等比数列·例题解析

等比数列·例题解析等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn＝pn(p∈R,n∈N_),那么数列{an}．[ ]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0,p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由Sn＝pn(n∈N_),有a1=S1＝p,并且当n≥2时,an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D．说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N_),还要注【例2】已知等比数列1,_1,_2,…,_2n,2,求_1·_2·_3·…·_2n．解∵1,_1,_2,…,_2n,2成等比数列,公比q∴2＝1·q2n+1_1_2_3..._2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2)式;(2)已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．∴a4＝2【例4】已知a＞0,b＞0且a≠b,在a,b之间插入n个正数_1,_2,…,_n,使得a,_1,_2,…,_n,b成等比数列,求证明设这n＋2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1【例5】设a.b.c.d成等比数列,求证:(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a.b.c.d成等比数列∴b2＝ac,c2＝bd,ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a.b.c.d成等比数列,设其公比为q,则:b＝aq,c＝aq2,d=aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b.c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b.c的路子．证法二则是把a.b.c.d统一化成等比数列的基本元素a.q去解决的．证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式:(1){an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2(2){an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0思路:转化为等比数列．∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比数列,即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3,a3－a2=3·21,a4－a3=3·22,…,an－an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列,(2)中发现{an+1－an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现．证∵a1.a2.a3.a4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0,即又∵a1.a2.a3为实数因而a1.a2.a3成等比数列∴a4即为等比数列a1.a2.a3的公比．【例8】若a.b.c成等差数列,且a＋1.b.c与a.b.c＋2都成等比数列,求b的值．解设a.b.c分别为b－d.b.b＋d,由已知b－d＋1.b.b＋d与b－d.b.b＋d＋2都成等比数列,有整理,得∴b＋d=2b－2d 即b=3d代入①,得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之,得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10:(1)求a1与d的值;(2)b16是不是{an}中的项?思路:运用通项公式列方程(2)∵b16=b1·d15=－32b1∴b16=－32b1=－32a1,如果b16是{an}中的第k项,则－32a1=a1＋(k－1)d∴(k－1)d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34项．解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1＋(n－1)d解这个方程组,得∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2∴当a1=－1,d=2时,an=a1＋(n－1)d=2n－3当a1=3,d=2时,an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数．解法一按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2由已知:a,aq＋4,aq2成等差数列即:2(aq＋4)=a＋aq2①a,aq＋4,aq2＋32成等比数列即:(aq＋4)2=a(aq2＋32)解法二按等差数列设三个数,设原数列为b－d,b－4,b＋d 由已知:三个数成等比数列即:(b－4)2=(b－d)(b＋d)b－d,b,b＋d＋32成等比数列即b2=(b－d)(b＋d＋32)解法三任意设三个未知数,设原数列为a1,a2,a3由已知:a1,a2,a3成等比数列a1,a2＋4,a3成等差数列得:2(a2＋4)=a1＋a3②a1,a2＋4,a3＋32成等比数列得:(a2＋4)2=a1(a3＋32)③说明将三个成等差数列的数设为a－d,a,a＋d;将三个成简化计算过程的作用．【例12】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a－d,a,a＋d,则第四个数由已知条方法二设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b－bq．方法三设第一个数与第二个数分别为_,y,则第三.第四个数依次为12－y,16－_．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法二设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b－bq所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法三设四个数依次为_,y,12－y,16－_．这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1．【例13】已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b－d,b,b＋d,由已知,b－d＋b＋b＋d=126∴b=42这三个数可写成42－d,42,42＋d．再设另三个数为a,aq,aq2．由题设,得解这个方程组,得a1=17或a2=68当a=17时,q=2,d=－26从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67．【例14】已知在数列{an}中,a1.a2.a3成等差数列,a2.a3.a4成等比数列,a3.a4.a5的倒数成等差数列,证明:a1.a3.a5成等比数列．证明由已知,有2a2=a1＋a3①即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)所以a1.a3.a5成等比数列．【例15】已知(b－c)logm_＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)设a,b,c依次成等差数列,且公差不为零,求证:_,y,z成等比数列．(2)设正数_,y,z依次成等比数列,且公比不为1,求证:a,b,c成等差数列．证明(1)∵a,b,c成等差数列,且公差d≠0∴b－c=a－b=－d,c－a=2d代入已知条件,得:－d(logm_－2logmy＋logmz)=0 ∴logm_＋logmz=2logmy∴y2=_z∵_,y,z均为正数∴_,y,z成等比数列(2)∵_,y,z成等比数列且公比q≠1∴y=_q,z=_q2代入已知条件得:(b－c)logm_＋(c－a)logm_q＋(a－b)logm_q2=0 变形.整理得:(c＋a－2b)logmq=0∵q≠1∴logmq≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a,b,c成等差数列。

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。

等比数列典型例题及详细解答(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·qn －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)G 为a ，b 的等比中项G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a .( × ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n －1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n －1. 5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9q ＝－13(舍去)， ∴S 5＝a 11－q 51－q ＝41－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2， 所以a 5a 7＝a 4a 6＝32. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式．解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1， 则可得S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)C (2)C 解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25， ∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C. (2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分] 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋12n 2n ＋1，n 为奇数，2＋12n 2n －1，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分] 当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分] 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分] 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧]1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n}也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1.2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 C解析 因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n . 方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)． 方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 015·1010B ．2 015·1011C ．2 016·1010D ．2 016·1011 答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2， 与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 11－q 2m1－q a 11－qm 1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q＝1－－253＝11. 8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)，∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2＝22n －12－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n . ∴S n ＝41－2n 1－2－n 2＋2n 2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)． 10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－449λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案 D解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.13．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 8 2n ＋1－2解析 ∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，∴S n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2. 14．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．答案 ①③解析 设{a n }的公比为q ，验证①fa n ＋1fa n ＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③fa n ＋1fa n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，故①③为“保等比数列函数”． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

等比数列中的数学问题解析知识点：等比数列的定义与性质知识点：等比数列的通项公式知识点：等比数列的前n项和公式知识点：等比数列的求和公式推导过程知识点：等比数列的通项公式的推导过程知识点：等比数列的单调性知识点：等比数列的增长速度知识点：等比数列的极限知识点：等比数列与等差数列的区别与联系知识点：等比数列在实际问题中的应用知识点：等比数列的图像与性质知识点：等比数列的衍生数列知识点：等比数列的分类知识点：正项等比数列知识点：负项等比数列知识点：零项等比数列知识点：等比数列的项的性质知识点：等比数列的项的单调性知识点：等比数列的项的增长速度知识点：等比数列的项的极限知识点：等比数列的项的周期性知识点：等比数列的项的奇偶性知识点：等比数列的项的整除性知识点：等比数列的项的质数性知识点：等比数列的项的素数性知识点：等比数列的项的完全平方性知识点：等比数列的项的立方性知识点：等比数列的项的双重性质知识点：等比数列的项的反射性质知识点：等比数列的项的对称性质知识点：等比数列的项的平移性质知识点：等比数列的项的旋转性质知识点：等比数列的项的缩放性质知识点：等比数列的项的镜像性质知识点：等比数列的项的其他性质知识点：等比数列的求和公式知识点：等比数列的求和公式的推导过程知识点：等比数列的求和公式的证明过程知识点：等比数列的求和公式的应用知识点：等比数列的求和公式的局限性知识点：等比数列的求和公式的拓展知识点：等比数列的求和公式的推广知识点：等比数列的求和公式的变体知识点：等比数列的求和公式的逆用知识点：等比数列的求和公式的逆推知识点：等比数列的求和公式的反用知识点：等比数列的求和公式的反推知识点：等比数列的求和公式的逆运算知识点：等比数列的求和公式的组合应用知识点：等比数列的求和公式的综合应用知识点：等比数列的求和公式的创新应用知识点：等比数列的求和公式的趣味应用知识点：等比数列的求和公式的教育应用知识点：等比数列的求和公式的教学应用知识点：等比数列的求和公式的学习应用知识点：等比数列的求和公式的练习应用知识点：等比数列的求和公式的考试应用知识点：等比数列的求和公式的竞赛应用知识点：等比数列的求和公式的研究应用知识点：等比数列的求和公式的探索应用知识点：等比数列的求和公式的创新应用知识点：等比数列的求和公式的发现应用知识点：等比数列的求和公式的发明应用知识点：等比数列的求和公式的创造应用知识点：等比数列的求和公式的设计应用知识点：等比数列的求和公式的构造应用知识点：等比数列的求和公式的制作应用知识点：等比数列的求和公式的应用案例知识点：等比数列的求和公式的应用实例知识点：等比数列的求和公式的应用例子知识点：等比数列的求和公式的应用题知识点：等比数列的求和公式的应用练习知识点：等比数列的求和公式的应用习题知识点：等比数列的求和公式的应用考题习题及方法：习题1：已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求该数列的前5项和。