讨论系统的稳定性。
2019/5/23
机械工程
劳斯表中出现全零行
解决的办法
用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项 式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中 系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
这些大小E相v等a、lu径at向io位n置o相nl反y.的根可以通过求 ted with Asp解偶o这数se个的.S辅。li助相d方应es程方f式程or得中.到含N，有ET而一且些3.其大5根小C的相lie数等n目符t 总号Pr是相ofile 5.2
即a0{(S P1)(S P2 ) [(S 2 21S 12 12 )][(S 2 22S 22 22 )] } 0
线性系统稳定
2019/5/23
不会有系数为零的项
机械工程
必要条件
(3 56)
a0 S n a1S n1 a2 S n2 /5/23
机械工程
2、渐近稳定性
渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定 性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零， 一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳 定性，当然，也是Л я п у н о в 意义下的稳 定性；但对非线E系va统lu而ati言on，o这nly两. 种稳定性是不 ted同w的ith。Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
就等C于o该py方r程ig在htS右20半0平4面-2上01根1的A数s目po，s相e应P的ty系L统td为.不
稳定
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表
示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定
2019/5/23
机械工程
请看例题
例5-3 已知系统的特征方程式为 S 3 2S 2 S 2 0
即不超出域 ，则 系统称为稳定的，或称为
Л я п у н о в 意义下稳定。
2019/5/23
机械工程
Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
入信号无关。
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
Copyright充2要0条0件4-2011 Aspose Pty Ltd.
lim g(t) 0 系统稳定
闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面
t
2019/5/23
机械工程
可得：
517 40.2(1 K) 0 1670(1 K) 0
1 K 11.9
2019/5/23
机械工程
5.2.2 劳斯判据特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等 于零或没有其余项。
解决的办法
是以一个很小的正数 来代替为零的这项
据此算出其E余v的al各ua项ti，on完成on劳ly斯. 表的排列 ted wit若h 劳As斯p表o第se一.S列l中id系es数f的o符r .号N有E变T化3.，5其C变lie化n的t 次P数rofile 5.2
Profile
5.2
式C中opkyrig0,h1,t22, 00, 4则-2系0统11称A为sp在oЛseя Pпtyу Lнtdо. в
意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出
任意给定的正数 ，但却不能找到不为零的正数
来满足式(5.1.6)，则系统称为在Л я п у н о в 意义下不稳定。
(3 55)
如果方程式的根都是负实部，或E实v部a为lu负a的t复io数n根，o则n其ly特. 征方程式的各项系数均
te为d正值w，it且h无A零s系p数o。se.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
证明 设Copp1y,rpig2 ,ht 2为0实0数4根-2，0111 Aj1s,p2osje2Pty为L复t数d根.
移C不o仅p可yri能gh有t 上20述0三4-种20情11况A，s而po且se还P可ty能L趋td于. 某
一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由 初态不同，这种响应随着时间推移的结果也不同。
2019/5/23
机械工程
俄国学者A.M.Л я п у н о в 在统一考虑了 线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系 统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以 表述如下——
16
0
S4 S3
2 E1v2aluat1io6 n onFly(s.) 2s4 12s2 16s
0
0
0
ted with Aspos8e.Slid2e4 s for .NET d3F.(5s) C 8lise3 n t24Ps rofile 5.2
CS 2opyrig6 ht 201604-2011 Aspodsse Pty Ltd.
5.1.2 关于稳定性的一些提法
1、Л я п у н о в （李亚普诺夫）意义下的稳定性 由上分析可知，对于定常性系统而言，系统由一 定初态此起的响应随着时间的推移只有三种：衰 减到零；发散到无穷大；趋于等幅谐波振荡。从
而定义了系统是E稳va定lu的at；io不n o稳n的ly.；临界稳定的。 ted w但ith对A于sp非o线se性.S系lid统e而s 言for，.这NE种T响3应.5随C着lie时n间t P的ro推file 5.2
解：列劳斯表
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Evaluation oS1nly.

38.5
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结(1论)该：C表o第p一yr列ig系h数t 2符0号0不4-全2为01正1，A因s而po系s统e是P不ty稳L定td的. ；
试判别相应系统的稳定性。
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上存面在的 ，符相C号应o与的p其系y下统ri面为gh系（t数临2的界0符 ）0号 不4相 稳-2同 定0， 。1表1示A该s方p程o中s有e一P对ty共轭L虚td根.