高一数学必修一所有知识点总结
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高一数学必修一知识点归纳第一章二次函数1.1 一元二次方程及其解法一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0,可以通过公式法、配方法和因式分解等方式求解。
1.2 二次函数的图像及性质二次函数y=ax^2+bx+c的图像为抛物线,开口向上或向下,顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
1.3 二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程可以通过二次函数的图像特征求解,二次函数的各项系数与一元二次方程的特征之间有一一对应的关系。
第二章直线与圆2.1 直线的方程及性质直线的一般方程为Ax+By+C=0,斜率为-k/A,其中k为直线的垂直距离。
2.2 圆的方程及性质圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中(a,b)为圆心坐标,r为半径。
第三章度量衡3.1 长度、面积和体积的计算长度、面积和体积的计算包括常见图形的计算公式和应用场景,如长方形、正方形、圆形等。
3.2 单位换算长度、面积和体积的不同单位之间的换算,包括长度单位、面积单位、体积单位等。
第四章三角函数4.1 弧度制下的角度角度的度量单位有度、分、秒和弧度制,弧度制下一周的角度为2π。
4.2 三角函数的概念三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们与直角三角形的边和角之间有一一对应的关系。
4.3 三角函数的图像及性质三角函数的图像具有周期性、对称性,通过振幅和周期来描述函数的性质。
第五章概率5.1 随机事件及基本概率随机事件的基本概率计算方法包括等可能概率、加法原理和乘法原理等。
5.2 条件概率及事件的独立性条件概率描述了随机事件在已知其他事件发生的情况下自身发生的概率,事件的独立性指两个事件发生与否互不影响。
第六章初等数论6.1 整除、最大公因数、最小公倍数整除、最大公因数和最小公倍数概念及计算方法,涉及质数、合数、素数分解等内容。
6.2 同余式同余式描述了整数之间的某种特殊的相等关系,同余式的性质包括传递性、对称性和相容性等。
高一数学必修一知识点汇总一、集合论1、集合的定义:集合是一组物体的总体概念;2、关于集合的基本概念:①元素:集合中的单个物体叫作元素。
②子集:假设S'是S的一部分,则称S'是S的子集,用符号S'⊆S表示。
③真子集:若S'是S的真子集,即S'⊆S,且S'≠S,则称S'是S的真子集。
④空集:若集合S无任何元素,则称S为空集,空集用空大括号表示。
⑤非空集:一个集合中若至少包含一个元素,则称该集合为非空集,用花括号中部分或全部的元素表示。
3、集合的表示方法:①用花括号表示集合。
若集合中只有一个元素a,用大括号表示;若集合中有多个元素a、b、c,用逗号分开,大括号括起来表示;②用特殊字母表示、或用一些代表全体元素的约定符号表示;③用集合方程表示;④用Venn图(环形图)表示。
二、运算1、关于集合的基本运算:①并集:把两个集合中包含的所有元素连在一起构成的集合叫做这两个集合的并集,用符号“∪”表示;②交集:两个集合共同包含的元素构成的集合叫做这两个集合的交集,用符号“∩”表示;③差集:从一个集合中减去另一个集合中共有的元素,结果集合叫做这两个集合的差集,用符号“\”表示;④补集:所有不属于某一集合元素的集合叫补集,用符号“c”表示。
2、集合的应用问题:①布尔代数:用集合表达式和集合运算来代表真假,定义一般的数学公式;②概率论的应用:统计学中分类统计的应用,概率题的计算都是基于一定的事件集合;③函数的定义域和值域:把函数中x取值范围定义成集合,把函数中f(x)取值范围定义成集合;④集合的描述:描述集合是一组表达式,集合中各元素具有某种共同特征,可以用来判断元素是否属于某集合。
三、三角函数1、三角函数的定义:三角函数是一类用来表达直角三角形某边与 hypotenuse(斜边)之间的关系的数学函数;2、关于三角函数的概念:①正弦函数和余弦函数:正弦函数是一类自变量与函数值成正弦曲线的函数;余弦函数是一类变量与函数值成余弦曲线的函数;②正切函数:它是一个特殊的三角函数,它的自变量是“任意的角的正切值”,而它的函数值是“角的弧度值”;3、三角函数的性质:①正弦余弦正切函数在相同横坐标点函数均有三个周期;②正弦余弦函数在 pi/2、 3*pi/2处是奇函数,在其他点是偶函数;③正切函数在π/2、3π/2处是奇函数,在其他点是偶函数;④正弦、余弦函数在其值相等点是对称的。
高一数学必修1各章知识点总结一、集合1.集合的中元素的三个特性:2.集合的表示方法: 列举法与描述法、图示法非负整数集(即自然数集)记作: N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意: 有两种可能(1)A是B的一部分, ;(2)A与B 是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2. “相等”关系: A=B (5≥5, 且5≤5, 则5=5)实例: 设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即: ①任何一个集合是它本身的子集。
A(A②真子集:如果A(B,且A( B那就说集合A是集合B的真子集, 记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B◆ 3.不含任何元素的集合叫做空集, 记为Φ◆规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合, 含有2n个子集, 2n-1个真子集例题:1.下列四组对象, 能构成集合的是()A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a, b, c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}, 则M与N的关系是 .4.设集合A= , B= , 若A B, 则的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验, 已知物理实验做得正确得有40人, 化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人, 则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.........7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ, A∩C=Φ, 求m的值二、函数的有关概念1. 定义域:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法: ①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)2. 值域 : 先考虑其定义域3.函数图象常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4. 映射可一对一、多对一补充: 复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f、g的复合函数。
高一必修一数学知识总结第1篇【基本初等函数】一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数。
此时,的次方根用符号表示。
式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数。
此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号—表示。
正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)。
由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,当是偶数时,2、分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
3、实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R。
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1。
2、指数函数的图象和性质高一必修一数学知识总结第2篇二次函数I.定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
高一必修一数学全册知识点一、集合1. 集合的基本概念1.1 集合的定义和表示方法1.2 集合的元素与集合的关系二、数字与代数1. 实数与数轴2.1 实数的概念及表示2.2 数轴的绘制与实数的表示2.3 实数的比较与加减法运算2.4 实数的乘除法运算及其性质2. 同底数幂与科学计数法2.1 指数与幂的概念2.2 同底数幂的乘除法运算2.3 科学计数法的表示与运算3. 整式的基本概念3.1 代数式与整式的定义3.2 项、次数及系数的概念3.3 同类项与合并同类项3.4 整式的加减法运算4. 一元一次方程及其应用4.1 一元一次方程的定义及基本性质4.2 解一元一次方程的基本方法4.3 应用题中的一元一次方程5. 分式及其运算5.1 分式的定义及分式运算的基本性质5.2 分式的化简5.3 分式方程的解法及应用三、函数与图像1. 函数的概念与表示6.1 函数的定义及函数的表示方法6.2 函数的自变量、因变量与定义域、值域的关系2. 幂函数与分段函数6.2.1 幂函数的概念及其性质6.2.2 分段函数的定义及分段函数的画法3. 一次函数与斜率6.3.1 一次函数的定义及一次函数的性质6.3.2 斜率的概念及其计算方法4. 二次函数及其图像6.4.1 二次函数的定义及二次函数的图像特点6.4.2 二次函数的变换与最值四、三角函数1. 三角函数及其基本性质7.1.1 弧度制与角度制的转换7.1.2 正弦、余弦、正切函数的定义及其基本性质2. 三角函数图像的性质与变换7.2.1 三角函数图像的对称性与奇偶性7.2.2 三角函数图像的平移与伸缩7.2.3 三角函数图像的组合与分解3. 三角函数的简单应用7.3.1 三角函数在实际问题中的应用7.3.2 直角三角形的解题方法五、平面几何1. 直线与圆的性质8.1.1 直线的定义及其性质8.1.2 圆的定义及其性质2. 三角形的基本性质8.2.1 三角形分类及其特性8.2.2 三角形的成立条件3. 三角形的相似8.3.1 相似三角形的定义及判定条件 8.3.2 相似三角形的性质及应用4. 圆的切线与割线8.4.1 切线的定义及性质8.4.2 相交弦的性质及切割定理六、统计与概率1. 统计图与数据的分析9.1.1 统计图的绘制及其分析9.1.2 数据的分析与统计规律2. 事件的概率9.2.1 随机事件与概率的定义 9.2.2 事件的计算与概率的性质3. 排列与组合9.3.1 排列的定义及排列的计算 9.3.2 组合的定义及组合的计算。
高一数学必修一知识点总结人教高一数学必修一是数学课程的基础,是后续学习的重要基石。
本文将为你总结高一数学必修一的主要知识点,希望能够帮助你更好地学习和掌握这些内容。
第一章相似与全等1. 相似三角形的判定条件- AAA 相似判定法:两个三角形对应角相等。
- AA 相似判定法:两个三角形有两个对应角相等,且对应边成比例。
- SAS 相似判定法:两个三角形的对应两边成比例,且夹角相等。
2. 相似三角形的性质和应用- 长度比例关系:对应边比例相等,对应角相等。
- 面积比例关系:面积比例等于边长比例的平方。
- 重心、垂心、外心、内心等的位置关系。
- 相似三角形的几何应用。
3. 全等三角形的判定条件- SSS 全等判定法:两个三角形的三边对应相等。
- SAS 全等判定法:两个三角形有两边及其夹角对应相等。
- ASA 全等判定法:两个三角形有两个角及其夹边对应相等。
- AAS 全等判定法:两个三角形有两个角及其对边对应相等。
4. 全等三角形的性质和应用- 证明等腰三角形的性质。
- 证明直角三角形的性质。
- 证明等边三角形的性质。
第二章平面向量1. 向量的概念及运算- 平面向量的定义和表示。
- 向量的加法、减法和数乘。
- 向量的数量积和向量积。
2. 向量的应用- 向量几何问题的分析与处理。
- 判断向量共线和垂直的方法。
- 平行四边形和三角形的面积计算。
第三章二次函数1. 二次函数的图像特征- 平移变换和伸缩变换。
- 最值点和零点的性质。
- 对称轴和对称点的关系。
2. 二次函数的性质与应用- 二次函数的单调性与求解方程。
- 二次函数与一次函数的关系。
- 二次函数在几何中的应用。
3. 二次函数图像的绘制- 根据函数的参数绘制函数图像。
- 根据函数图像确定函数的参数。
第四章导数与微分1. 导数的概念和性质- 导数的定义与几何意义。
- 导数的四则运算法则。
- 导数与函数图像的关系。
2. 导数的应用- 导数表示函数的变化率。
高一数学必修一知识点归纳总结
一、平面解析几何
1. 平面直角坐标系
- 坐标轴及坐标点的表示方法
- 点的坐标与距离公式的应用
2. 直线的方程
- 斜率的概念和计算方法
- 截距的概念和计算方法
- 一般式和标准式的相互转换
- 平行、垂直直线的关系及判定方法
3. 圆的方程
- 圆的定义及相关概念
- 圆的标准方程及一般方程
- 圆与直线的位置关系
- 相交弦和切线的性质
4. 配对法
- 二次曲线的配对法及示意图
- 配对法解题步骤与技巧
二、函数及立体几何
1. 函数的概念与性质
- 定义域和值域的计算方法- 函数的奇偶性判断
- 函数的单调性判断
- 函数图象与函数值的关系2. 一次函数和二次函数
- 一次函数的表示和性质
- 一次函数的图象和变换
- 二次函数的表示和性质
- 二次函数的图象和变换
3. 立体几何基础知识
- 空间几何体的定义及性质- 线段的长度和空间角的计算- 平行线与平面的关系
三、概率与统计
1. 随机事件与概率
- 随机事件的概念和表示方法- 概率的定义和性质
- 事件的联合、互斥与对立关系
2. 组合与样本空间
- 组合的概念和计算方法
- 样本空间的定义和计算方法
- 事件的排列组合与计数方法
3. 统计与抽样
- 总体、样本和样本均值的概念
- 随机抽样的方法和步骤
- 样本统计量的计算及应用
以上为高一数学必修一的知识点归纳总结,对于复复数学知识有一定的帮助。
需要注意理解概念和掌握计算方法,搞清楚基本原理,灵活运用到实际问题的解题中。
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高一数学必修1知识点大全一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如,全体自然数组成一个集合,每个自然数就是这个集合的元素。
- 集合通常用大写字母表示,如A、B、C等,元素用小写字母表示,如a、b、c等。
- 元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a∈ A(读作“a属于A”);如果a不是集合A的元素,就说a∉ A(读作“a不属于A”)。
2. 集合的表示方法。
- 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
例如,集合A = {1,2,3}。
- 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
一般形式为{xp(x)},其中x是集合中的代表元素,p(x)是元素x所满足的条件。
例如,{xx是大于2的整数}。
- 区间表示法:对于数集,还可以用区间表示。
- 开区间(a,b)={xa < x < b};- 闭区间[a,b]={xa≤slant x≤slant b};- 半开半闭区间(a,b]= {xa < x≤slant b},[a,b)={xa≤slant x < b};- 无穷区间(-∞,+∞)=R,(a,+∞)={xx > a},[a,+∞)={xx≥slant a},(-∞,b)={xx < b},(-∞,b]={xx≤slant b}。
3. 集合间的基本关系。
- 子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,记作A⊆ B(读作“A包含于B”)或B⊇ A(读作“B包含A”)。
如果A⊆ B且B⊆ A,那么A = B。
- 真子集:如果A⊆ B,且存在元素x∈ B,x∉ A,那么集合A是集合B的真子集,记作A⊂neqq B。
- 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作varnothing。
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
4. 集合的基本运算。
- 交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A 与B的交集,记作A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
高一数学必修一知识点归纳总结集合与函数概念- 集合:包括集合的基本概念、元素与集合的关系、集合的表示方法、子集、并集、交集、补集等。
- 函数:函数的概念、定义域、值域、函数的表示方法、单调性、奇偶性、复合函数、反函数等。
不等式与不等式解法- 不等式的基本性质:包括不等式的基本性质、不等式的传递性、不等式的可加性等。
- 不等式的解法:包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、分式不等式的解法等。
函数的性质- 函数的单调性:包括函数单调性的定义、单调区间的确定、复合函数的单调性等。
- 函数的奇偶性:包括奇函数和偶函数的定义、性质、图像特征等。
- 函数的周期性:包括周期函数的定义、周期的计算、三角函数的周期性等。
三角函数- 三角函数的定义:包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义。
- 三角函数的基本性质:包括三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。
- 三角恒等式:包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
指数与对数- 指数函数:包括指数函数的定义、性质、图像、运算法则等。
- 对数函数:包括对数函数的定义、性质、图像、运算法则等。
- 指数与对数的运算:包括指数与对数的转换、对数运算法则等。
几何与坐标- 空间几何:包括空间直线、平面、空间向量等基本概念。
- 坐标系:包括直角坐标系、极坐标系、参数方程等。
解析几何- 直线与圆的方程:包括直线方程的一般式、斜截式、点斜式、圆的标准方程等。
- 椭圆、双曲线、抛物线:包括这些圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
函数的应用- 函数模型:包括函数在实际问题中的应用,如经济模型、物理模型等。
- 函数的最值问题:包括函数最值的求法、实际应用等。
这些知识点是高一数学必修一课程中的核心内容,掌握这些知识点对于后续数学学习至关重要。
在实际学习中,不仅要理解概念和性质,还要通过大量的练习来提高解题能力。
高一数学必修一所有知识点大总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作aÏA列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x|x-3>2}4、集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B①任何一个集合是它本身的子集。
AÍA②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.4、全集与补集(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作:CSA 即CSA ={x | xÎS且xÏA}SCsAA(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U二、函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:A B”给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A 到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.注意啊:解析法:便于算出函数值。
列表法:便于查出函数值。
图象法:便于量出函数值补充一:分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.补充二:复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7.函数单调性(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 。
(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;2 作差f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?8.函数的奇偶性(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。