经济数学经济学中常用的函数

一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。

常用C表示，可以看作是产量x的函数，记作C C(x)总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。

固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。

在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x的函数，所以C(x) F V(x)，在长期生产中，支出都是可变成本，此时F0。

实际应用中，产量x为正数，所以总成本函数是产量x的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx,其中b 0为常数.（2）二次函数 C a bx cx2,其中c 0,b0为常数.（3）指数函数 C be ax, 其中a,b 0为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 C C(x).xR表示，即总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x）所得到的全部收入，常用R R(x)其中x为销售量. 显然，R Q0R(0) 0，即未出售商品时，总收益为０. 若已知需求函数Q Q(p)，则总收益的为R R(Q) PQ Q1(p)Q平均收益：R R(x)p，则R p x，且R p. x，若单位产品的销售价格为L表示，即总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L(x) R(x)C(x)例某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。

日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解设每日的总成本函数为C及平均单位成本函数为C，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有C C(x) 1306x (0 x 100)C C(x) 130(0 x 100) x6例设某商店以每件a元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R表示为销售量x的函数。

常用经济函数模型经济函数模型是用来描述经济变量之间关系的数学模型。

在经济学中，一些常用的经济函数模型包括：1.消费函数模型：描述消费支出与收入之间的关系。

一般形式为C=α+βY，其中C表示消费支出，Y表示收入，α和β是参数。

这个模型表明消费支出与收入之间存在正相关关系，即收入越高，消费支出也越高。

2.投资函数模型：描述投资支出与利率之间的关系。

一般形式为I=I0(r)，其中I表示投资支出，r表示利率，I0是利率为零时的投资支出。

这个模型表明投资支出与利率之间存在负相关关系，即利率越高，投资支出越少。

3.生产函数模型：描述一定时期内生产过程中各要素的投入与产出之间的关系。

一般形式为Y=F(X1,X2,Xn)，其中Y表示总产出，X1,X2,Xn表示各种生产要素的投入量，F是生产函数。

这个模型表明在一定时期内，生产要素的投入量与产出量之间存在一定的函数关系。

4.成本函数模型：描述一定时期内生产成本与产量之间的关系。

一般形式为C=C(Y)，其中C表示总成本，Y表示总产量。

这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，生产成本也会发生变化。

5.收益函数模型：描述一定时期内销售收入与销售量之间的关系。

一般形式为R=R(Q)，其中R表示总收入，Q表示销售量。

这个模型表明在一定时期内，随着销售量的变化，销售收入也会发生变化。

6.利润函数模型：描述一定时期内企业利润与产量之间的关系。

一般形式为π=π(Y)，其中π表示总利润，Y表示总产量。

这个模型表明在一定时期内，随着产量的变化，企业利润也会发生变化。

这些经济函数模型在经济学的各个领域中都有广泛的应用。

例如，在宏观经济分析中，可以通过消费函数模型和投资函数模型来预测经济增长；在微观经济分析中，可以通过生产函数模型和成本函数模型来制定企业生产计划和进行成本控制；在市场营销中，可以通过收益函数模型和利润函数模型来制定销售策略和进行利润管理。

需要注意的是，这些经济函数模型都只是对现实经济现象的近似描述，并不完全准确。

1.4经济学常用函数导言：经济学是研究如何利用有限的资源合理安排生产，并把生产出来的产品在消费者中合理分配，以达到人类现在和将来最大满足的科学。

为了实现经济学的目标，需要对经济变量进行定量分析。

本节介绍经济学中的几个常用概念和常用经济学函数，这些经济学概念和经济学函数要记住。

需求函数需求被理解为购买者在一定时期内愿意，并且有购买能力以一个可能的价格购买某种商品的数量。

需求与购买的愿望和能力有关，如果不考虑购买者的收入、偏好等因素，则在一定时期内商品的需求量g主要依赖于商品的价格卩。

因此商品的需求是价格的函数，称为需求函数，记为q = f(p)。

有时把需求量作为自变量，价格取为因变量，取q = f(p)的反函数，p = fS也称为需求函数。

需求函数q = f(p)通常是单调减函数，其图像如图1.12所示。

图1.12需求函数成本函数生产某产品时为消耗的生产要素所支付的费用称为成本。

总成本是生产特定产量所需要的成本总额，总成本C由固定成本G)和可变成本G⑷组成，即c二c° + G⑷。

I古I定成本是在一定时期内不随产量变动的成本，如厂房、机器折旧费、一般管理费等，可变成本是随着产量而变动的—r费用，如原料、动力费用、劳动力支出等等。

平均成本为C = —= (C° + G(q))© q 收益函数设某种商品的价格为p,需求量(等于销售量)为q = f(p),则出售这些商品可获得的总收益为R=pq=pf(p) o总收益也可写为R = p• q = q•厂'(q)，其中p =厂'⑷是需求函数q = f(p)的反函数。

供给函数卖方在一定吋期内以任一可能价格愿意且能出售的某种商品的数量称为供给。

在不考虑投入成本、劳务价格等因素情况下，供给量q主要与市场价格p有关，记为q = g(p)，g(p)通常是单调增加函数，如图1・13所示。

利润函数收益R与成本C的差称为利润L,即L(q) = R(q)-C(q)。

第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4★ 成本函数 ★ 例5 ★ 例6★ 收入函数与利润函数 ★ 例7 ★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-3内容要点一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=.复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为 mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1. 三、贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有 n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为n r R p )1(+=, 式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金n n r R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++= 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q f p -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca b d p ≡--= 这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利;当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲单利与复利例1 (E01) 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?解 (1) 已知,100=p ,07.0=r 由单利计算公式得121)07.031(100)31(3=⨯+⨯=+=r p s (元)即3年末的本利和为121元.(2) 由复利计算公式得5.122)07.01(100)1(333≈+⨯=+=r p s (元)(3) 若n 年后的本利和超过初始本金的一倍，即要即需11年本利和可超过初始本金一倍.贴现例2 (E02) 某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?解 由贴现计算公式，贴现金额为55221)1()1()1(r R r R r R p +++++= 其中 ,5001=R ,8002=R ,20005=R .06.0=rp r p s n n 2)1(>+=2)07.1(>n 2ln 07.1ln >n 2.1007.1ln /2ln ≈>n故 21.2678)06.01(2000)06.01(800)06.01(50052≈+++++=p (元).市场均衡例3 (E03) 某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解 由均衡条件s d Q Q =得10255200-=-P P例4 (E04) 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.解 由题意看出所求函数的定义域为[500,1000]. 已知每次多进100台，价格减少2元，设每次进电扇x 台，则每次批发价减少)500(1002-x 元/台，即所求函数为 )500(1002160--=x P 10010002160--=x 50170x -= 当800=x 时，15450800170=-=P (元/台) 即每次进800台电扇时的批发价格为154元/台.成本函数例5(E05) 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.解 据,)(变固C C x C += 可得总成本 ,16150)(x x C +=]200,0[∈x平均成本.15016)()(xx x C x C +==例6(E06) 某服装有限公司每年的固定成本10000元. 要生产某个式样的服装x 件，除固定成本外，每套（件）服装要花费40元. 即生产x 套这种服装的变动成本40x 元.(1) 求一年生产x 套服装的总成本函数.(2) 画出变动成本、固定成本和总成本的函数图形.(3) 生产100套服装的总成本是多少？400套呢？并计算生产400套服装比生产100套服装多支出多少成本？解 (1) 因变固C C x C +=)(，所以总成本 [)+∞∈+=,0,1000040)(x x x C .(2) 变动成本函数和固定成本函数如左下图所示，总成本函数如右下图所示. 从实际情30=p 70=165102500=-=P况来看，这些函数的定义域是非负整数0，1，2，3等等，因为服装的套数既不能取分数，也不能取负数. 通常的做法是把这些图形的定义域描述成好像是由非负实数组成的整个集合. yO x C =10 00010020030040010 00020 00030 000固C =40变x-)C ()100(3) 生产100套服装的总成本是)(140001000010040)100(元=+⨯=C .生产400套服装的总成本是)(260001000040040)400(元=+⨯=C .生产400套服装比生产100套服装多支出成本是)(120001400026000)100()400(元=-=-C C .收入函数与利润函数例7(E07) 参看例6.某有限公司的决定，销售x 套服装所获得的总收入按每套100元计算，即收入函数x x R 100)(=.(1) 用同一坐标系画出)()(x C x R 、和利润函数)(x L 的图形.(2) 求盈亏平衡点.解 (1) 1000040)(100)(+==x x C x x R 和的图形如图所示.当)()(x C x R 在上方时，将出现亏损.当)()(x C x R 在下方时，将有收益.利润函数1000060)1000040(100)()()(-=+-=-=x x x x C x R x L)(x L 的图形用虚线表示. x 轴下方的虚线表示亏损，x 轴上方的虚线表示盈利.40x+10 000-=60x )-10 000x(2)为求盈亏平衡点，需解方程)()(x C x R =，即1000040100+=x x解之得32166=x . 所以盈亏平衡点约为167. 预测盈亏平衡点通常要进行充分考虑，因为公司为了获利最大，必须有效经营.例8 某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.解 因为产量超过800台时售价要按9折出售，又超过1000台(即800台+200台)时, 多余部分销售不出去，从而超出部分无收益. 因此，要把产量分三阶段来考虑. 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>⨯⨯+⨯≤<-⨯+⨯≤≤=1000,2005009.08005001000800),800(5009.08005008000500)(x x x x x x R.1000,4900001000800),800(4504000008000,500⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+≤≤=x x x x x例9 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.解 (1) 因为),()()(x C x R x L -=,152000)(x x C +=,20)(x x R =所以.20005)152000(20)(-=+-=x x x x L(2) 当0)(=x L 时，不亏本，于是有,020005=-x 得400=x (单位).例10 (E08) 某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?解 收入函数为)45000900()(+-⋅=P P P R .450009002P P +-= 利润函数为 )80060(900)()()(2+--=-=p P P C P R P L .90000)30(9002+--=P由于利润是一个二次函数，容易求得，求价格30=P 元时，利润90000=L 元为最大利润. 在此价格下，可望销售量为180004500030900=+⨯-=x (单位).例11 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++= 试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.解 由0=L 和已知条件得231211x x x ++= 01282=+-x x从而得到两个盈亏平衡点分别为 .6,221==x x 由利润函数)312(11)()()(2x x x x C x R x L ++-=-=)6)(2(1282x x x x --=--=易见当2<x 时亏损, 62<<x 时盈利，而当6>x 时又转为亏.课堂练习1.(1) 设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q .（3）求市场均衡价格和市场均衡数量.。

经济数学基础 第一章 函数第三单元 经济分析中常见函数第一节 需求与供给函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数．二、内容讲解这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．定义1.9——需求函数和供给函数．大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．)0,0(<>+=b a b ap q dd q 表示需求量，p 表示价格，b a ,表示常数．经济数学基础 第一章 函数)0,0(1111><+=b a b p a q ss q 表示供给量，p 表示价格，11,b a 表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0<a ，当然0>b ．而供给量应随着价格的增加而增加，所以01>a ，01<b ，因为当价格为零时，不会有供给量．从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为0p 时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过0p 时，供过于求；价格低于0p 时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有b>0？经济数学基础 第一章 函数答案因为表达式中的a 取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0．三、例题讲解某种商品的供给函数和需求函数分别为1025-=p q s ，p q d 5200-=，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由市场均衡条件s d q q =得到p p 52001025-=- 解出70=p ，1650=q四、课堂练习1.已知某产品的供给函数为q s ＝3p －5，需求函数为q d ＝15－2p ，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．由市场均衡条件q d ＝q s 可得15－2p ＝3p －5整理得：0205=-p ．得，五、课后作业1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为p q d -=25，340320-=p q s试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.20,54 0 = p 7 0 = q经济数学基础 第一章 函数第二节 成本、收入和利润函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道它们之间的关系．二、内容讲解我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．定义1.10——成本函数．一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C 0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本C １，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：C =C 0+C １成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C (q )=c 0+C １(q )这就是成本函数．其中总成本C (q )是产量q 的函数，c 0与产量无关，变动成本C １(q )也是产量q 的函数．我们在引入平均成本的概念：q q C C )(总成本除以产量q ，就是产量为q 时的平均成本，用C 来表示．定义1.11——收入函数一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R = q p (q )经济数学基础 第一章 函数其中p (q )是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数q q R R )(=现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R =pq ，它的图形就是下面这样图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．定义1.12——利润函数利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q 的函数，收入也是q 的函数，那么利润也是q 的函数．即L (q )=R (q )−C (q )相应地有平均利润函数的概念：q q L L )(=（1）L (q )>0盈利，（2）L (q )<0亏损，（3）L (q )=0盈亏平衡 满足L (q )=0的q 0称为盈亏平衡点（又称保本点）．在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： C =c 0+c １qR =pq 它们的图形是经济数学基础 第一章 函数两条直线的交点表示收入与成本相等，q 0就是盈亏平衡点． 如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c 1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.从几何上看，增加直线R 的斜率或减小直线C 的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．三、例题讲解例1生产某商品的总成本是q q C 2500)(+=，求生产50件商品时的总成本和平均成本．解：成本q q C 2500)(+=，平均成本25002500)()(+=+==q q q q q C q C600502500)50(=⨯+=C ，12250500)50(=+=C经济数学基础 第一章 函数例2 某商品的成本函数与收入函数分别为q C 521+=，q R 8=，求该商品的盈亏平衡点．解：q q C 521)(+=，q q R 8)(=，)()(q R q C =q q 8521=+，即7=q四、课堂练习练习1 已知生产某种产品的总成本为C (q )＝50＋2q ＋0.1q 2，该产品的需求函数为q ＝40－2p ，试求产量q 为10时的总利润和平均利润．练习2 某企业生产一种产品的固定成本c 0为20万元，变动成本为C 1＝2q （万元），其中q 为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为300元．试求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况．由于产量q 的单位是百件，每件的售价为300元，因此R (q )＝3q ，成本C (q )为固定成本和变动成本之和，故C (q )＝20＋2q ，由此得到L (q )＝R (q )－C (q )＝3q －(20＋2q )＝q －20五、课后作业1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．2．设某商品的需求函数为p q 51000-=，试求该商品的收入函数)(q R ，并求销量为200件时的总收入．经济数学基础 第一章 函数3．设某商品的成本函数和收入函数分别为q C 521+=，q R 8=，试求： （1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？。

经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。

函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。

经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。

本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。

一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。

线性函数的表达式为：y = ax + b。

（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。

例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。

二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。

二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。

在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。

例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。

三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。

指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。

指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。

例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。

四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。

对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。

对数函数在经济学中也是常用的函数之一。

例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。

五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。

多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。

例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。