2018-2019学年最新人教版八年级数学上册：角的平分线的判定-同步练习2及答案-精品试题

2018-2019学年广西河池市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A. 5.6×10−1B. 5.6×10−2C. 5.6×10−3D. 0.56×10−12.下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.3.下列因式分解正确的是（）A. 6x+9y+3=3(2x+3y)B. x2+2x+1=(x+1)2C. x2−2xy−y2=(x−y)2D. x2+4=(x+2)24.若分式x−2的值为0，则x的值等于（）x+3A. 0B. 2C. 3D. −35.等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（）A. 18cmB. 19cmC. 23cmD. 19cm或23cm6.点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是（）A. (3,−4)B. (−3,4)C. (−4,−3)D. (−4,3)7.如图，小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△ONP，这样就有∠AOP=∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（）A. SASB. ASAC. AASD. HL8.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE=ECB. AE=BEC. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE9.计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（）A. −2B. 2C. −4D. 410.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A. 2B. √3C. 4D. 2√311.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是（）A. −72B. −112C. 92D. 3412.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A. 140∘B. 100∘C. 50∘D. 40∘二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.当x______时，分式x+12x−1有意义．14.计算：6a2b÷2a=______．15.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______使得△ABC≌△DEF．16.各角都相等的十五边形的每个内角的度数是______度．17.如图，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=______．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）19.解分式方程：1x−2+2=1+x2−x．20.列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）21.因式分解：（1）a3b-ab3（2）（x+1）（x+3）+122.已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．23. 现有三个村庄A ，B ，C ，位置如图所示，线段AB ，BC ，AC 分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P ，使水站不仅到村庄A ，C 的距离相等，并且到公路AB ，AC 的距离也相等，请在图中作出水站P 的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）24. 先化简，再求值：（m +2-5m−2）×2m−4m−3，其中m =4．25. 把一个长为2m ，宽为2n 的长方形沿图1中的虚线平均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示） 方法1：______方法2：______（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式（m +n ）2，（m -n ）2，mn 之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a ，b 满足：a +b =3，ab =2，求a -b 的值．26.如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10-2，故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故正确；C、是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故错误．故选：B．根据轴对称图形概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】B【解析】解：（A）原式=3（2x+3y+1），故A错误；（C）x2-2xy-y2不是完全平方式，不能因式分解，故C错误；（D）x2+4不能因式分解，故D错误；故选：B．根据因式分解的方法即可求出答案．本题考查因式分解的方法，涉及提取公因式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键会判断多项式是否满足完全平方式以及平方差公式．4.【答案】B【解析】解：∵分式的值为0，∴x-2=0且x+3≠0，∴x=2．故选：B．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，∵5+5＞9，9-5＜5，∴能够成三角形，∴三角形的周长=5+5+9=19cm；当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，∵9+5＞9，9-5＜5，∴能够成三角形，∴三角形的周长=9+9+5=23cm；∴该三角形的周长是19cm或23cm．故选：D．由于等腰三角形的腰和底边的长不能确定，故应分两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．6.【答案】B【解析】解：∵两点关于y轴对称，∴横坐标为-3，纵坐标为4，∴点P关于y轴对称的点的坐标是（-3，4）．故选：B．根据关于y轴对称的点的特点解答即可．考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．7.【答案】D【解析】解：由题意知OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，OP=OP，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠AOP=∠BOP，故选：D．据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选：C．利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．9.【答案】D【解析】解：∵（x+2）2=x2+4x+4，∴“□”中的数为4．故选：D．由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．10.【答案】C【解析】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC 为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵=3，∴=3，∴x-y=-3xy，则原式====，故选：D．由=3得出=3，即x-y=-3xy，整体代入原式=，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．12.【答案】B【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选：B．分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．13.【答案】≠12【解析】解：由题意得：2x-1≠0，解得：x≠，故答案为：．根据分式有意义的条件是分母不等于零可得2x-1≠0，再解即可．此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．14.【答案】3ab【解析】解：原式=3ab．故答案是：3ab．根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解即可．本题考查了单项式的除法法则，正确理解法则是关键．15.【答案】∠A=∠D【解析】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．根据全等三角形的判定定理填空．本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．16.【答案】156【解析】解：∵十五边形的内角和=（15-2）•180°=2340°，又∵十五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=2340°÷15=156°．故答案为：156．根据多边形的内角和公式即可得出结果．本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n-2）•180°．17.【答案】50【解析】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ACD的周长为50，∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50，故答案为50．由垂直平分线的性质可求得AD=BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案．本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18.【答案】4cm【解析】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC 的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．19.【答案】解：方程两边同乘（x-2），得1+2（x-2）=-1-x，解得：x=23经检验x=23是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20.【答案】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x 万人，由题意得240x −30=2404x，解得x=6，经检验x=6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．【解析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，根据2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．21.【答案】解：（1）原式=ab（a2-b2）=ab（a-b）（a+b）；（2）原式=x2+3x+x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．【解析】（1）直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接去括号，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．22.【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，{CD=BD∠ADC=∠EDB AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS）．【解析】依据中线的定义，即可得到BD=CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．23.【答案】解：作AC的垂直平分线MN，作∠BAC有角平分线AD交直线MN于点P，点P即为所求．【解析】作AC的垂直平分线MN，作∠BAC有角平分线AD交直线MN于点P，点P 即为所求．本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．24.【答案】解：原式=(m+2)(m−2)−5m−2⋅2m−4 m−3=m2−9 m−2⋅2(m−2)m−3=(m+3)(m−3)m−2⋅2(m−2)m−3=2（m+3）．当m=4时，原式=2×（4+3）=14．【解析】先将代数式（m+2-）×进行化简，然后将m=4代入求解即可．本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键在于先将代数式（m+2-）×进行化简，然后将m=4代入求解．25.【答案】（m+n）2-4mn（m-n）2【解析】解：（1）方法一：阴影部分的面积=（m+n）2-4mn，方法二：阴影部分的面积=（m-n）2，故答案为：（m+n）2-4mn，（m-n）2；（2）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2-4mn=（m-n）2；（3）∵（a-b）2=（a+b）2-4ab，∴（a-b）2=32-4×2=1，a-b=±1．（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；（2）由阴影部分的面积相等即可得出三个代数式之间的等量关系；（3）将a+b=3，ab=2，代入三个代数式之间的等量关系，求出（a-b）2的值，即可求出a-b的值．本题主要考查完全平分公式，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．26.【答案】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵∠PAC=20°，∴∠PAD=20°，∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°，(180°−∠BAD)=40°，∴∠D=12∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°．（3）结论：CE+AE=BE．理由：在BE上取点M使ME=AE，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，(180°−∠BAC−2x)=60°−x，∴∠D=12∴∠AEB=60-x+x=60°．∴△AME为等边三角形，易证：△AEC≌△AMB，∴CE=BM，∴CE+AE=BE．【解析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据∠AEB=∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；（3）结论：CE+AE=BE．在BE上取点M使ME=AE，只要证明△AEC≌△AMB 即可解决问题；本题考查作图-轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

八年级数学(上)月考(二)(测试范围:第11章三角形～第12章全等三角形 参考时间:120分钟，满分:120分)一．选择题(每小题3分，共30分)1．若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ） A ．8 B ．8 C ．2 D ．1 2．一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．如图，△ABC 平移得到△DEF ，若∠DEF =35°，∠ACB =50°，则∠A 的度数是（ ） A ．65° B ．75° C ．95° D ．105°第3题图F第4题图第5题图4．如图，△ABE ≌△ACF ，若AB =6，AE =2，则EC 的长度是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．35．如图，CD 平分含30°三角板的∠ACB （其中∠A =30°，∠ACB =90°），则∠1等于（ ） A ．90° B ．100° C ．105° D ．110° 6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A ．AB =AC B ．∠B =∠C C ．BD =CD D ．∠BDA =∠CDA第6题图B第8题图D7．如图，已知∠A =80°，∠1=20°，∠2=40°，则∠BOC 等于（ ）A ．95°B ．120°C ．135°D ．140°8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，其中∠C =90°，∠B =45°，∠E =30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．25°D ．30°9．△ABC 是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出与△ABC 全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC ）的个数有（ ）A ．４个B ．３个C ．２个D ．１个第9题图B10．如图，点A 的坐标为（４，０），点B 为y 轴的负半轴上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt △OBF 、等腰Rt △ABE ，连接EF 交y 轴于P 点，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．PB 的长度随点B 的运动而变化 二．填空题（每小题3分，共18分） 11．三角形的外角和等于 度．12．如图，△ABC ≌△DEC ，若∠ACB =40°，∠ACE =20°，则∠ACD 的度数是 度．第12题图第13题图第14题图B13．如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE ，∠AED ，∠EDC 的外角，则∠1＋∠2＋∠3= 度．14．如图，∠AOB =90°，OA =OB ，直线l 经过点O ，分别过A ，B 两点作AC ⊥l 交l 于点C ，BD ⊥l 交l 于点D ．已知AC =7，BD =4，则CD = ．15．如图，在平面直角坐标系中，OB =BC ，∠B =90°，B 点的坐标为（2，1），则C 点的坐标为 ．16．如图，△ABD 中，AB =AD ，AB ⊥AD ，过顶点B 作直线l ，过A 、D 作l 的垂线，垂足分别为点E 、G ，若BE =5，则AE ＋DG 的值为 ． 三．解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）已知等腰三角形的两边长为5cm 和2cm ，求它的周长． 18．（本题8分）如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ，BC =CD ．求证：AC=ED19．（本题8分）如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，EF 平分∠AED ，CF 平分∠BCD ，若∠EDC =80°，求∠EFC 的度数．20．（本题8分）如图，已知C 、D 在∠AOB 的平分线上，DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥BC 于N ，DM =DN ．求证：OA =OB ．21．（本题8分）如图，BD 平分∠MBN ，A 、C 分别为BM 、BN 上的点，且BC ＞B A ，E 为BD 上的一点，AE =CE ，求证：∠BAE ＋∠BCE =180°．NC22．（本题10分）如图1，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°． (1)求证：∠B ＋∠D =180°；（2）如图2，若BM 、DN 分别平分∠ABC 的外角、∠ADC 的外角．求证:BM ∥DN ．图1FE23．（本题10分）已知点P 为∠EAF 平分线上一点，PB ⊥AE 于B ，PC ⊥A F 于C ，点M 、N 分别是射线AE 、AF 上的点，且PM =PN ．（1）如图1，当点M 在线段AB 上，点N 在线段AC 的延长线上时，求证：BM =CN ； （2）在(1)的条件下，直接写出线段AM 、AN 与AC 之间的数量关系．（3）当点M 在线段AB 的延长线上，点N 在线段AC 上时（如图2），若CA ：PC =2：1，PC =4，求四边形ANPM 的面积．图1E 图224．（本题12分）在平面直角坐标系中，点A （0，a ），B （b ，0）分别在y 轴，x 轴正半轴上，a 、b满足2(16)ab -=0．（1）填空：a =_______，b =_______，∠OAB 的度数是_______；（2）如图1，已知C （0，1），在第一象限内存在点D ，CD 交AB 于E ，使AE 为△ACD 的中线，且ACD S ∆=3，求点D 的坐标；（3）如图2，已知P (2，0)，连接P A ，在AB 上一点F ，满足∠APB =∠FPO ，连接OF ，求PA PFFO-式子的值．1-5CCCCC 6-10CDBAA 11． 360 12． 60° 13． 180° 14 3 ． 15．（1，3） ． 16． 5 ． 17．解：① 若腰长为5cm ，底边长为2cm ，则周长为12cm ．②若腰长为2cm ，底边长为5cm ，∵2＋2＜5， ∴不合题意， ∴周长为12cm ． 18．证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B =∠DCE ．证△ABC ≌△ECD (SAS)，AC =ED ． 19．解：∵AE ∥BC ， ∴∠A ＋∠B =180°，∵多边形ABCDE 是五边形，∠EDC =80°， ∴∠AED ＋∠BCD =540°－(∠A ＋∠B ＋∠EDC )=540°－(180°＋80°)=280°， ∵EF 平分∠AED ，CF 平分∠BCD ， ∴∠DEF ＋∠DCF =12 (∠AED ＋∠BCD )=12×280°=140°， ∴∠EFC =360°－(∠DEF ＋∠DCF ＋∠EDC )=360°－（140°＋80°）=140°． 20．证：∵ DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥BC 于N ，DM =DN ， ∴∠ACD =∠BCD ，180°－∠ACD =180°－∠BCD ， 即∠ACO=∠BCO ，∠AOC =∠BOC ，OC =OC ， ∴△AOC ≌△BOC ，∴OA =OB ． 21．证：过点E 分别作EF ⊥BM 于F ，EG ⊥BC 于G ，证△AEF ≌△CEG ，∠F AE =∠BCE ， ∵∠BAE ＋∠F AE =180°，∴∠BAE ＋∠BCE =180°． 22．证：（1）∠A =∠C =90°，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D =360°－∠A －∠C =180°． （2）连接BD ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∴∠FDC ＋∠EBC =180∠，∵ BM 、DN 分别平分∠ABC 的外角、∠ADC 的外角，∴∠NDC ＋∠CBM =90°， ∴∠NDC ＋∠CDB ＋∠BCD ＋∠MBC=180°，∴BM ∥DN ．23．解：（1）证Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL)， ∴BM =CN ；（2）AM ＋AN =AM ＋CN ＋AC =AM ＋BM ＋AC =AB ＋AC =2AC ； （3）∵AC :PC =2:1，PC =4，∴AC =8， ∴AB =AC =8，PB =PC =4， ∴ANPM S 四边形=2ABP S =32．24．解（1）4，4，45°； （2）过E 作EF ⊥AC 于F ， ∵ AE 是△ACD 的中线， ∴ACE S ∆=12ACD S ∆=12×3=32，又12ACE S AC EF ∆=∙， ∴EF =1，在Rt △AEF 中，∠F AE =45° ∴∠AEF =45°，∴AF =FE =1，∴CF =2，方法一：∵C （0，1），E （1，3），将线段CE 平移至线段ED ，得D （2，5）， 方法二：过D 作DH ⊥EF 于H ，则Rt △DHE ≌Rt △CFE ， ∴DH =CF =2，EH =EF =1，∴FH =2，∴D （2，5）． （3）原式=1，证明：延长P F 至E ，使PE =P A ，连接EB ， ∵P （2，0），B (4，0)，∴PB =PO ，∴∠APB －∠APF =∠FPO －∠APF ，即∠APO =∠EPB ， ∴△APO ≌△EPB ，∴EB =AO =BO ，∠EBP =∠AOP =90°，又∠ABO =45°， ∴∠OBF =∠EBF =45°，又BF 公共,∴△OBF ≌△EBF ，∴FO =EF ，即P A =PE =PF ＋EF =PF ＋OF ， ∴PA PFFO-=1．。

十一初2018-2019学年度年八年级数学周练（二）一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）1．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD （ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD2．如图，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ，连接BD 、CD 并延长交AC 、AB 于E 、F 点，则此图中全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 A BC EDODEFCBA OABC D B′D′C′A′O′A BCFED第1题图 第2题图 第3题图 第4题图3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS4．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，AD 交BE 于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 等于（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．60°5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为60和35，则△EDF 的面积为（ ）A ．2.5B ．5.5C ．7.5D ．12.5A BCEFDGA BCED OABCFE OABCDM第5题图第6题图第7题图第8题图 6．如图，△ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于点O ，且∠A ＝60°，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠BOC ＝120°B ．BC ＝BE ＋CD C ．OD ＝OE D ．OB ＝OC 7．如图，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与BF 交于点O ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠EOB 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°8．如图，BM 是△ABC 的角平分线，D 是BC 边上的一点，连接AD ，使AD ＝DC ，且∠BAD ＝120°，则∠AMB ＝（ ）A ．30°B ．25°C ．22.5°D ．20°9．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ，在结论（1）∠EFD ＝∠BCD ；（2）AD ＝CD ；（3）CG ＝EG ；（4）BF ＝BC 中，一定成立的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ABC FEDG321ABCF ED G第9题图第10题图10．如图，在△ABC 中AD 平分∠BAC ，AB ＝AD ，∠1＝∠2，BE 交AD 延长线于E ，连EC ，过A 作AF ⊥EC于F 交BC 于G ，下列结论：①∠AEB ＝∠ACB ；②BE ＝CD ；③S △AGC ＝12AG •EF ；④∠2＝2∠3，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是 ． 12．如图，已知△ABC 的三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且CD ＝BC ，若∠BAC ＝80°，则∠BOD 的度数为 ．13．已知，如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC ，使点C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A ＝ ．ABC DOAB C ED AB C EDBCDABCF E D第12题图 第13题图 第14题图第15题图第16题图14．某小区有一块直角梯形花园，测量AB ＝20米，∠DEC ＝90°，∠ECD ＝45°，则该花园面积为 平方米．15．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝76°，∠BDC ＝28°，则∠DBC 的大小为 ． 16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，点D 是AB 的中点，E 、F 在射线AC 与射线CB 上运动，且满足AE ＝CF ，当点E 运动到与点C 的距离为1时，则△DEF 的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．(8分) 如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠1＝∠2．求证：(1)△ABE ≌△CBD ；(2)∠1＝∠3．ABC FE D13218．(8分) )如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，G 为EF 的中点．求证：AG ⊥EF ．ABCF ED G19．(8分) 如图，已知，等腰Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，等腰Rt △EOF 中，∠EOF ＝90°，连接AE 、BF ．求证：(1) AE ＝BF ；(2) AE ⊥BF ．（其中OA ＝OB ，OE ＝OF ）AB EFO20．(8分) 如图，已知，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． 求证：(1)CD ＝BF ；(2)AD ⊥CF ．AB C FED G21．(8分) 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，∠B ＝∠CF D ．证明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2E B ．A BCFE D22．(10分) 已知△ABC ，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD 、CF 交于点E ．(1) 若BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，如图1所示，试说明∠BAC ＋∠BEC ＝180°；(2) 若BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，如图2所示，试说明此时∠BAC 与∠BEC 的数量关系； (3) 在（2）的条件下，若∠BAC ＝60°，试说明：EF ＝E D ．A BCEFD EFD CBA23．(10分)(1) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF＝12∠BA D．求证：EF＝BE＋FD；(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BA D．（1）中的结论是否仍然成立？(3) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝12∠BA D．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．AB C FE DAB CFEDAB CFED24．(12分) 已知，等腰Rt△ABC，BC＝BA，∠ABC＝90°，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．(1) 如图1所示，若A的坐标是（－3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；(2) 如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；(3) 如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．图1图2图3一、选择题1D 2．C 3．A 4.A 5．D 6．D 7.B 8．A 9．B．10D二、填空题 11．1＜m ＜4 12．100° 13.30° 14．200 15．16° 16．52或132解：①E 在线段AC 上， ∵在△ADE 和△CDF 中， AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，阿 ∴△ADE ≌△CDF ，（SAS ）， ∴同理△CDE ≌△BDF ，∴四边形CEDF 面积是△ABC 面积的一半， ∵CE ＝1，∴CF ＝4－1＝3， ∴△CEF 的面积＝12CE •CF ＝32， ∴△DEF 的面积＝12×－32＝52． ②E '在AC 延长线上，E′F′AB C FED∵AE '＝CF '，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴CE '＝BF '，∠ACD ＝∠CBD ＝45°，CD ＝AD ＝BD ＝DCE '＝∠DBF '＝135°， ∵在△CDE '和△BDF '中，CD BDDCE DBF CE BF =⎧⎪∠'=∠'⎨⎪'='⎩，∴△CDE '≌△BDF '（SAS ）， ∴DE '＝DF '，∠CDE '＝∠BDF '，∵∠CDE '＋∠BDE '＝90°，∴∠BDE '＋∠BDF '＝90°，即∠E 'DF '＝90°， 又由勾股定理可求得DE '2＝13，∴S △E 'DF '＝12DE '2＝132． 故答案为52或132．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CBE ＝∠2＋∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ， 在△ABE 和△CBD 中， AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBD （SAS ）． （2）∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠A ＝∠C ， ∵∠AFB ＝∠CFE ， ∴∠1＝∠3． 18．证明：∵∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°． ∵AD ⊥BC ，∴∠DBF ＋∠BFD ＝90°． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ． ∴∠AEB ＝∠DBF ． 而∠DBF ＝∠AFE ， ∴∠AEB ＝∠AFE ． ∴AE ＝AF ． 又G 为EF 的中点， ∴AG ⊥EF ． 19．证明：（1）在△AEO 与△BFO 中， ∵Rt △OAB 与Rt △OEF 等腰直角三角形∴AO ＝OB ，OE ＝OF ，∠AOE ＝90°－∠BOE ＝∠BOF ． ∴△AEO ≌△BFO （SAS ）． ∴AE ＝BF ．（2）如图，延长AE 交BF 于D ，交OB 于C ， 则∠BCD ＝∠ACO ．由（1）知：∠OAC ＝∠OBF ， ∴∠BDA ＝∠AOB ＝90°． ∴AE ⊥BF ．COFE B AD20．（1）证明：∵AC ∥BF ，且∠ACB ＝90°，∴∠CBF ＝90°． 又AC ＝BC ，∴∠DBA ＝45°．∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠BEF ＝∠DBF ＝90°．∴∠BDE ＝∠BFE ＝45°．∴BD ＝BF ． 又D 为BC 中点，∴CD ＝BD ．∴CD ＝BF ．（2）证明：由（1）可知CD ＝BF ，且CA ＝CB ，∠ACB ＝∠CBF ＝90°． 在△ACD 和△CBF 中， CD BF ACD CBF AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△CFB （SAS ）． ∴∠CAD ＝∠BCF ．∵∠ACB ＝90°，∴∠CAD ＋∠CDA ＝90°．∴∠BCF ＋∠CDA ＝90°．∴∠CGD ＝90°． ∴AD ⊥CF ．（3）解：由（2）可知△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ．由（1）可知AB 垂直平分DF ，∴AD ＝AF ．∴AF ＝CF ．∴△ACF 为等腰三角形． 21证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝∠DAE ．由已知有：∠ADC ＝90°－∠CAD ，∠ADE ＝90°－∠DAE ，∴∠ADC ＝∠ADE ． 在△ACD 和△AED 中， CAD DAE AD ADADC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACD ≌△AED （ASA ）． ∴CF ＝EB ．（2）由（1）知FC ＝EB ，AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋EB ＝AF ＋FC ＋EB ＝AF ＋2EB ． 22．解：（1）∵BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠DCE ＋∠DEC ＝∠DCE ＋∠F AC ＝90°． ∴∠DEC ＝∠BAC ，∠DEC ＋∠BEC ＝180°． ∴∠BAC ＋∠BEC ＝180°．（2）∵BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ， ∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∠BEC ＝180°－（∠EBC ＋∠ECB ）＝180°－12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－12（180°－∠BAC ）＝90°＋12∠BAC ． （3）如图，作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠BEC ＝90°＋12∠BAC ＝120°．∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°．∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°． 在△FBE 与△EBM 中， FBE EBM BE BEFEB MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FBE ≌△EBM ． ∴EF ＝EM ． 同理DE ＝EM ， ∴EF ＝DE ．MA BCD F E23．证明：（1）延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ．123GD E FCB A∵∠ABG ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2． ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EAF ＝12∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ． 又∵AE ＝AE ， ∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG ＝EF ． ∵EG ＝BE ＋BG ， ∴EF ＝BE ＋FD ．（2）（1）中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．（3）结论EF ＝BE ＋FD 不成立，应当是EF ＝BE －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．G DEF C B A∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ． ∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ． ∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ． ∵EG ＝BE －BG ，∴EF ＝BE －FD ．24．解：（1）如图1，过点C 作CD ⊥y 轴，CE ⊥x 轴，则四边形CDOE 为矩形，∵A 的坐标是（－3，0），点B 的坐标是（0，1），∴OA ＝3，OB ＝1． ∵CD ⊥y 轴，∴∠CDB ＝90°，∠DCB ＋∠CBD ＝90°． ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABO ＋∠CBD ＝90°．∴∠ABO ＝∠DCB ．在△ABO 和△BCD 中，90ABO DCBAOB BDC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCD ．∴BO ＝CD ＝1，OA ＝DB ＝3．∴DO ＝BO ＋BD ＝4，EO ＝CD ＝1．∴C （－1，4）． （2）OA ＝OD ＋CD ．∵CD ⊥y 轴，∴∠CDB ＝90°，∠DCB ＋∠CBD ＝90°． ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABO ＋∠CBD ＝90°．∴∠ABO ＝∠DCB ．在△ABO 和△BCD 中，90ABO DCBAOB BDC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCD ．∴BO ＝CD ，OA ＝DB ．∵BD ＝OB ＋OD ，∴OA ＝CD ＋OD ． （3）AE ＝2CF ．如图3，延长CF ，AB 相交于G ，证明CF＝FG，△ABE≌△CBG．∵x轴恰好平分∠BAC，∴∠CAF＝∠GAF．∵CF⊥x轴，∴∠AFE＝∠AFG＝90°．在△AFC和△AFG中，CAF GAFAF AFAFC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFC≌△AFG．∴CF＝GF．∵∠AEB＝∠CEF，∠ABE＝∠CFE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG．在△ABE和△CBG中，BAO BCGAB CBABE CBG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CBG．∴AE＝CG．∴AE＝CF＋GF＝。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？【答案】（1）△ADC≌△CEB（2）AD＝BE+DE【解析】【分析】（1）结论：△ADC≌△CEB．根据AAS证明即可；（2）由三角形全等的性质即可解决问题；【详解】解：（1）结论：△ADC≌△CEB．理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠CAD＝∠ECB，∵AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．72．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q 在线段AC上由点A向点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．（1）经过2秒后，求证：∠DPQ=∠C．（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）经过1秒或74秒或85秒时，△CPQ是等腰三角形．【解析】【分析】（1）经过1秒后，PB=2m ，PC=8m ，CQ=6m ，由已知可得BD=PC ，BP=CQ ，∠ABC=∠ACB ，即据SAS 可证得△BPD ≌△CQP ，然后根据全等三角形的性质及三角形外角的性质即可解答；（2）可设点Q 的运动时间为ts △CPQ 是等腰三角形，则可知PB=2tcm ，PC=8-3tcm ，CQ=xtcm ，据（1）同理可得当BD=PC ，BP=CQ 或BD=CQ ，BP=PC 时△CPQ 为等腰三角形，从而求得t 的值．【详解】（1）当P ，Q 两点分别从B ，A 两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm ，AQ=4×2=8cm ，则CP=BC ﹣BP=10﹣4=6cm ， CQ=AC ﹣AQ=12﹣8=4cm ，∵D 是AB 的中点，∵BD=12AB=12×12=6cm ， ∵BP=CQ ，BD=CP ，又∵∵ABC 中，AB=AC ，∵∵B=∵C ，在∵BPD 和∵CQP 中，BP CQ B C BD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BPD ∵∵CQP （SAS)∵∵DPB=∵PQC ，∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC ，∴∵DPQ=∵C ；（2）设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，有BP=2t，AQ=4t∵t的取值范围为0＜t≤3，则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，∵∵CPQ的周长为18cm，∵PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）=6t﹣4，要使∵CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：∵当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t，解得：t=1．∵当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t，解得：t=74；∵当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t，解得：t=85，三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或74秒或85秒时，∵CPQ是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．73．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射线AD上一动点．（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，当点P在线段AD上，且△PCD是等腰三角形时，求AP长．（2）如图②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，当点P在AD延长线上时，探究PA，PB，PC的数量关系，并说明理由．（3）类比探究：如图③，若∠ACB＝120°，∠APC＝30°，当点P在AD 延长线上时，请直接写出表示PA，PB，PC的数量关系的等式．【答案】（1）满足条件的AP的值为2.8或4或5；（2）PA﹣PB PC．理由见解析；（3）PA﹣PB PC．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．利用面积法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下来分三种情形解决问题即可；（2）结论：PA﹣PB PC．如图②中，作EC⊥PC交AP于E．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；（3）结论：PA﹣PB．如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；【详解】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．在Rt△ACD中，AD10，∵12×AC×DC＝12×AD×CH，∴CH＝245 AC CDAD⨯=，∴DH 185，①当CP＝CD，∵CH⊥PD，∴PH＝DH＝185，∴PD＝365，∴PA＝AD﹣PD＝10﹣365＝145．②当CD＝DP时，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，③当CP＝PD时，易证AP＝PD＝5，综上所述，满足条件的AP的值为2.8或4或5．（2）结论：PA﹣PB PC．理由：如图②中，作EC⊥PC交AP于E．∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°，∴CE＝CP，PE PC，∵∠ACB＝∠ECP＝90°，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC，∴PA﹣PB．（3）结论：PA﹣PB PC．理由：如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．∵∠CEP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CEP＝∠CPE，∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，则PE，∵∠ACB＝∠ECP，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．74．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，DE垂直平分BC，连接BD．（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到BA，BC的距离相等．【答案】（1）如图所示，DF即为所求，见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；（2）根据角平分线的性质解答即可．【详解】（1）如图所示，DF即为所求：（2）∵△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠C＝40°，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，即BD是∠ABC的平分线，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，即点D到BA，BC的距离相等．【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键．75．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B，C的对应点分别是D，E），当点E在BC边上时，连接BD，若∠ABC＝30°，∠BDE＝10°，求∠EAC．【答案】∠EAC＝100°．【解析】【分析】由旋转可得，△ABC≌△ADE，进而得出∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，进而得到∠ADB＝40°＝∠ABD，∠BAD＝100°，再根据∠BAC＝∠DAE，即可得到∠EAC＝∠DAB＝100°．【详解】由旋转可得，△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，∵∠BDE＝10°，∴∠ADB＝40°＝∠ABD，∴∠BAD＝100°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠DAB＝100°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．76．已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图l，求证：AC﹣AB＝2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB，求AN的长．【答案】(1)见解析.【解析】【分析】（1）延长BE交AC于F．由AD平分∵BAC得∵1＝∵2，再由BE∵AD及公共边AE可证∵AEB∵∵AEF，由全等的性质可知AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，则BF＝2BE；由三角形外角和可知∵4＝∵5+∵C，则∵ABC＝∵3+∵5=∵4+∵5=2∵5+∵C，再由∵ABC＝3∵C可知∵5＝∵C，则CF＝BF＝2BE，据此即可证明；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，易证∵AHB∵∵AKM，据此可证明∵BCA∵∵MCA，可得∵CAB＝∵CAM＝90 ；再由勾股定理计算可得AE=BE=1，由题干条件及上问证明可得AB=AD，从而得到MD⊥BC，进而得到∵NCD＝∵BMD；再通过∵AEB是直角等腰三角形可证明∵MDC也是直角等腰三角形，可证明∵MBD∵∵CND，则可通过计算AC和CN的长度，通过AN＝AC﹣CN 进行计算.【详解】解：（1）延长BE交AC于F．∵AD平分∵BAC，∵∵1＝∵2．∵BE∵AD，∵∵AEB＝AEF＝90°．∵∵1＝∵2，∵AEB＝AEF＝90°，AE=AE，∵∵AEB∵∵AEF（ASA）∵AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，∵BF＝2BE．∵∵4＝∵5+∵C，∵∵3＝∵5+∵C，∵∵ABC＝∵3+∵5，∵∵ABC＝∵5+∵C+∵5＝2∵5+∵C＝3∵C，∵∵5＝∵C，∵CF＝BF＝2BE．∵AC﹣AF＝FC，∵AC﹣AB＝2BE；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，∵∵ACH＝∵ACK，∵AH＝AK，∵AB＝AM，∵∵AHB∵∵AKM，∵∵ABH＝∵AMK，∵CB＝CM，∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，∵∵BCA∵∵MCA，∵∵CAB＝∵CAM＝90 ，∵BE∵AD，∵∵AEB＝90°．∵BE＝1，AB，由勾股定理，得∵AE＝1，∵AE＝BE，∴∵BAE=∵ABE由上问证明可知，∵BAN=∵CAD，∵EBD=∵ACB，∴∵ABD=∵ABE+∵EBD,∵ADB=∵CAD+∵ACB，∴∠ABD=∠ADB,∵AB=AD，∵AM＝AB，∵AD＝AB＝AM，∵∵DBM是直角三角形，∵∵BDM＝∵CDM＝90°．∵∵MBD+∵NCD＝90°，∵MBD+∵BMD=90°，∵∵NCD＝∵BMD，∵BE∵AD，AE＝BE，∵∵BAE＝∵ABE＝45°．∵AD平分∵BAC，∵∵BAC＝2∵BAD＝90°，∵∵ABC+∵ACB＝90°．∵∵ABC＝3∵ACB，∵∵ACB＝22.5°，∵∵BCM＝45°，∵∵DMC＝45°，∵∵BCM＝∵DMC，∵DM＝DC．∵∠BDM=∠CDM=90°，DM=DC，∵BMD＝∵NCD，∵∵MBD∵∵CND（ASA），∵CN＝BM＝2AB＝，∵AC＝2BE+AB＝∵AN＝AC﹣CN＝2．【点睛】本题有一定难度，理清如何通过证明三角形全等一步一步将求解AN长度转化为用AC长度减去CN长度对理解此类题型有较大帮助.77．如图1，在平面直角坐标系中，已知A(m，n)，且满足|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B，过A作AC⊥x轴，垂足为C，点D、E 分别是线段AB、AC上的动点，且保持∠DOE＝45°．(1)点A的坐标为，∠BOD+∠EOC＝；(2)设BD＝a，CE＝b，DE＝c①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，易证△BOD≌△COE(SAS)，从而可推出∠BOD＝∠EOC＝22.5°和OA垂直平分DE，试证明：c＝2a；①如图2，当a≠b时，试探究a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2，2)，45°；(2)①证明见解析；②结论：a+b＝c．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用非负数的性质求出m、n即可解决问题；（2）①想办法证明∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°，BD＝DF，DF＝DF，EC＝EF即可解决问题；②结论：a+b＝c．如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．只要证明△ODM≌△ODE即可解决问题；【详解】(1)∵|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，又∵|m﹣2|≥0，(n﹣2)2≥0，∴m﹣2＝0，n﹣2＝0，∴m＝n＝2，∴A(2，2)，∵∠BOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠BOD+∠EOC＝90°﹣45°＝45°，故答案为(2，2)，45°；(2)①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，∵BD＝CE，BO＝OC，∠OBD＝∠OCE，∴△OBD≌△OCE，∴∠BOD＝∠ECC，OD＝OE，∵∠AOB＝∠AOC＝45°，∠BOD+∠EOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°．∴OA垂直平分相等DE，∴DF＝FE，∵∠BOD＝∠DOF，DB⊥OB，DF⊥OF，∴BD＝DF，∵BD＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+EC，∴c＝2a．②结论：a+b＝c．理由：如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．∵∠DOM＝∠DOB+∠BOM＝∠DOB+∠EOC＝45°，∠DOE＝45°，∴∠DOM＝∠DOE，∵OD＝OD，OM＝OE，∴△ODM≌△ODE，∴DE＝DM，∵DM＝DB+BM＝BD+EC，∴DE＝BD+EC，∴c＝a+b．【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．78．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．(1)证明：△ABC≌△ADE；(2)若AC＝12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)72.【解析】【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，即可得出答案；【详解】(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD．在△ABC 和△ADE 中，,AB AD BAC EAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE (SAS )．(2)∵△ABC ≌△ADE ，∴S △ABC ＝S △ADE ，∴S 四边形ABCD 2121272ABC ACD ADE ACD ACE SS S S S ==++⨯===． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD 的面积是解此题的关键，难度适中．79．如图，A ，B ，C ，D 是同一条直线上的点，AC ＝BD ，AE ∥DF ，∠1＝∠2．求证：△ABE ≌△DCF ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠A ＝∠D ，再由AC ＝BD 得出AB ＝CD ，进而利用全等三角形的判定定理ASA 即可证明△ABE ≌△DCF ．【详解】∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝BD ，∴AB ＝CD ，在△ABE 和△DCF 中，12,A D AB DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DCF (ASA )．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．80．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD ＝CD ，AB ＝CB ，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；①AO ＝CO ＝12AC ；①△ABD ≌△CBD ；①若AC ＝6，BD ＝8，则四边形ABCD 的面积等于48；其中正确的结论有_____．(用序号表示)【答案】∵∵∵【解析】【分析】先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断．【详解】在△ABD 与△CBD 中，,AD CD AB BC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CBD (SSS )，故③正确；∴∠ADB ＝∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，,AD CD ADB CDB OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△COD (SAS )，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，AO ＝OC ，∴AC ⊥DB ，故①②正确；四边形ABCD 的面积 111168242222ADB BDC S S DB OA DB OC AC BD =+=⨯+⨯=⋅=⨯⨯=， 故④错误；故答案为①②③【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABD 与△CBD 全等和利用SAS 证明△AOD 与△COD 全等．。

第十二章全等三角形第Ⅰ卷（选择题共30 分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等2. 如图所示，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）3.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE4. 在△ABC和△A/B/C/中,AB=A/B/,∠B=∠B/,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A/B/C/,则补充的这个条件是( )A．BC=B/C/B．∠A=∠A/C．AC=A/C/D．∠C=∠C/5.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C,D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A,C,E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）第3题图第5题图第7题图第2题图第6题图A B C DA.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于 点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④10、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 二、填空题（每题3分，共21分）11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌ ；应用的判定方法是 ．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为 ．13．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm ，则点Ｄ到ＡＣ的距离为 ．14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝ ，根据 可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝ ． 15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”说明 ≌ 得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“ ”证明△ＡＯＢ≌ 得到ＯＢ＝ＯＣ． 16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 ．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ． 三、解答题（共29分）18. （6分）如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理Ｂ Ｃ ＤＡ 图6 D OCBA 图8 A D CB图7 第9题图 图10由．解： ∵AD 平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义） 在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD （ ） 19． （8分）如图，已知△≌△是对应角．（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1 cm ，FH=1.1 cm ，HM=3.3 cm ，求MN 和HG 的长度.20．（7分）如图，A 、B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 点出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E 、C 、A 在同一直线上，则DE 的长就是A 、B 之间的距离，请你说明道理．21．（8分）已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．第19题图 DCBA四、解答题（共20分）22．（10分）已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．23．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证: ∠5=∠6．CA12章·全等三角形（详细答案）一、选择题CBDCD BDCDC二、填空题11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC16、相等17、○3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B解：(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF－FH=3.3－1.1=2.2cm 20、解：∵DE∥AB∴∠A=∠E在△ABC与△CDE中∠A=∠EBC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明：∵AB∥DE∴∠A=∠EDF∵BC∥EF∴∠ACB=∠F∵AD=CF∴AC=DF 在△ABC与△DEF中∠A=∠EDFAC=DF∠ACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)四、解答题22、证明：①∵ＢＥ⊥ＣＤ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°在Ｒｔ△ＢＥＣ与Ｒｔ△ＤＥＡ中ＢＣ＝ＤＡＢＥ＝ＤＥ∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ（ＨＬ）②∵Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＥ∵∠ＤＥＡ＝９０°∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝９０°∴∠ＤＦＣ＝９０°∴ＤＦ⊥ＢC23、证明：在△ABC 与△ADC 中 ∠1=∠2AC=AC ∠3=∠4∴△ABC ≌△ADC(ASA) ∴CB=CD在△ECD 与△ECB 中CB=CD ∠3=∠4 CE=CE∴△ECD ≌△ECB(SAS) ∴∠5=∠6高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟 分数：50分 得分：________ 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )A ．36cm 2B ．40cm 2C ．90cm 2D ．36cm 2或40cm 2第5题图 第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )A ．8个B ．6个C ．4个D ．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．第8题图 第9题图 第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一 简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )第1 题图 第2题图 第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( )3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( )6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( )7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( )◆类型二 简单组合体的三视图8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( )10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。

2018-2019学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面四个汽车标志图标中，不是轴对称图形的为（）A.B.C.D.2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1，2，3B. 3，4，5C. 5，6，11D. 4，5，103.已知a＞b，则下列不等式变形正确的是（）A. B. C. D.4.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A.B.C.D.5.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的是（）A. ，B. ，C. ，D.6.如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，则从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A. B. C. D.7.如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.将一个有45°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为5cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得∠DBC=30°，则三角板的最大边的长为（）A. 5cmB. 10cmC.D.9.有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.某次知识竞赛试卷有20道题，评分办法是答对一道记5分，不答记0分，答错一道扣2分，小明有3道题没答，但成绩超过60分，则小明至少答对了（）道题．A. 13B. 14C. 15D. 1611.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为（）A. B. 5 C. D.12.在等腰三角形△ABC（AB=AC，∠BAC=120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是______．14.若点A（2，n）在x轴上，则点B（n+2，n-5）位于第______象限．15.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是______．16.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≥4的解是______．17.如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．18.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE=90°，连结CE．当CE为最小值时，此时△ACE的面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解不等式组＞＜，并把不等式组的解在数轴上表示出来．20.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，AD⊥CD于点D，AE⊥BE于点E，BE，CD交于点O．求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）OD=OE．21.某两个城中村A，B与两条公路l1，l2位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹）22.如图，一次函数y=-x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点A、B的坐标；（2）求过B、C两点的直线的解析式．23.浙江实施“五水共治“以来，越来越重视节约用水，某地对居民用水按阶梯水价方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元），请根据图象信息，回答下列问题．（1）请写出y与x的函数关系式；（2）若某个家庭有5人，响应节水号召，计划控制1月份的生活用水费不超过76元，则该家庭这个月最多可以用多少吨水？24.如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE=DE．25.定义：若以三条线段a，b，c为边能构成一个直角三角形，则称线段a，b，c是勾股线段组．（1）如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组，若AB=12，AM=3，求MN的长；（2）如图②，△ABC中，∠A=18°，∠B=27°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：A．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：A．∵1+2=3，∴1，2，3不能组成三角形；B．∵3+4＞5，∴3，4，5能组成三角形；C．∵5+6=11，∴5，6，11不能组成三角形；D．∵4+5＜10，∴4，5，10不能组成三角形；故选：B．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．3.【答案】D【解析】解：A、不等式的两边都乘以不为0的数，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都减去2，不等号的方向不改变，故D正确；故选：D．根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型，故选：A．根据三角形按角分类的方法一一判断即可．本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】D【解析】解：“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题为∠1=∠2=45°．故选：D．写反例时，满足条件但不能得到结论．本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6.【答案】B【解析】解：A正确；理由：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；B不正确，由这些条件不能判定三角形全等；C正确；理由：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；D正确；理由：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；故选：B．由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A正确；由全等三角形的判定方法得出B不正确；由全等三角形的判定方法AAS证出△ABD≌△ACD，得出C正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出D正确．本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵一次函数经过二、四象限，∴k＜0，∵一次函数与y轴的交于正半轴，∴b＞0．故选：C．根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．8.【答案】C【解析】解：如图：作BE⊥CE与E点，BE=5cm，∵DB∥CE，∴∠2=∠1=30°，BC=2BE=2×5=10cm，在等腰直角三角形ABC中，由勾股定理得AB=，故选：C．根据平行线的性质，可得∠1与∠2的关系，根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得BC 与CE的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得AC与BC的关系，根据勾股定理，可得答案．本题考查了等腰直角三角形的性质，先求出BC的长，再求出AB的长．9.【答案】C【解析】解：①正确，符合等边三角形的判定定理；②正确，因为12+32=（）2，所以三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；③正确，根据矩形对角线的性质的逆命题；④错误，三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形．故选：C．分别根据等边三角形及直角三角形的判定定理解答．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10.【答案】B【解析】解：设小明答对x道题，则打错20-3-x=17-x道题．根据题意得：5x-2（17-x）＞60即7x＞94∴x＞13．∴13＜x≤17．成绩超过60分，则小明至少答对了14道题．故选：B．根据成绩超过了60分，即可得到一个关于答对题目数的不等式，从而求得答对题数x的范围，即可判断．本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．11.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵折叠∴BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB，在Rt△BEC中，BE2=BC2+CE2，∴BE2=36+（8-BE）2，∴BE=在Rt△BDE中，DE==故选：A．根据勾股定理可求AB=10，由折叠的性质可得BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB，根据勾股定理可求BE的长，DE的长．本题考查了翻折变换，勾股定理熟练运用折叠的性质是本题的关键．12.【答案】B【解析】解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．13.【答案】y=-2x【解析】解：设该正比例函数的解析式为y=kx，根据题意，得-2k=4，k=-2．则这个正比例函数的表达式是y=-2x．故答案为y=-2x．本题可设该正比例函数的解析式为y=kx，然后根据该函数图象过点（-2，4），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题．此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．14.【答案】四【解析】解：∵点A（2，n）在x轴上，∴n=0，则点B（n+2，n-5）的坐标为：（2，-5）位于第四象限．故答案为：四．直接利用x轴上点的坐标特点得出n的值，进而得出答案．此题主要考查了点的坐标，正确得出n的值是解题关键．15.【答案】3【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD=5，BC=4，∴由勾股定理得：CD=3，又∵BD是∠ABC的平分线，∴DE=DC=3，即点D到AB的距离是3．故答案为：3．依据角平线的性质可得点D到AB和BC的距离相等，求出CD的长度即可得到D点到AB的距离．本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：角平分线上点到角两边距离相等．16.【答案】x≤0【解析】解：∵从图象可知：k＜0，直线与y轴交点的坐标为（0，4），∴不等式kx+b≥4的解集是x≤0，故答案为x≤0．根据图形得出k＜0和直线与y轴交点的坐标为（0，4），即可得出不等式的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．17.【答案】5【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=5×=5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为：5．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．18.【答案】【解析】解：如图，把线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点（-，）在△ACE和△AC′D中∴△ACE≌△AC′D（SAS）∴C′D=CE．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，此时△ACE面积等于△AC′D=××=．故答案为．把线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点求出坐标，证明△ACE≌△AC′D，把CE转化为C′D，当C′D⊥OD时，C′D最小，即CE最小，求△AC′D面积即可．本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．19.【答案】解：＞①＜②，解①得x＞-；解②得x＜4，把不等式的解集表示在数轴上：，所以不等式组的解集为-＜x＜4．【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．20.【答案】证明：（1）∵AD⊥DC，AE⊥BE ，∴∠ADC=∠AEB=90°，∵∠DAC=∠DAE+∠2，∠EAB=∠EAD+∠1，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC与△AEB中，∴△ADC≌△AEB（AAS）；（2）连接AO，∵△ADC≌△AEB，∴AE=AD，在Rt△ADO和Rt△AEO中，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴OD=OE．【解析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可；（2）根据全等三角形的性质和判定解答即可．考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．21.【答案】解：如图所示，点C1和点C2即为所求．【解析】分别作直线l1，l2夹角的平分线和线段AB的中垂线，交点即为所求．本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质．22.【答案】解：（1）∵一次函数y=-x+2中，令x=0得：y=2；令y=0，解得x=3，∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）；（2）如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5，则C的坐标是（5，3），设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：k=，b=2，∴直线BC的解析式是y=x+2．【解析】（1）先根据一次函数的解析式把x=0或y=0代入，即可求出A、B两点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）当0≤x≤5时，设y=kx，5k=8，得k=1.6，即当0≤x≤5时，y=1.6x，当x＞5时，设y=ax+b，，得，即当x＞5时，y=2.4x-4，由上可得，y=＞；（2）令2.4x-4≤，解得，x≤8，5×8=40，答：该家庭这个月最多可以用40吨．【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以得到关于x的不等式，从而可以求得该家庭这个月最多可以用多少吨水，注意（1）求得的是人均月生活用水费，本题中家庭有5人．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24.【答案】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=∠CAB．同理可得∠EBA=∠ABD．∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°；（2）如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE=FE，∠CEA=∠FEA．∵∠CEA+∠DEB=90°，∠FEA+∠FEB=90°，∴∠DEB=∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED=EF．∴ED=CE．【解析】（1）由平行线得到∠CAB+∠ABD=180°，根据角平分线定义表示出∠EAB、∠EBA，计算这两个的和，便可求∠AEB度数；（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，分别证明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE=EF，DE=EF，可证CE=DE．本题主要考查了角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质．25.【答案】解：（1）由AB=12，AM=3，根据三角形三边关系可得AM不可能为最大边，设MN=x，则BN=9-x，①当MN为最大线段时，依题意得MN2=BN2+AM2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5；②当BN为最大线段时，依题意得BN2=MN2+AM2，即（9-x）2=x2+32，解得x=4；∴MN的长为5或4；（2）如图②，连接CM，CN，∵边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，∴CM=AM，BN=CN，∴∠1=∠A=18°，∠2=∠B=27°，∵∠ACB=180°-18°-27°=135°，∴∠MCN=135°-18°-27°=90°，∴MN2=MC2+CN2，∴MN2=MA2+BN2，∴线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）如图③，以BP为边向下作等边三角形BDP，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC，由作法可知∠PBD=60°，BP=BD=PD，∵∠ABP=∠ABC-∠PBC，∠CBD=∠BPD-∠PBC，∴∠ABP=∠CBD，∴△ABP≌△CBD（SAS），∴AP=CD，∵线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，∴△PCD是直角三角形，∠PDC=90°，∵∠PDB=60°，∴∠BDC=60°+90°=150°，∵△ABP≌△CBD，∴∠APB=∠CDB=150°．【解析】（1）设MN=x，则BN=9-x，分两种情况讨论，即可得到MN的长；（2）连接CM，CN，依据边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，即可得到∠MCN=90°，进而得出MN2=MC2+CN2，根据MN2=MA2+BN2，可得线段AM，MN，NB是勾股线段组；（3）以BP为边向下作等边三角形BDP，连接CD，判定△ABP≌△CBD（SAS），可得AP=CD，再根据线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，即可得出△PCD是直角三角形，进而得到∠BDC=150°，依据△ABP≌△CBD，可得∠APB=∠CDB=150°．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理等的综合运用，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形来解决问题．。

四川省巴中市恩阳区2018-2019学年八年级上学期期末数学试题一．选择题（共10小题）1. 下列说法正确的是（ ）A. ﹣2是﹣8的立方根B. 1的平方根是1C. （﹣1）2的平方根是﹣1D. 16的平方根是4 【答案】A【解析】【分析】根据平方根、立方根定义判断即可.【详解】A 、﹣2是﹣8的立方根，正确；B 、1的平方根为±1，错误；C 、（﹣1）2的平方根是±1，错误；D 、16的平方根为±4，错误，故选：A ．【点睛】此题考查平方根、立方根的定义，熟记定义即可正确解答.2. 在实数217-0.518-，π3，0.101001⋯中，无理数的个数有( ) A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项．π3，0.101001⋯共3个． 故选B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．3. 下列运算不正确的是 ( )A. 235·x x x =B. 236()x x =C. 3362x x x +=D. 33(2)8x x -=-【答案】C【解析】【分析】 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘逐项分析可得解.【详解】A. 235x x =x ，正确；B. 236()x x =，正确；C. 3332x x x +=，错误；D. 33(2)8x x -=-，正确；故选：C考点：同底数幂的计算.4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是 （ ）A. AB ＝ACB. BD ＝CDC. ∠B ＝∠CD. ∠BDA ＝∠CDA【答案】B【解析】 试题分析：利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．解：A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=AC ，则△ABD≌△ACD （SAS ）；故A 不符合题意；B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD ；故B 符合题意；C 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠B=∠C ，则△ABD≌△ACD （AAS ）；故C 不符合题意； D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BDA=∠CDA ，则△ABD≌△ACD （ASA ）；故D 不符合题意． 故选B ．考点：全等三角形的判定．5.的结果是( )A. 3B. 7-C. 3-D. 7【答案】D【解析】【分析】先利用算术平方根及立方根定义计算，再根据有理数的减法法则计算即可得到结果．【详解】解：原式()52527=--=+=．故选D ．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. 如果（x+m ）（x ﹣n ）中不含x 的一次项，则m 、n 满足（ ） A. m=nB. m=0C. m=﹣nD. n=0 【答案】A【解析】（x+m ）（x-n ）=x 2+（m-n ）x-mn ，由式子不含x 的一次项，得m-n=0，则m=n.故选A.点睛：本题考查多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.7. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】C【解析】【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高．【详解】解：如图：BC=12．AB=AC=10，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；则BD=DC=12BC=6；Rt△ABD中，AB=10，BD=6；由勾股定理，得：AD=8故选C．点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．等腰三角形的高也是等腰三角形的中线．8. 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A. 25B. 2235【答案】D【解析】【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【详解】由勾股定理可知，22251=5故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．9. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC•的周长为9cm，则△ABC的周长是（）cm.A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】C【解析】【分析】 由△ABC 中，边AB 的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE ＝3cm ，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD ＝BD ，AB ＝2AE ，又由△ADC 的周长为9cm ，即可求得AC ＋BC 的值，继而求得△ABC 的周长．【详解】∵△ABC 中，边AB 的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE ＝3cm ，∴BD ＝AD ，AB ＝2AE ＝6cm ，∵△ADC 的周长为9cm ，∴AC ＋AD ＋CD ＝AC ＋BD ＋CD ＝AC ＋BC ＝9cm ，∴△ABC 的周长为：AB ＋AC ＋BC ＝15cm ．故选C ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10. 如图，已知ABC ∆中，12PR PS ∠∠＝，＝ ，PR AB R ⊥于，PS AC S ⊥于，则三个结论：①AS AR ＝ ；②//QP AR ；③BRP QSP ∆∆≌中( )A. 全部正确B. ①和②正确 C . 仅①正确D. ①和③正确【答案】B【解析】【分析】易证Rt △ARP ≌Rt △ASP ，可得AS=AR ，∠RAP=∠1，再根据∠1=∠2，即可求得//QP AR ，即可解题.【详解】解：在Rt △ARP 和Rt △ASP 中，PR PS AP AP =⎧⎨=⎩∴Rt △ARP ≌Rt △ASP （HL ）∴∠RAP=∠1，AS AR ＝，故①正确；∵∠1=∠2∴∠RAP=∠2∴//QP AR ，故②正确；∵△BRP 和△QSP 中，只有一个条件PR=PS ，没有其余条件可以证明BRP QSP ∆∆≌，故③错误；故选B【点睛】本题考查三角形全等的判定及性质，还涉及了平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键.二．填空题（共10小题）11. 的平方根是 ．【答案】±2．【解析】【分析】【±2． 故答案为±2． 12. 0=，则22012a b --= ______ ． 【答案】109-【解析】 分析：先由非负性的性质得出3a +1=0，b ﹣1=0，求出a ，b 代入式子计算即可．详解：=0，∴3a +1=0，b ﹣1=0，∴a =﹣13，b =1，∴﹣a 2﹣b 2012=﹣（13）2﹣12012=﹣19﹣1=﹣109．故答案为﹣109． 点睛：本题是非负数的性质：算术平方根，主要考查了一元一次方程的解法，有理数的运算，解答本题的关键是求出a ，b ．13. 因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14. 若a 、b 、c 是ABC 的三边，且a 3cm =，b 4cm =，c 5cm =，则ABC 最大边上的高是______cm ．【答案】2.4【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形，根据三角形的面积公式，求得斜边上的高即可．【详解】解：a 3cm =，b 4cm =，c 5cm =，ABC ∴是直角三角形，2ABC S 3426cm =⨯÷=，ABC S 5∴=⨯最大边上的高12=，ABC ∴最大边上的高是2.4cm ．故答案为2.4.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形面积的计算．15. 已知22kxy 4x y -+是一个完全平方式，则k 的值是______.【答案】4±【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】()222242x y kx y x y y kx -=+-+，∵22kxy 4x y -+是一个完全平方式，∴kxy=1224x y -±⨯⨯=±，∴k 4=±故答案为4±【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于熟练掌握完全平方公式即可.16. 用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____． 【答案】1．【解析】【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答. 【详解】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【点睛】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键.17. 某班课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位：次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188.则跳绳次数在90-110这一组的频率是______．【答案】0.2【解析】首先找出在90～110这一组的数据个数，再根据频率=频数÷总数可得答案．解：跳绳次数在90～110这一组的有9l ，93，100，102共4个数，频率是：4÷20=0.20．故答案为0.20．“点睛”此题主要考查了频率，关键是掌握频率=频数÷总数．18. 如图，在△ABC 中，C 90︒∠=，AD 平分CAB ∠，BC=8，BD=5，那么CD=________，点D 到线段AB 的距离是________【答案】(1). 3 (2). 3【解析】考点：角平分线的性质．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，由在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，根据角平分线的性质，可得DE=CD，又由BC=8，BD=5，即可求得答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=CD，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=3，∴DE=CD=3，即点D到线段AB距离是3．故答案为3，3．19. 用反证法证明“多边形中至少有三个锐角”，第一步应假设_____．【答案】同一多边形中最多有两个锐角．【解析】【分析】假设有两个锐角即可.【详解】用反证法证“多边形中至少有三个锐角”时，第一步应假设同一多边形中最多有两个锐角．故答案为：同一多边形中最多有两个锐角．【点睛】此题考查反证法，反证法的第一步是假设一个与结论相矛盾的条件，通过证明得到与已知相互矛盾，故假设不成立，原结论是正确的.20. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm．【答案】74【解析】【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，227574+；如图2所示，228480+，如图3所示，229390+=cm，748090<<∴74cm．74【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．三．解答题（共10小题）21. 解方程组（组）：（1）4x2＝9（2）3（x+1）2＝27【答案】（1）x＝32±；（2）x＝﹣4或x＝2．【解析】【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）应用直接开平方法解方程. 【详解】（1）∵4x2＝9，∴x2＝94，∴x＝32±，∴x1=32，x2=-32.（2）∵3（x+1）2＝27，∴（x+1）2＝9，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点睛】此题考查一元二次方程的解法，依据方程的特点选用恰当的方法解方程是解答的关键.22. 计算：（1）|﹣5|+（π﹣3014）0﹣（2）[（ab+1）（ab﹣1）﹣2a2b2+1]÷（﹣ab）【答案】（1）12；（2）ab．【解析】【分析】（1）先分别计算绝对值，零次幂，立方根和算数平方根，再计算加法；（2）先用平方差公式计算去掉小括号，再用多项式中的每一项去除以单项式.【详解】（1）|﹣5|+（π﹣3014）0，＝5+1+4+2，＝12；（2）[（ab+1）（ab﹣1）﹣2a2b2+1]÷（﹣ab）＝（a2b2﹣1﹣2a2b2+1）÷（﹣ab）＝﹣a2b2÷（﹣ab）＝ab．【点睛】此题考查计算能力，（1）考查实数的混合计算；（2）考查整式的混合运算，注意运算顺序. 23. 分解因式：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2（2）a3（x﹣y）+ab2（y﹣x）【答案】（1）（a+b）2（a﹣b）2；（2）a（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．【解析】【分析】（1）先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式a（x﹣y），再用平方差公式将（a2﹣b2）继续分解即可.【详解】（1）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2﹣2ab）（a2+b2+2a b）＝（a+b）2（a﹣b）2；（2）a3（x﹣y）+ab2（y﹣x）＝a（x﹣y）（a2﹣b2）＝a（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．【点睛】此题考查因式分解，因式分解时有公因式必须先提公因式，再利用公式法继续分解，分解到不能再分解为止.24. 化简求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝﹣2．【答案】﹣5y﹣2x，原式＝0．【解析】【分析】先将多项式化简，然后将x、y 的值代入计算.【详解】原式＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y＝﹣5y﹣2x，∵x＝5，y＝﹣2，∴原式＝10﹣10＝0．【点睛】此题考查整式的化简求值，先将整式化简，再将字母的值代入.25. 已知2x﹣1的平方根是±7，5x+y﹣1的立方根是5，求x2y的平方根．【答案】x2y的平方根±25．【解析】【分析】由已知条件得到2x﹣1＝49，5x+y﹣1＝125，计算得到x、y，代入x2y求得值为625，即可得到该数的平方根.【详解】∵2x﹣1的平方根为±7，5x+y﹣1的立方根是5，∴2x﹣1＝49，5x+y﹣1＝125．解得：x＝25，y＝1．∴x2y＝252×1＝625，∴x2y的平方根±25．【点睛】此题考查平方根、立方根的应用，根据平方根和立方根的定义列得方程求出x、y是解题的关键，最后求的是x2y的平方根而不是x2y，这是易错点.26. 如图，已知△ABC．（1）作边AB的垂直平分线；（2）作∠C的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】每一小题4分，共8分【解析】【分析】（1）分别以B、C为圆心，以大于12BC长为半径分别作弧，两弧交于M、N两点，过两点作直线MN，则MN为线段AB的垂直平分线．（2）根据作已知角的角平分线的作法作图即可．【详解】如图所示：27. 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF2810①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）【答案】（1）72；（2）画图见解析；①△DEF是直角三角形，理由见解析；②2【解析】试题分析：（1）根据题目设置的问题背景，结合图形进行计算即可；（2）根据勾股定理，找到DE、EF、DF2810，由勾股定理的逆定理可判断△DEF 是直角三角形．解：（1）S△ABC=3×3﹣12×1×2﹣12×2×3﹣12×1×3=72；（2）如图所示：∵DE=2，EF =22，DF=10，∴DE2+EF2=DF2，∴△DEF是直角三角形．△DEF的面积=111 231122132 222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．点睛：本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．28. 学校为了调查学生对教学的满意度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“很满意“，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，如图甲、乙是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；（3）如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对教学感到“不满意”的约有多少人？【答案】（1）200人（2）见解析（3）50人【解析】解：（1）由条形统计图知：C小组的频数为40，由扇形统计图知：C小组所占的百分比为20%，故调查的总人数为：40÷20%=200人；（2）B 小组的人数为：200×50%=100人，（3）1000×（1﹣50%﹣25%﹣20%）=50人，故该校对教学感到不满意的人数有50人（1）根据C 小组的频数和其所占的百分比求得总人数即可；（2）用调查的人数乘以B 小组所占的百分比即可求得B 组的频数；（3）用总人数乘以不满意人数所占的百分比即可．29. 如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=1，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求： (1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)．【答案】（1）135BAD ∠=︒;（2）21ABC ADC ABCD S S S ∆∆+=+=四边形【解析】【分析】 （1）连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，进而可求出∠BAD 的度数；（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出结论．【详解】解：（1）连接AC，如图所示：∵AB=BC=1，∠B=90°∴AC=22112+=，又∵AD=1，DC=3，∴ AD2＋AC2=3 CD2=(3)2=3即CD2=AD2+AC2∴∠DAC=90°∵AB=BC=1∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BAD=135°；（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=1×1×12+1×2×12=1222+.【点睛】考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．30. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD ≌△CQP ，理由见解析；②V 7.5Q =（厘米/秒）；（2）点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD ，再根据∠B ＝∠C 证得△BPD ≌△CQP ；②根据V P ≠V Q ，使△BPD 与△CQP 全等，所以CQ ＝BD ＝10，再利用点P 的时间即可得到点Q 的运动速度； （2）根据V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程，设运动x 秒，即可列出方程1562202x x ，解方程即可得到结果. 【详解】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米）∴PC ＝BD∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P、Q的运动时间84663BPt（秒），此时107.543QCQVt（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得156220 2x x，解得x=803(秒)此时P运动了8061603（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.9有关角平分线的证明大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题（本大题共24小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2020·苏州新草桥中学八年级月考）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB CB =，AD CD =．对角线AC ，BD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CB ⊥，垂足分别是E ，F ．求证OE OF =．【答案】证明见解析【分析】欲证明OE =OF ，只需推知BD 平分∠ABC ，所以通过全等三角形△ABD ≌△CBD （SSS ）的对应角相等得到∠ABD =∠CBD ，问题就迎刃而解了．【详解】证明：∵在△ABD 和△CBD 中，AB CB AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），∴∠ABD =∠CBD ，∴BD 平分∠ABC ．又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，∴OE =OF ．2．（2019·苏州市八年级月考）已知，如图，AB AD =，AC AE =，50DAB CAE ∠=∠=︒．（1）求证：ABE ADC △≌△．（2）连接AO ，求证点A 在DOE ∠的平分线上．【答案】（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）由题意易得DAC BAE ∠=∠，然后由AB AD =，AC AE =可求证；（2）过点A 分别作AF ⊥CD ，AH ⊥BE ，垂足分别为F 、H ，则有90AFD AHB ∠=∠=︒，由（1）可得：ADC ABE ∠=∠，进而可证AFD AHB ≌，然后可得AF AH =，则问题得证．【详解】证明：（1）∵50DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，∵AB AD =，AC AE =，∴ABE ADC △≌△（SAS ）；（2）过点A 分别作AF ⊥CD ，AH ⊥BE ，垂足分别为F 、H ，如图所示：∴90AFD AHB ∠=∠=︒，由（1）可得：ABE ADC △≌△，∴ADC ABE ∠=∠，∵AB AD =，∴AFD AHB ≌（AAS ），∴AF AH =，∴AO 平分∠DOE ，∴点A 在DOE ∠的平分线上．3．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线．（1）求证：::ABD ACD S S AB AC =；（2）若8,6,9AB AC BC ===，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）367BD =． 【分析】（1）过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）过点A 作AE ⊥BC 于E ，由三角形面积公式可得ABD ACD S BD S CD=，再与（1）所得结论建立等式，即可求出BD 的长．【详解】（1）证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ．∵12ABD S AB DE =⋅，12ACD S AC DF =⋅， ∴1212ABDACD AB DE SAB S AC AC DF ⋅==⋅． 即S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ．（2）解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵12ABD S BD AE =⋅，12ACD S CD AE =⋅， ∴1212ABD ACD BD AE S BD S CD CD AE ⋅==⋅． ∴AB BD AC CD=． ∵8,6,9AB AC BC ===，∴869BD BD=-． ∴367BD =． 4．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，BE=CF ．（1）求证：AD 是ABC 的角平分线；（2）若AB=8，ABC S 36=，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）92． 【分析】()1根据HL 可证Rt BED ≌Rt CFD ，根据全等三角形的性质可得DE DF =，再根据角平分线的判定即可求解；()2根据全等三角形的性质可得B C ∠=∠，根据等角对等边可得AB AC =，再根据线段的和差求解即可． 【详解】证明：()1D 是BC 的中点，BD CD ∴=，DE AB ⊥，DF AC ⊥，BED ∴和CFD △都是直角三角形，在Rt BED 与Rt CFD 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩， Rt BED ∴≌()Rt CFD HL ，DE DF ∴=，AD ∴是ABC 的角平分线；()2如图，连接AD ，Rt BED ≌Rt CFD ，B C ∴∠=∠，AB AC ∴=，在Rt ABD 和Rt ACD 中，AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， Rt ABD ∴≌Rt ACD ，ABD ACD ABC 1S S S 182∴===， 1AB DE 182∴⨯⋅=， 4DE 18∴=，9DE 2∴=．5．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）已知：如图，在ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：BE ＝CF ；（2）连结EF ，则直线AD 与线段EF 有何位置关系？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）AD ⊥EF ，理由见解析．【分析】（1）先根据角平分线的性质得到DE=DF 、∠DEA=∠DFA=90°，再运用HL 证明Rt △DEA ≌Rt △DFA 得到AE=AF ，最后根据线段的和差即可证明；（2）连EF 交AD 于O ，由角平分线的定义可得∠EAO=∠FAO ，再运用SAS 证明 △EAO ≌△FAO 得到∠EOA=∠FOA ，最后再根据平角的性质得到∠EOA=90°即可证明．【详解】（1）证明：∵ AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴DE=DF ，∠DEA=∠DFA=90°在Rt △DEA 和Rt △DFA 中DE DF AD AD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △DEA ≌Rt △DFA (HL)∴AE=AF ，又∵AB=AC∴BE=CF ；（2）AD ⊥EF ，理由如下：如图：连接EF 交AD 于O∵ AD 平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO 和△FAO 中AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△EAO ≌△FAO （SAS ）∴∠EOA=∠FOA ，又∵∠EOA+∠FOA=180°∴∠EOA=90°，即AD ⊥EF ．6．（2020·江苏镇江市·）如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B 的平分线交AC 于D ，E 是BD 延长线上的一点，且AE=AC ．（1）求证：AE//BC；（2）若AD=DC=2，求BC的长．【答案】（1）详见解析；（2）4【分析】（1）由已知AB=AC ，AE=AC，传递性得AE=AB等边对等角得∠ABE=∠AEB 结合BD平分∠ABC，∠AEB=∠EBC即可，（2）由AE∥BC得∠E=∠EBC，可证△ADE≌△CDB知AE=BC=AC，AD=DC=2AC=2AD=4即可．【详解】证明：（1）∵AB=AC AE=AC，∴AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠EBC，∴AE∥BC；（2）∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，在△ADE和△CDB中，∵AD=CD ∠E=∠EBC ∠ADE=∠BDC，∴△ADE≌△CDB，∴AE=BC=AC，∵AE=AC，AD=DC=2，∴BC=AE=4．7．（2020·江苏扬州市·八年级月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由AD 为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC ，再由BD=DF ，利用HL 得到三角形FCD 与三角形BDF 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）利用AAS 得到三角形ACD 与三角形AED 全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE ，由AB=AE+EB ，等量代换即可得证．【详解】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE=DC ，在Rt △CFD 和Rt △EBD 中，,DF BD CD ED =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △EBD （HL ），∴CF=EB ；（2）在△ACD 和△AED 中，90,,CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC=AE ，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ．8．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，求PD 是多少？【答案】2【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE，再由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，PE⊥OB利用角平分线定理得到PE=PD即可．【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，则∠CEP=90°∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，∵∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴114222PE PC==⨯=∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE=29．（2020·江苏南通市·八年级月考）如图，在△ABC中，D为BC的的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G．（1） 求证：BF=CG（2） 若AB=13，AC=9，求CG 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接BE ，CE ，根据中垂线的性质可得BE=CE ，根据角平分线的性质可得EF=EG ，再根据HL 证明EFB EGC ∆≅∆，继而根据全等三角形的性质即可得结论；（2）利用HL 证明Rt AEF Rt AEG ∆≅∆，从而可得AF AG =，继而根据线段的和差可得2AB AC CG =+，代入相关数值进行计算即可得解．【详解】（1）连接BE ，CE ，BD CD =．DE BC ⊥，BE CE ∴=，AE ∵分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=，又90EFB EGC ∠=∠=︒，()Rt EFB Rt EGC HL ∴∆≅∆，BF CG ∴=；（2）EF EG =，AE AE =，Rt AEF Rt AEG ∴∆≅∆（HL ），AF AG ∴=，2AB AF BF AG CG AC CG ∴=+=+=+，13AB =，9AC =，24CG ∴=，2CG ∴=．10．（2019·江苏盐城市·东台市实验中学八年级期中）等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝72°， （1）如图1，若BD ⊥AC 于D ，求∠ABD 的度数；（2）如图2，若CE 平分∠ACB ，求证：AE ＝BC ．【答案】（1）∠ABD ＝54°；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．（2）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵等腰ABC ∆中，AB AC =，72ACB ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒，36A ∠=︒．（1）∵BD AC ⊥于D ，∴90ADB ∠=︒，∴90903654ABD A ∠=︒-∠=︒-︒=︒；（2）∵CE 平分∠ACB ，72ACB ∠=︒，∴36ACE ECB ∠=∠=︒，∴36A ACE ∠=∠=︒，∴AE EC =，∵72ABC ∠=︒，∴180180723672BEC ABC ECB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ABC BEC ∠=∠ ，∴BC CE =，∴AE BC =．11．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，EF ⊥AB ，交AB 于F ，EG ⊥AC ，交AC 的延长线于G ，试问：BF 与CG 的大小如何?证明你的结论．【答案】相等，详见解析【分析】连EB 、EC ，根据角平分线和垂线的性质可得EF=EG ，再根据中线的性质得到EB=EC ，即可证明Rt △EFB ≌Rt △EGC ，即可得到结果；【详解】解答：相等．证明如下：连EB 、EC ，∵AE 是∠BAC 的平分线，且EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ，∴EF=EG ，∵ED ⊥BC 于D ，D 是BC 的中点，∴EB=EC ，∴Rt △EFB ≌Rt △EGC ，∴BF=CG ．12．（2019·常熟市外国语初级中学八年级月考）如图，ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足，连接EF 交AD 于G ，试判断AD 与EF 垂直吗?并说明理由【答案】垂直，理由见解析【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF ，然后利用“HL”证明Rt △AED 和Rt △AFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF ，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．【详解】解：AD ⊥EF ．理由如下：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），∴AE=AF ，∵AD 平分∠EAF ，∴AD ⊥EF （等腰三角形三线合一）．13．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，若△ABC 的面积为36cm 2，AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，求DE 的长．【答案】125cm【分析】由角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形的面积公式求解．【详解】∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为F，∴DE=DF．∵S△ABC=30，AB=18，BC=12，∴S△ABD+S△BCD=12AB•DE+12BC•DF=36cm2，∴12×18DE+12×12DE=36cm2，∴DE=125cm．14．（2020·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD 于F，且BC=CD．（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）AE的长为15．【分析】（1）直接利用“HL”即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）利用“HL”证明Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据（1）中的结论和角平分线的性质可以求得AE的长．【详解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，CE CF BC CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，在Rt△AFC和Rt△AEC中，CF CE AC AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF=AE，由（1）知Rt△BCE≌Rt△DCF，则BE=DF，∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21，解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE的长是15．15．（2020·江阴市夏港中学八年级月考）如图，OC平分∠AOB,点D，E分别在OA,OB上，点P在OC上且有PD=PE．求证：∠PDO =∠PEB．【答案】证明见解析；【分析】过点P作AO、BO的垂线，利用直角三角形全等的判定可证出结论.【详解】过P做PM垂直OA于M PN垂直OB于N因为OC平分∠AOB所以PM=PN (角平分线上的点到2边的距离相等)因为PD=PE所以△PDM全等于△PEN（HL）所以∠PDO=∠PEB考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定与性质.16．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在ABC 中，BAD DAC ∠=∠，DF AB ⊥，DM AC ⊥，10AF cm =，14AC cm =，动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）CM = ，:AE CG = ；（2）当t 取何值时，DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下，若:119:126BD DC =，228cm AED S =△，求BFD S ．【答案】（1）4，2；（2）143；（3）293cm 2． 【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD ，得AF=AM ，从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时，②当4≤t ＜5时，分别根据△DFE ≌△DMG ，得出EF=GM ，据此列出关于t 的方程，进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF =DM ，在R t △AFD 和R t △AMD 中，DF DM AD AD =⎧⎨=⎩，∴R t △AFD ≌R t △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==，14104CM AC AM cm ∴=-=-=，2AE t =，CG t =，:2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t ，MG ＝4﹣t∴10﹣2t ＝4﹣t ，∴t ＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t ＜5时，点G 在线段AM 上，点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t ，MG ＝t ﹣4，∴10﹣2t ＝t ﹣4，∴t ＝143； 综上所述当t ＝143时，△DFE 与△DMG 全等； （3）∵t ＝143， ∴AE ＝2t ＝283， ∵DF ＝DM ，∴S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ＝BD ：CD ＝119：126，∵AC ＝14，∴AB ＝1199， ∴BF ＝AB ﹣AF ＝1199﹣10＝299， ∵S △ADE ：S △BDF ＝AE ：BF ＝283：299，S △AED ＝28cm 2， ∴S △BDF ＝293cm 2． 17．（2020·浙江杭州市·杭州英特外国语学校八年级期中）如图，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，且BC CD =．（1）求证：BCE DCF ≅；（2）若2AE =，求+AB AD 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）先根据角平分线的性质可得CE CF =，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得BE DF =，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得2AF AE ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】（1）AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，CF AD ⊥， CE CF ∴=，BCE 和DCF 都是直角三角形，在BCE 和DCF 中，BC DC CE CF =⎧⎨=⎩， ()BCE DCF HL ∴≅；（2）由（1）已证：BCE DCF ≅，BE DF ∴=，在ACF 和ACE △中，AC AC CF CE =⎧⎨=⎩， ()ACF ACE HL ∴≅，2AF AE ∴==，AB AD AE BE AD ∴+=++，AE DF AD =++，AE AF =+，22=+，4=，即+AB AD 的值为4．18．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，BF 平分ABC ∠交AD 点E ，交AC 于点F ．（1）求证：AE AF；EG DC，交AC于点G，试比较AF与GC的大小关系，并说明理由．（2）过点E作//【答案】（1）见解析；（2）AF=GC，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质得出∠AFE=∠AEF，即可得到结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为H，证明△AEG≌△FHC即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为H，∵BF平分∠ABC，AF⊥AB，FH⊥BC，∴AF=FH，∵AE=AF，∴AE=FH，∵EG∥BC，∴∠C=∠AGE，∵AD⊥BC，∴EG⊥AE，在△AEG和△FHC中，AGE C AEG FHC AE FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△FHC （AAS ），∴AG=FC ，∴AF=GC ．19．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知：如图，等腰ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，DM AB ⊥，DN AC ⊥，M 、N 分别为垂足．求证：DM DN =．【答案】见解析【分析】根据三线合一的性质得到AD 平分∠BAC ，再利用角平分线的判定定理可得DM=DN ．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD 平分∠BAC ，∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ．20．（2020·浙江杭州市·八年级期中）（1）如图1，ABC 中，作ABC ∠、ACB ∠的角平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 分别交AB 、AC 于E 、F ．①求证：OE BE =；②若ABC 的周长是25，9BC =，试求出AEF 的周长；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACB ∠外角ACD ∠的平分线相交于点P ，连接AP ，试探求BAC ∠与PAC ∠的数量关系式．【答案】（1）①见解析；②16；（2）2∠PAC+∠BAC=180°【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据三角形的周长公式即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得出答案．【详解】解：（1）①∵BO 平分∠ABC ，∴∠EBO=∠OBC ，∵EF ∥BC ，∴∠EOB=∠OBC ，∴∠EOB=∠EBO ，∴OE=BE ；②同①可证OF=CF∴△AEF 的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；（2）延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP=∠PCD ，PM=PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∴PF=PM ，∴∠FAP=∠PAC ，∴∠FAC=2∠PAC ，∵∠FAC+∠BAC=180°，∴2∠PAC+∠BAC=180°．21．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知：如图，D 为ABC 外角ACP ∠平分线上一点，且DA DB =，DM BP ⊥于点M ．（1）若6AC =，2DM =，求ACD △的面积；（2）求证：AC BM CM =+．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点D 作DN AC ⊥于点N ，利用角平分线的性质得到DM DN =，再算出ACD △的面积；（2）证明()Rt CDM Rt CDN HL ≅和()Rt ADN Rt BDM HL ≅，利用全等三角形的性质证得AC AN CN BM CM =+=+．【详解】解：（1）如图，过点D 作DN AC ⊥于点N ，∵DC 平分ACP ∠，DM CP ⊥，DN CA ⊥，∴2DM DN ==， ∴1162622ADC S AC DN =⋅=⨯⨯=；（2）在Rt CDM 和Rt CDN 中，CD CD DM DN =⎧⎨=⎩， ∴()Rt CDM Rt CDN HL ≅，∴CM CN =，在Rt ADN △和Rt BDM 中，AD BD DN DM=⎧⎨=⎩， ∴()Rt ADN Rt BDM HL ≅，∴AN BM =，∴AC AN CN BM CM =+=+．22．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ；（2）当取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）在（2）的前提下，若119126BD DC =，228AED S cm ∆=，求S △BFD ．【答案】（1）见解析；（2）当t ＝143时，△DFE 与△DMG 全等；（3）293． 【分析】（1）由角平分线的性质可知DF ＝DM ，所以△AED 和△DEG 的面积转化为底AE 和CG 的比值，根据路程＝速度×时间求出AE 和CG 的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ． （2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时，②当4＜t ＜5时，分别根据△DFE ≌△DMG ，得出EF ＝GM ，据此列出关于t 的方程，进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【详解】（1）证明：∵∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF ＝DM ，∵S △AED ＝12AE •DF ，S △DGC ＝12CG •DM ， ∴ADE DGC S S ∆∆＝AE CG， ∵点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，∴AE ＝2tcm ，CG ＝tcm ， ∴AE CG＝2， 即ADE DGCS S ∆∆＝2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ．（2）解：①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t ，MG ＝4﹣t∴10﹣2t ＝4﹣t ，∴t ＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t ＜5时，点G 在线段AM 上，点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t ，MG ＝t ﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝143；综上，t＝143．综上所述当t＝143时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝143，∴AE＝2t＝283（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝1199（cm），∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝293（cm2）．23．（2020·浙江金华市·八年级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求证：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【答案】见详解．【分析】（1）连接AE、EC，证明RT△AGE≌RT△CFE，即可证明AG=CF．（2）先证BG=BF，现由（1）的结论得BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=AG+CF=2CF．【详解】证明：（1）如图1连接AE 、EC∵E 在AC 的垂直平分线上∴AE=CE∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AB 于G ，∴GE=FE在RT △AGE 和RT △CFE 中∵{GE FEAE CE ==∴RT △AGE ≌RT △CFE （斜边直角边对应相等的直角三角形全等）∴AG ＝CF ．（2）由（1）知GE=EF在RT △BGE 和RT △BFE 中∵{GE EFBE BE ==∴RT △BGE ≌RT △BFE （斜边直角边对应相等的直角三角形全等）∴BG=BF∴BC -AB=BF+FC -AB=BG -AB+FC=GA+FC由（1）知GA=FC 代入得BC ﹣AB ＝2FC ．24．（2020·浙江湖州市·八年级月考）如图，已知：//AB CD ．PB 和PC 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P 且AD AB ⊥．（1）求证：PA PD =；（2）如果1AB =，3CD =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）根据平行线的性质得到AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．则由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到AP=EP ，EP=DP ，所以AP=DP ，即点P 是AD 的中点．（2）在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接PF ，由角平分线的性质可以得出∠ABP=∠FBP ，从而可以得出△ABP ≌△FBP ，可以得出∠A=∠BFP ，进而可以得出△CFP ≌△CDP ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．【详解】解：（1）证明：如图，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．∵如图，AB ∥CD ，AD 过点P 与AB 垂直，∴AD ⊥AB ，AD ⊥CD ．∵PB 和PC 分别平分∠ABC 和∠DCB ，∴AP=EP ，EP=DP ，∴PA=PD ；（2）在BC 上取点F ，使得BF=BA ，连接PF ，如图， BP 、CP 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线， ∴∠ABP=∠FBP ，∠DCP=∠FCP ．在△ABP 和△FBP 中，AB FB ABP FBP BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△FBP （SAS ），∴∠BAP=∠BFP ．∵AB ∥CD ，∴∠BAP+∠PDC=180°，∴∠BFP+∠PDC=180．∵∠BFP+∠CFP=180°，∴∠CFP=∠PDC ．在△CFP 和△CDP 中，CFP PDC FCP DCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFP ≌△CDP （AAS ），∴CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD ．∴BC=CF+FB=CD+AB=3+1=4．。

2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图所示的图案是我国几家银行标志，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算中，正确的是（）A．a2•a4＝a8B．a10÷a5＝a2C．（a5）2＝a10D．（2a）4＝8a43．下列变形属于因式分解的是（）A．4x+x＝5x B．（x+2）2＝x2+4x+4C．x2+x+1＝x（x+1）+1D．x2﹣3x＝x（x﹣3）4．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（）A．0.34×10﹣9B．3.4×10﹣9C．3.4×10﹣10D．3.4×10﹣115．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°6．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13B．16C．8D．107．下列各式成立的是（）A．B．（﹣a﹣b）2＝（a+b）2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab8．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF9．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④10．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：2a2﹣8＝．12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．13．一个n边形的内角和是540°，那么n＝．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为△ABC的角平分线，与BC相交于点D，若CD＝4，AB ＝15，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD＝BC＝AD，则∠CDF的度数为．16．如图，△ABC角平分线AE、CF交于点P，BD是△ABC的高，点H在AC上，AF＝AH，下列结论：①∠APC＝90°+ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，连接BP，则∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有（填序号）．三、解答题17．（10分）计算（1）（2﹣）0﹣（）﹣2（2）（﹣3a2）3÷6a+a2•a318．（10分）计算（1）（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）（2）﹣x﹣219．（10分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：（1）△ABC≌△EDF；（2）AB∥DE．20．（10分）如图，已知A（﹣2，4），B（4，2），C（2，﹣1）（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于x轴的对称点C1的坐标；（2）P为x轴上一点，请在图中找出使△PAB的周长最小时的点P并直接写出此时点P的坐标（保留作图痕迹）．21．（12分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．22．（10分）已知代数式．（1）先化简，再求当x＝3时，原代数式的值；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？23．（12分）如图，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一点D，连接BD，并延长至点E，使AE ＝AB．（1）画图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF；（3）若AC＝8，∠E＝15°，求三角形ABE的面积．24．（14分）因式分解是把多项式变形为几个整式乘积的形式的过程．（1）设有多项式x2+2x﹣m分解后有一个因式是x+4，求m的值．（2）若有甲、乙两个等容积的长方体容器，甲容器长为x﹣1，宽为x﹣2．体积为x4﹣x3+ax2+bx ﹣6，（x为整数），乙容器的底面是正方形．①求出a，b的值；②分别求出甲、乙两容器的高．（用含x的代数式表示）25．（14分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，动点M从C点开始沿CB运动，动点N从B点开始沿BA运动，同时出发，两点均以1个单位/秒的速度匀速运动（当M运动到B点即同时停止），运动时间为t秒．（1）AN＝；CM＝．（用含t的代数式表示）（2）连接CN，AM交于点P．①当t为何值时，△CPM和△APN的面积相等？请说明理由．②当t＝3时，试求∠APN的度数．2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】根据同底数幂的乘除法则，及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、a2•a4＝a6，计算错误，故本选项错误；B、a10÷a5＝a5，计算错误，故本选项错误；C、（a5）2＝a10，计算正确，故本选项正确；D、（2a）4＝16a4，计算错误，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘除运算及幂的乘方的运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．3．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，掌握因式分解的定义是关键．4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 000 000 34＝3.4×10﹣10；故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由于两个三角形全等，∴∠1＝180﹣50°﹣72°＝58°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质6．【分析】由于△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，由此求出AC＝AB＝8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，由此得到△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，∴AC＝AB＝8，又∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB＝13，∴△BEC的周长为13．故选：A．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．7．【分析】根据完全平方公式和分式的化简判断即可．【解答】解：A、，错误；B、（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，正确；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；D、（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，错误；故选：B．【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式和分式的化简判断．8．【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．9．【分析】根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．所以都正确．故选：A．【点评】此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b 可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3，故答案为：x≠3．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．13．【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝540°，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．14．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝，故答案为：30【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．【分析】设∠A＝α，可得∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，再根据△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即可得到∠C的度数，再根据DF⊥BC，即可得出∠CDF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ACB＝∠ABC，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠C＝72°，又∵DF⊥BC，∴Rt△CDF中，∠CDF＝90°﹣72°＝18°，故答案为：18°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．16．【分析】①利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可判断．②利用反证法进行判断．③根据∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），由此即可判断．④利用全等三角形的性质证明CA＝CB即可判断．【解答】解：∵△ABC角平分线AE、CF交于点P，∴∠CAP＝∠BAC，∠ACP＝∠ACB，∴∠APC＝180°﹣（∠CAP+∠ACP）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC，故①正确，∵PA＝PA，∠PAF＝∠PAH，AF＝AH，∴△PAF≌△PAH（SAS），∴∠APF＝∠APH，若PH是∠APC的平分线，则∠APF＝60°，显然不可能，故②错误，∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝（∠BAC﹣∠ACB），故③错误，∵BD⊥AC，PH∥BD，∴PH⊥AC，∴∠PHA＝∠PFA＝90°，∵∠ACF＝∠BCF，CF＝CF，∠CFA＝∠CFB＝90°，∴△CFA≌△CFB（ASA），∴CA＝CB，故④正确，故答案为①④．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题17．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣4＝﹣3；（2）原式＝﹣27a6÷6a+a2•a3＝﹣a5+a5＝﹣3a5．【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣1）＝x2+2x+1﹣x2+1＝2x+2；（2）原式＝﹣＝﹣＝．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．19．【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL证得结论；（2）由（1）中结论可得到∠D＝∠B，则可证得结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形，∵CD＝BF，∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠D，∴AB∥DE．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；（2）连接AB1，交x轴于点P，根据图形可得点P的坐标．【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；C1的坐标为（2，1）．（2）如图所示，连接AB1，交x轴于点P，点P的坐标为（2，0）．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．21．【分析】（1）设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由提前完成的天数＝工作总量÷原计划工作效率﹣工作总量÷现在工作效率，即可得出结论．【解答】解：（1）设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，依题意，得：＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝200．答：现在平均每天生产200台机器．（2）﹣＝20﹣15＝5（天）．答：现在比原计划提前5天完成．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；（2）根据题意得出＝﹣1，解之求得x的值，再根据分式有意义的条件即可作出判断．【解答】解：（1）原式＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝2；（2）若原代数式的值等于﹣1，则＝﹣1，解得x＝0，而x＝0时，原分式无意义，所以原代数式的值不能等于﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．23．【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；（2）求出AE＝AC，根据角平分线的定义可得∠EAF＝∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ACF；（3）作高线EG，根据三角形的外角性质得∠EAG＝30°，根据直角三角形的性质可得高线EG ＝4，根据三角形面积公式可得结论．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，∴AE＝AC，∵AF是∠EAC的平分线，∴∠EAF＝∠CAF，在△AEF和△ACF中，，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠E＝∠ACF，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，∴∠ABE＝∠ACF．（3）解：如图，过E作EG⊥AB，交BA的延长线于G，∵AB＝AC＝AE＝8，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠GAE＝∠ABE+∠AEB＝30°，∴EG＝AE＝4，∴三角形ABE的面积＝＝＝16．【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．24．【分析】（1）根据分解因式的定义，假设未知数，进行求解；（2）同上一问，假设未知数，进行求解；然后对体积的表达式进行因式分解，得到乙容器的高；【解答】解：（1）设原式分解后的另一个因式为x+n，则有：x2+2x﹣m＝（x +4）（x +n ）＝x 2+（4+n ）x +4n∴4+n ＝2可得n ＝﹣24n ＝﹣m 可得m ＝8综上所述：m ＝8（2）①设甲容器的高为x 2+mx ﹣3，则有：（x ﹣1）（x ﹣2）（x 2+mx ﹣3）＝x 4﹣x 3+ax 2+bx ﹣6 ∴x •（﹣2）•x 2+（﹣1）•x •x 2+x •x •mx ＝﹣2x 3﹣x 3+mx 3＝（m ﹣3）x 3＝﹣x 3从而得m ﹣3＝﹣1m ＝2原甲容器的体积＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x 2+2x ﹣3）＝x 4﹣x 3﹣9x 2+13x ﹣6从而得a ＝﹣9，b ＝13②由乙容器的底面为正方形可得：x 4﹣x 3﹣9x 2+13x ﹣6＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x 2+2x ﹣3）＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x +3）（x ﹣1）＝（x ﹣1）2（x 2+x ﹣6）故答案为：甲容器的高为x 2+2x ﹣3，乙容器的高为x 2+x ﹣6【点评】该题通过设置未知数，运用多项式乘多项式的方法求解未知数的值．25．【分析】（1）根据路程＝速度×时间，可用含t 的代数式表示BN ，CM 的长，即可用含t 的代数式表示AN 的长；（2）①由题意可得S △ABM ＝S △BNC ，根据三角形面积公式可求t 的值；②过点P 作PF ⊥BC ，PG ⊥AB ，过点A 作AE ⊥CN ，交CN 的延长线于点E ，连接BP ，可证四边形PGBF 是矩形，可得PF ＝BG ，根据三角形的面积公式，可得方程组，求出PG ，PF 的长，根据勾股定理可求PN 的长，通过证△ANE ∽△CNB ，可求AE ，NE 的长，即可求∠APN 的度数．【解答】解：（1）∵M ，N 两点均以1个单位/秒的速度匀速运动，∴CM ＝BN ＝t ，∴AN ＝8﹣t ，故答案为：8﹣t ，t ；（2）①若△CPM 和△APN 的面积相等∴S △CPM +S 四边形BMPN ＝S △APN +S 四边形BMPN ，∴S △ABM ＝S △BNC ，∴＝∴8×（5﹣t ）＝5t∴t ＝∴当t ＝时，△CPM 和△APN 的面积相等；②如图，过点P 作PF ⊥BC ，PG ⊥AB ，过点A 作AE ⊥CN ，交CN 的延长线于点E ，连接BP ，∵PG ⊥AB ，PF ⊥BC ，∠B ＝90°，∴四边形PGBF 是矩形，∴PF ＝BG ，∵t ＝3，∴CM ＝3＝BN ，∴BM ＝2，AN ＝5，∵S △ABM ＝S △ABP +S △BPM ，∴∴16＝8PG +2PF ①∵S △BCN ＝S △BCP +S △BPN ，∴×5×3＝∴15＝3PG +5PF ②由①②组成方程组解得：PG ＝，PF ＝，∴BG ＝∴NG ＝BN ﹣BG ＝3﹣＝在Rt△PGN中，PN＝＝，在Rt△BCN中，CN＝＝∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC∴△ANE∽△CNB∴∴∴AE＝，NE＝∵PE＝EN+PN∴PE＝+＝∴AE＝PE，且AE⊥PE∴∠APN＝45°【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，矩形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，本题的关键是求出PN的长．。