2015届高考理科数学第一轮总复习教案59.doc

第59课二项式定理[最新考纲]内容要求A B C二项式定理√1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n当k<n＋12(n∈N＋)时，是递增的当k>n＋12(n∈N＋)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项取最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，那么a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，那么n ＝________.6 [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是________．7 [由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k 8.令8－4k3＝0得k ＝6，那么展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.]4．(2021·北京高考)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，那么x 2的系数为60.]5．(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝________.－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.]通项公式及其应用(1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________. 【导学号：62172322】(2)(2021·山东高考)假设⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，那么实数a＝________.(1)30 (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5·a 5－r r .令10－52r ＝5，解得rx 5的系数为－80，那么有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)假设⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，那么正整数n 的最小值等于________．(2)(2021·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)(1)5 (2)10 [(1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n ，假设T r ＋1是常数项，那么6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N ＋，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]二项式系数与各项系数和(1)(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么奇数项的二项式系数和为________．(2)假设(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________.【导学号：62172323】(1)29 (2)0 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.][迁移探究1]假设本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值〞，那么结果如何？[解]在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34.②由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝12(34＋1)＝41.[迁移探究2]假设将本例(2)变为“假设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2 016(x∈R)，那么a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．〞－1[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.令x＝12，那么a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，∴a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，此题常因把“n的等量关系表示为C4n＝C8n〞，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值〞求出a0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，那么a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]二项式定理的应用(1)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，那么C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝________.(2)设a∈Z，且0≤a<13，假设512 012＋a能被13整除，那么a＝________.(1)－1＋i(2)12[(1)x＝2i1－i＝－1＋i，C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12021·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011＋C2 0122 012·(－1)2 012＋a，∵C02 012·522 012－C12021·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a能被13整除，∴C20212021·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，表达数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n .假设点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图59-1所示，那么a ＝________.图59-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)提醒二项展开式的规律，一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然一样，但具体到它们展开式的某一项时是不一样的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项〞“项的系数〞“项的二项式系数〞等概念，注意项的系数是指非字母因数所有局部，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．课时分层训练(三)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)1．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M －N ＝240，求展开式中二项式系数最大的项. 【导学号：62172324】[解] 依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24， 解得n ＝4.要使二项式系数C r 4最大，只有r ＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为T 3＝C 24(5x )2·(－x )2＝150x 3. 2．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .假设13a ＝7b ，求m 的值．[解] (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m ，同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·(2m )！m ！ m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！.∴m ＝63．(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 【导学号：62172325】[解] 令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a 1＋a 3＋a 5＋a 7 ＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)法一：∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.4．二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．[解] (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，∴2n＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.5．假设⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．[解] 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T r ＋1， 由T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r8x 16－3r 4，∴r 为4的倍数， 又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120C 08x16－3×04＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48x16－3×44＝358x ， T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128C 88x16－3×84＝1256x 2.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，那么：⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＋1C r ＋18且⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12r －1C r －18⇒r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 28x16－3×24＝7x 52，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 38x16－3×34＝7x 74.6．(1)2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；8的近似值．(准确到小数点后三位)[解] (1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.8＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 282＋C 383≈1.172.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·苏州期中)设f (x ，n )＝(1＋x )n ，n ∈N ＋. (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)n ∈N ＋，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1；(3)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ×2n －1.[解] (1)展开式中系数最大的项是第4项为C 3n x 3＝20x 3. (2)C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ]＝14(4＋1)n＝5n 4. (3)证明：因为k C k n ＝n C k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…C n －1n －1)＝n ×2n －1. 2．f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．[解] (1)由得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N ＋，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时， m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.3．(2021·南京模拟)设集合S ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N ＋，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(A ，B )的个数为P n .(1)求P 2，P 3的值； (2)求P n 的表达式．[解] (1)当n ＝2时，即S ＝{1,2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1. 当n ＝3时，即S ＝{1,2,3}．假设A ＝{1}，那么B ＝{2}，或B ＝{3}，或B＝{2,3}；假设A ＝{2}或A ＝{1,2}，那么B ＝{3}．所以P 3＝5.(2)当集合A 中的最大元素为“k 〞时，集合A 的其余元素可在1,2，…，k －1中任取假设干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k－1种情况．此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取假设干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k －1种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k 〞时， 集合对(A ，B )共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对．当k 依次取1,2,3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B )的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.4．(2021·苏锡常镇调研一)在杨辉三角形中，从第3行开场，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图59-2所示．图59-2(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？假设存在，试求出是第几行；假设不存在，请说明理由；(2)n 、r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．[解] (1)杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0,1,2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k＝45，那么3n －7k ＝－3,4n －9k ＝5， 解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(2)假设有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列， 那么2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ，即2·n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＝n ！r ！(n －r )！＋n ！(r ＋2)！(n －r －2)！，2·n ！(r ＋2)！(n －r －2)！＝n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＋n ！(r ＋3)！(n －r －3)！.所以有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)( r ＋2)，2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)，经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0.两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．。

XX届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求重难点击命题展望.集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.6.全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本章重点：.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.本章难点：.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；2.充分条件、必要条件的判断；3.对含有一个量词的命题进行否定的理解..考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络.1 集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.【解析】令a＋1＝－3&#8658;a＝－4，检验合格；令a－3＝－3&#8658;a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；令2a－1＝－3&#8658;a＝－1，检验合格；而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求a和b的值.【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，得①或②显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.题型二集合的基本运算【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B&#8838;A，求实数a.【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝&#8709;&#8838;A；当a≠0时，B＝{1a}.要使B&#8838;A，则1a＝3或1a＝5，即a＝13或15.综上，a＝0或13或15.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y ＝x2，x∈R}，则A∩B等于A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}c.{x|0≤x≤1}D.【解析】选c.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x ＋24≤0}，x，t∈R，且A&#8838;B.对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A 的区间“长度”为3，试求t的值；某个函数f的值域是B，且f∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f∈A的概率不小于0.6，所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A&#8838;B，所以log2t≤12，即t≤212＝4096，所以t的取值范围为[256,4096].【变式训练3】设全集U是实数集R，m＝{x|x2＞4}，N ＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}c.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选c.化简得m＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为&#8705;Rm∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，&#8713;和&#8838;，&#8840;的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A&#8838;B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.【解析】逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是A.若p，则qB.若q，则pc.若q，则pD.若q，则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.由题设有：q&#8658;p且p不能推出q，所以p&#8658;q 且q不能推出p，所以A&#8838;B.因为m＞0，所以&#8838;，故由2＋m≤5且2－m≥3&#8658;0＜m≤5－2，故实数m 的取值范围为A.0≤a≤2B.－2＜a＜2c.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝&#8709;，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n ∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an 成立的充要条件是{an}为等差数列.【证明】若{an}为等差数列，设其公差为d，则a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝1d[＋＋…＋]＝1d＝an－a1da1an＝n－1a1an.若1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝na1an＋1，两式相减得1anan＋1＝na1an＋1－n－1a1an&#8658;a1＝nan－an＋1.①于是有a1＝an＋1－nan＋2，②由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an ＝an＋2－an＋1.又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3&#8658;a3－a2＝a2－a1，所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.【变式训练3】设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsinx ＜1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件c.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若xsinx＜1，因为x∈，所以xsinx＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函数f＝xsin2x在上单调递增，且π2sin2π2＝π2＞1，所以存在x0∈使得x0sin2x0＝1.又x0sinx0＞x0sin2x0＝1，即x0sinx0＞1，所以存在x0′∈使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sinx0′≥1，故充分性不成立.总结提高.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p是q的充分条件，即p&#8658;q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P&#8838;Q，即PQ或P＝Q，必要条件正好相反.而充要条件p&#8660;q就相当于P＝Q.4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p&#8658;q；③p是q的充分条件；④q是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.&#8704;x∈R，都有x2－x＋1＞12；&#8707;α，β使cos＝cosα－cosβ；&#8704;x，y∈N，都有x－y∈N；&#8707;x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.【解析】真命题，因为x2－x＋1＝2＋34≥34＞12.真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4&#8713;N.真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p：&#8707;x∈R，使tanx＝1，命题q：&#8704;x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题c.命题“p∨q”是真命题D.命题“p∧q”是假命题【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝π4，p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p ∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，c错误；“p∧q”是假命题，D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.p：&#8704;x∈R，x2－x＋14≥0；q：所有的正方形都是矩形；r：&#8707;x∈R，x2＋2x＋2≤0；s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.【解析】p：&#8707;x∈R，x2－x＋14＜0，是假命题.q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.r：&#8704;x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.s：&#8704;x∈R，x3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p：&#8704;x∈，log3x＞0，则p为.【解析】&#8707;x0∈，log3x0≤0.题型三命题的真假运用【例3】若r：sinx＋cosx＞m，s：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r为假命题”且“对任意的x∈R，s为真命题”，求实数m的取值范围.【解析】因为由m＜sinx＋cosx＝2sin恒成立，得m＜－2；而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2.依题意，r为假命题且s为真命题，所以有m≥－2且－2＜m＜2，故所求m的取值范围为－2≤m＜2.【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r为假命题，s为真命题同时成立即得.【变式训练3】设m是由满足下列性质的函数f构成的集合：在定义域内存在x0，使得f＝f＋f成立.已知下列函数：①f＝1x；②f＝2x；③f＝lg；④f＝cosπx，其中属于集合m的函数是.【解析】②④.对于①，方程1x＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[2＋2]＝lg＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝12，显然存在x使等式成立.故填②④.总结提高.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.。

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训不等式一、选择题1、（2014数学理）5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下面关系是恒成立的是（ ） 111122+>+y x B.)1ln()1(ln 22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x >答案：D2、（2014数学理）9. 【2014山东高考理第9题】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（ ）A.5B.4C.5D.2答案：B3、（2013数学理）在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）13- （D ）12- 答案：6．C4、(2011山东理科4) 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 [来源:]A ．[-5，7]B ．[-4，6] [来源:]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞答案：D1 5．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 （ ）x 210mx mx --<mA ．B ．C ．D ．【答案】B6．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）在R 上定义运算⊙:a ⊙b=ab+2a+b,则满足x ⊙(x-2)<0的实数x 的取值范围为 （ ）A ．(0,2)B ．(-2,1)C ．(-∞,-2)∪(1,+∞)D ．(-1,2)【答案】B72．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）已知,若恒成立, 则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C83．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．23a << B ．12a << C ．13a << D ．14a <<【答案】C94．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B105．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）在不等式组确定的平面区域中,若的最大值为,则的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A116．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）小王从甲地到乙地往返的时速分别为,其全程的平均时速为,则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A二、填空题(4,0)-(4,0]-[4,0]-[4,0)-00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =+3a 1234()a b a b <和v a v ab <<v ab =2a b ab v +<<2a b v +=17．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知集合A={(x,y)|⎩⎨⎧ x ≥1，x ≤y ，2x －y ≤1},集合B={(x,y)|3x+2y-m=0},若A ∩B ≠∅,则实数m 的最小值等于__________.【答案】5 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点,因此问题转化为:求当x,y 满足约束条件x ≥1,x ≤y,2x-y ≤1时,目标函数m=3x+2y 的最小值.在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域.可以求得在点(1,1)处,目标函数m=3x+2y 取得最小值5.28．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）已知实数、满足,则的最大值是_________.【答案】4 根据题意,由于实数、满足,表示的为三角形区域 ,那么可知当目标函数z=2x+y 过点(1,2)点时,则可知目标函数取得最大值,即此时的直线的纵截距最大,故答案为4.三、解答题19．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有左右两个全等的矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小?[来源:]【答案】解:方法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①[来源:]广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b[来源:中教网][来源:] ≥18500+225a ·40b =18500+21000ab =24500. :学网][ 来源:]当且仅当25a=40b时等号成立,此时b=58a,代入①式得a=120,从而b=75, 即当a=120,b=75时,S取得最小值24500,故广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小方法二:设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20,y－252.其中x>20,y>25.两栏面积之和为2(x-20)y－252=18000,由此得y=18000x－20+25,广告的面积S=xy=x(18000x－20+25)=18000xx－20+25x,整理得S=360000x－20+25(x-20)+18500.因为x-20>0,所以S≥2360000x－20×25x－20+18500=24500.当且仅当360000x－20=25(x-20)时等号成立, [来源:]此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=18000x－20+25,得y=175.即当x=140,y=175时,S取得最小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称对称轴：坐标轴；对称中心：原点性 顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. (5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√) 教材改编题1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方程________．答案y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以)解析取c＝3，则e＝ca＝3，可得a＝1，∴b＝c2－a2＝2，因此，符合条件的双曲线方程为y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1—→·PF 2—→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________． 答案2解析不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴PF 1—→⊥PF 2—→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为() A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 答案B解析由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)双曲线x 24－y 2b 2＝1(0<b ≤42)上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离为() A ．12或6B ．2或4 C ．6或4D ．12或4 答案D解析设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知|PF 2|＝8， 所以||PF 1|－|PF 2||＝4， 解得|PF 1|＝12或|PF 1|＝4， 故点P 到左焦点的距离为4或12.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案9解析设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案A解析∵e ＝ca ＝2， 则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y23＝1.(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为() A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________． 答案y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是() A.7x 216－y 212＝1B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案C解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 28＝1D ．x 2－y 22＝1答案D解析由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22， 由双曲线的定义可得43c 3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1. 题型三 双曲线的几何性质命题点1渐近线例3由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为()A.y 212－x 24＝1B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1D.y 216－x 24＝1答案B解析由题意知，b ＝2，又因为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2， 解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos60°＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2| ＝7m 2m ＝72.高考改编已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为() A.3B. 5C.7D．7答案C解析点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝27a，又|F1F2|＝2c，∴27a＝2c，e＝ca＝7.(2)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，则双曲线离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫213，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，213 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫1，72 答案D解析因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，所以a b >233，即3a >23b ，也即3a 2>4b 2，所以3a 2>4(c 2－a 2)，所以7a 2>4c 2，所以e <72，又因为双曲线的离心率e >1，所以1<e <72，双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，72. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于() A.12B.3－1 C.3＋12D ．2答案A解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，所以b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B. 3C ．2D. 5答案A解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径， 且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， ∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A ．2B.3C.2D.32答案C解析由题意可知直线y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a ＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以e ＝ 2.(2)已知F 为双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左焦点，圆Q ：(x －3)2＋y 2＝6与双曲线M 的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是()A．点F到渐近线的距离为 6B．双曲线M的渐近线方程为x±2y＝0C．双曲线M的虚轴长为2D．双曲线M的离心率为 3答案D解析因为圆Q与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，所以圆Q与渐近线bx±y＝0相切，则有|3b|b2＋1＝6，解得b＝2，则双曲线M的方程为x2－y22＝1，所以a＝1，b＝2，c＝3，其渐近线方程为2x±y＝0，故B选项错误；左焦点F(－3，0)到渐近线的距离为|2×(－3)|2＋1＝2，故A选项错误；双曲线M的虚轴长为2b＝22，故C选项错误；双曲线M的离心率为e＝ca ＝31＝3，故D选项正确．课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为() A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 答案D解析由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1.3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析方法一依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为()A ．2B.3C.43D.233答案A解析双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)， 渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2.5．已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法不正确的是() A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34xC ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案D解析因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确；因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以两焦点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －c ＝0与双曲线C 的一个交点为点P ，与双曲线C 的一条渐近线交于点Q ，O 为坐标原点，若OP→＝13OF 2—→＋23OQ →，则双曲线C 的离心率为() A.2B.355 C.5D. 3答案B解析因为OP →＝13OF 2—→＋23OQ →， 所以OP →－OF 2—→＝23(OQ →－OF 2—→)， 所以F 2P —→＝23F 2Q —→，所以b 2a ＝23×bc a ，得2c ＝3b ，故e ＝c a ＝3b2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 22－b 2＝355. 7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案3215解析因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215.9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1—→·MF 2—→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ，∴h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255.(2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的其中一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．解(1)由焦点坐标可知c ＝5，又一条渐近线方程为2x －y ＝0，所以b a ＝2，由c 2＝a 2＋b 2可得5＝a 2＋4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，故双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0,4)，直线AB 的斜率为k ， 则x 21－y 214＝1，① x 22－y 224＝1，② ②－①得x 22－x 21＝y 224－y 214， 即k ＝4x 04＝x 0，又k ＝tan 3π4＝－1，所以x 0＝－1，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.11．已知P 是双曲线C ：x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，O 为坐标原点，|OP →＋OF 1—→|＝94，则下列结论中错误的是() A ．双曲线C 的离心率为54B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．点P 到双曲线C 的左焦点距离是234D ．△PF 1F 2的面积为454答案C解析在双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，该双曲线的左焦点为F 1(－5,0)．设P (x ，y )，则OP →＋OF 1—→＝(x －5，y )， 由|OP →＋OF 1—→|＝94，可得(x －5)2＋y 2＝8116，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －5)2＋y 2＝8116，x 216－y 29＝1，x ≥4，解得⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝±94，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，±94. 对于A 选项，双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝54，A 对；对于B 选项，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x ，B 对；对于C 选项，点P 到双曲线C 的左焦点距离是|PF 1|＝102＋8116＝414，C 错；对于D 选项，△PF 1F 2的面积为S ＝12×2×5×94＝454，D 对．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，132 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，132D ．(1，13) 答案B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0，又该圆的圆心为(c ,0)， 故圆心到渐近线的距离为bcb 2＋4， 则由题意可得bcb 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2， 解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1，故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，132. 13．已知A ，B 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个端点，M ，N 是双曲线上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若双曲线的离心率为2，则|k 1|2＋|k 2|的最小值为()A.12B ．1C.2D. 6答案D解析由题意可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，A (－a ,0)，B (a ,0)，则k 1＝y 1x 1＋a ，k 2＝－y 1x 1－a， 故k 1k 2＝y 1x 1＋a ·－y 1x 1－a ＝y 21a 2－x 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－1a 2－x 21＝－b 2a 2， 因为双曲线的离心率为2，故e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4，故k 1k 2＝－3， 由基本不等式可得|k 1|2＋|k 2|≥232＝6，当且仅当|k 1|＝6，|k 2|＝62时等号成立，故|k 1|2＋|k 2|的最小值为 6.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c ＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点M 关于原点的对称点为点N ，F为双曲线的右焦点，若MF →·NF →＝0，设∠FMN ＝θ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，则双曲线C 的离心率e 的最大值为()A.2B. 3C.2＋1D.3＋1 答案D解析设双曲线的左焦点为F 1，由已知得点N 在双曲线的左支上，连接MF 1，NF 1(图略)，根据双曲线的定义，|NF |－|NF 1|＝2a ，由已知得四边形MFNF 1为平行四边形，所以|NF 1|＝|MF |，所以|NF |－|MF |＝2a ，又MF →·NF→＝0， 所以四边形MFNF 1是矩形，得|F 1F |＝|MN |＝2c ，所以|NF |＝2c sin θ，|MF |＝2c cos θ，所以2c sin θ－2c cos θ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝1sin θ－cos θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12， 得θ－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6， 所以当θ－π4＝π12，即θ＝π3时，e 取得最大值为12sin π12，又sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝6－24， 所以e 的最大值为3＋1.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解设双曲线的半焦距为c ，则F (c ,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a ＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a ＝a ＋c ，所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0.因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∠BF A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时，由题意易得∠BAF ＝π4，此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时，因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a ， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a )＝－y 0x 0－2a ＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第二节 两直线的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=2.【2014届北京市顺义区高三第二次统练】已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( )A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A 【解析】由题意，112m -=-，即12m =,选A. 3. 【2012·浙江】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.【2014高考名师推荐】已知倾斜角为的直线与直线平行，则tan2的值( )A ．B ．C ．D ．5. 【2014届湖北省七市（州）高三年级联合考试】设两条直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A.21,4 B.22, C.12,2 D.21,26.【改编自2011浙江卷文】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = （ ）.A ．-4B ．-1C ．1D ．47.【2014高考名师推荐】经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3即直线方程为x ＝1或4x ＋3y ＋5＝0，选C ．8. 【2014高考名师推荐】若动点分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )． A ．B ．C ．D ．9.【2014届陕西省高考前30天】点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．010.【原创题】经过点()P 1,2且到原点距离最大的直线方程是（ ）A ．052=-+y xB ．042=--y xC ．073=-+y xD ．053=-+y x11.【2014届北京市东城区高三下学期综合练习二】已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ） （A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--12. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）22⎡-⎢⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：数列一、选择题错误！未指定书签。

1．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知数列{ a n }的前n 项和为Sn,且Sn=2(a n —1),则a 2等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】A2错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知n n a )31(=,把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状,记),n m A （表示第m 行的第n 个数,则）（12,10A =（ ）A ．9331）（B ．9231）（C ．9431）（D ．11231）（ 【答案】A3错误！未指定书签。

．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若5359a a =,则95SS = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．12【答案】A4错误！未指定书签。

．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）数列}{n a 中,前n项和为nS ,且n n n a a a a )1(1,2,1221-++===+ ,则100S = （ ）A ．2600B ．2601C ．2602D ．2603 【答案】A5错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（ ）A ．81B ．81-C ．857D ．855【答案】A6错误！未指定书签。

．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示数列{an}的前n 项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值为 （ ）A ．692B ．69C ．93D ．189【答案】C7错误！未指定书签。