第二部分 代数2014(大字)

第二部分 代数本部分内容包括：考试要求、内容综述、典型例题．【考试要求】代数式和不等式的变换和计算．包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等． 一、数和代数式 【内容综述】 1． 实数的运算（1）乘方与开方的运算满足下面的性质：x y x y a a a +=，x x y y aa a-=，()x x x ab a b =，()x y xy a a =（2）绝对值规定为：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；a b -等于数轴上点a 与b 之间的距离；绝对值运算有以下性质：a a a -≤≤；ab a b ++≤；a b a b +-≥；||||||ab a b =；||||a ab b =． 2． 复数的运算（1）称i z a b =+为复数，i 称为虚数单位（2i 1=-），实数a 与b 分别称为z 的实部与虚部，0a =且0b ≠时称z 为纯虚数，i z a b =-称为i z a b =+的共轭复数，z =z 的模，满足tan baα=的角α称为z 的幅角，复数z 可以表示为(cos isin )z z αα=+． （2）设111i z a b =+，222i z a b =+，则121212()i()z z a a b b ±=±+±；i z a b λλλ=+；1212121221()i()z z a a bb a b a b =-++；1112222222(i)(i)z a b a b z a b +-=+（20z ≠）． （3）设()1111cos isin z z αα=+，()2222cos isin z z αα=+，则()12121212cos()isin()z z z z αααα=+++；()11121222cos()isin()z z z z αααα=-+-（20z ≠） （4）复数i z a b =+可用复平面上的点(,)P a b 表示，也可用向量OP 表示，0z z -表示复数z 与0z 之间的距离． 3． 几个常用公式（1）222()2a b a ab b ±=±+； （2）33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-；（3）22()()a b a b a b -=+-； （4）3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++；（5）1123(1)2n n n ++++=+．4． 多项式的除法：()()()()()P x L x K x Q x Q x =+ 【典型例题]】 1．实数运算▲例1．（2003）已知实数x 和y 满足条件999()1x y +=-和1000()1x y -=，则10001000x y +的值是( )．A ．1-B ．0C ．1D ．2答：C ．分析：由于999()1x y +=-，所以1x y +=-．而由1000()1x y -=可知1x y -=或1x y -=-．解方程组1,1x y x y +=-⎧⎨-=⎩ 和 1,1,x y x y +=-⎧⎨-=-⎩ 得 0,1x y =⎧⎨=-⎩ 和 1,0,x y =-⎧⎨=⎩ 从而 100010001x y +=．例2．（2004）实数,,a b c 在数轴上的位置如下图表示，图中O 为原点，则代数式a b b a a c c +--+-+=( )． A ．32a c -+ B ．2a ab c ---C ．2a b -D ．3a 答：A ．分析：从题中图上可知 0b a c <<<，所以()()()32a b b a a c c a b a b c a c a c +--+-+=-+--+-+=-+．▲例3． （2011）设O 为坐标轴的原点，,,a b c 的大小关系如图所示，cOa b∙∙ ∙ ∙则111111a b b c c a+--+-的值是( )． A ．0 B ． 2a C ．2bD ．2c答：B ．分析：由图知，0c b a <<<，所以1111111111112()()()a b b c c a a b b c a c a +--+-=+--+-=．▲例4．（2012）若,,a b c 分别为ABC ∆的三边之长，则||||||a b c b c a c a b --+-----=( )．A ．a b c +-B ．b c a +-C ．3a b c --D ．3c a b --分析：因为三角形的两边之和大于第三边，所以||||||a b c b c a c a b --+----- ()()()b c a c a b c a b =+-++-+--3c a b =--．答：D 2．复数运算▲例1．（2004）arg z 表示z 的幅角，今又arg(2i),arg(12i)αβ=+=-+，则sin()αβ+=( )．A ．45-B ．35-C ．45D ．35答：D ．分析： 如图，易知sin cos sin cos ααββ====所以3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ+=+=．▲例2．（2005）复数2(1i)z =-的模z =( )． A ．4 B ． C ．2D 分析：因为1i -=，所以22(1i)1i 2-=-=，即正确选项为C ． ▲例3．（2006）复数1iz =的共轭复数z 是( )． A ．i B ．i -C ．1D ．1-答：A分析：由于1i iz ==-，所以i z =．▲例4．（2011）若复数11i1iz -=+，222(1i)(1i)z +=-，则12z z -=( )． A ．2 B C D ．1答：B ．分析：本题主要考查了复数的除法运算与复数模的计算．因为 211i (1i)i 1i 2z --===-+，22222(1i)(1i)1(1i)2z ⎡⎤++===-⎢⎥-⎣⎦，所以 12|1i |z z -=-+=▲例5．（2013）设i 是虚数单位，223456789(1i)i i i i i i i i iz +=++++++++，则复数z 的虚部是（ ）．A ．0B ．1CD ．2答 A ．分析 本题考查了复数的基本概念和简单运算． 因为223456789(1i)2i 2i 2i i i i i i i i i i 1i 1i 1i 1i iz +====++++++++--++--++，所以复数z 的虚部是0．▲例6．满足条件i 34i z -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )． A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆答：C ．分析：根据复数的几何意义可知，满足等式0z z a -=的复数z 的轨迹是以0z 为圆心、以a 为半径的圆周．所以满足条件i 34i 5z -=+==的复数z 的轨迹是圆心在点(0,1)，半径为5的圆周．故正确选项为C ．注：本题也可用纯代数的方法求解．设i z x y =+，则i (1)i z x y -=+-=．又因为34i 5+==，所以由i 34i z -=+可知5=．这是一个圆心在点(0,1)，半径为5的圆周的方程．故正确选项为C ． ▲例7．若z C ∈且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答：B ． 分析：如图，方程22i (22i)1z z +-=--+=表示复数z 对应的点在以点(2,2)-为圆心、半径是1的圆周上，而22i (22)z z i --=-+最小，是指复数z 对应的点到点(2,2)的距离最短，由图可知此最短距离为3． 3．代数公式 ▲例1．（2005）已知510x y z y -=-=且，则222x y z x y y z z x ++---=( )． A ．50 B ．75C ．100D ．105答：B ．分析：由于5,10x y z y -=-=，所以5z x -=，从而2222221[()()()]752x y z xy yz zx x y z y z x ++---=-+-+-=．▲例2．（2013）两个正数的算术平均值等于( )． A ．4B． C ．6D．答 C ．分析 本题考查了算术平均值与算术平方根的概念，考查了两数和与两数差的平方公式．设两个正数分别为a 和b ．由题意可知a b +=，3ab =．所以 22()()4481236a b a b ab -=+-=-=，即||6a b -=．故正确选项为C ．▲例3．（2011） 若32x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( )． A ． 1- B ． 0C ． 1D ． 2答：A ．分析：本题主要考查了代数运算及两数平方差公式． 解法143)(59)(51)(1)(2)(3)1216x x x x -++--+++===-．解法2 本题利用排除法也很简单．因为302x -=<，10,20,30x x x +>+>+>，所以(1)(2)(3)0x x x x +++<．4．代数式运算▲例1．（样题）在连乘式(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x +++++展开式中，4x 前面的系数为( )．A ．13B ．14C ．15D ．16答：C ．分析：(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x +++++展开式中，4x 是由一个因子中的常数与其他四个因子中的x 相乘得到的，所以共有5部分含有4x 因子，它们是4444,2,3,4,5x x x x x ，因此4x 前面的系数为11234556152++++=⨯⨯=． ▲例2．（2007）当1x ≠-和2x ≠-时, 213212x m nx x x x -=+++++恒成立，则（A ）． A ．2,3m n =-= B ．3,2m n =-= C ．2,3m n ==- D ．3,2m n ==-分析：213212x m nx x x x -=+++++ 2(2)(1)()(2)(1)(2)32m x n x m n x m n x x x x ++++++==++++， 所以，()(2)1m n x m n x +++=-，于是比较系数得1,21m n m n +=+=-，解得 2,3m n =-= ．▲例3． 若32x x ax b +++能被232x x -+整除，则( )． A ．4,4a b == B ．4,4a b =-=-C ．10,8a b ==-D ．10,8a b =-=答：D ．分析：因为322()(32)()f x xx a x b x x u x =+++=-+，且1,2是2320x x -+=的解，所以(1)20f a b =++=，(2)2120f a b =++=，解得 10,8a b =-=．二、集合、映射和函数（微积分） 【内容综述】 1．集合（1）概念（集合、空集、全集、表示法）,{0},N , Z ,Q , R , CA x x Φ=<<+∞ （2）包含关系（子集、真子集、相等、子集的个数2n ）A B x A x B ⊂⇔∀∈⇒∈，,A B A B B A =⇔⊂⊂，BABABA（3）集合运算 ①A 与B 的并集{,AB x x A =∈或}x B ∈，A 与B 的交集{,A B x x A =∈且}x B ∈， A 的补集()I C A （或A ）{,}x x I x A =∈∉．② 集合的运算有下面的性质：()()()A B C A B A C =； ()()()A B C A B A C =；A B A B =；A B A B =．2． 函数 （1）函数概念定义：设D 是一个非空实数集，f 是定义在D 上的一个对应关系，若对于任意的实数x D ∈，都有唯一的实数R y ∈通过f 与之对应，则称f 是定义在D 上的一个函数，记作(),y f x x D =∈．其中x 称为自变量，y 称为因变量．自变量的变化范围称为函数的定义域，所有函数值构成的集合{(),}y y f x x D =∈称为函数的值域． 定义域与对应关系称为函数的两要素．集合{(,)(),}x y y f x x D =∈称为函数(),y f x x D =∈的图象．单调函数存在反函数，函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的定义域与值域相互对调，它们的图象关于直线y x =对称．Note1：分段函数：1020(),,()(),,f x x x f x f x x x >⎧=⎨⎩≤1,0,()1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-⎩≤ Note2：隐函数：1sin 2x y y =+ ，()y y x = （2）函数的简单性质有界性：设函数()f x 在D 上有定义，如果存在两个实数m 和M ，满足条件：对D 中所有的x 都有不等式()m f x M ≤≤，则称()f x 在D 上是有界函数，m 叫做()f x 的下界，M 叫做()f x 上界．单调性：设函数()f x 在D 上有定义，若对于任意的12,x x D ∈且12x x <，都有12()()f x f x <成立，则称函数()f x 在D 上单调增加，这时也称()f x 是D 上的单调增加函数，D 又称为函数()f x 的单调增加区间．类似地可以定义单调减少函数和单调减少区间．奇偶性：设函数()f x 在区间D 上有定义，而且D 关于坐标原点对称，如果对任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是区间D 上的奇函数；如果对任意的x D ∈，都有()()f x f x -=成立，则称()f x 是区间D 上的偶函数．奇函数的图象关于原点对称,(0)f 若存在,其值为0；偶函数的图象关于y 轴对称．周期性：设函数()f x 的定义域为R ．若存在正数0T >，使得对任意的R x ∈都有()()f x T f x +=，则称()f x 是一个周期函数，0T >称为()f x 的周期．如果函数()y f x =以T 为周期，那么函数()()(0)g x f ax b a =+≠的周期T a．（3）函数的运算设函数(),()f x g x 都在D 上有定义，R k ∈，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变，而函数值的对应定义如下：加法运算 ()()()()f g x f x g x +=+，x D ∈； 数乘运算()()()kf x kf x =，x D ∈；乘法运算 ()()()()fg x f x g x =，x D ∈；除法运算()(),()0()f f x x g x g g x ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，x D ∈． 设函数()f x 和()g x 的定义域分别是g D 和f D ，值域分别是g Z 和f Z ．当g f Z D ⊂时，对于任意的g x D ∈，都有唯一的()g f g x Z D ∈⊂，从而有唯一的(())f f g x Z ∈与g x D ∈对应，这样就确定了一个从g D 到f Z 的函数，此函数称为函数f 和g 的复合函数，记作()()(())f g x f g x =．Note ：复合函数(())y f g x =（4）幂函数、指数函数、对数函数当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递增，取值范围是(0,)+∞；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，取值范围是(0,)+∞．当1a >时，指数函数x y a =在(,)-∞+∞上单调递增，取值范围是(0,)+∞；当01a <<时，指数函数x y a =在(,)-∞+∞上单调递减，取值范围是(0,)+∞．对数函数log (01)a y x a =<<是指数函数x y a =的反函数；10log y x =称为常用对数，记作lg y x =；e log y x =称为自然对数，记作ln y x =．常用对数运算性质如下：log ln ln ln ,lnln ln ,ln ln ,log log y b a b x xxy x y x y x y x x y a=+=-==． 【典型例题】 1．集合▲例1．（2007）集合{0,1,2,3}的子集的个数为( )． A ．14B ．15C ．16D ．18答：C ．分析：由1个元素构成的子集有4个；由2个元素构成的子集有6个；由3个元素构成的子集有4个；再加上空集与全集，共4+6+4+216=个．一般地, n 个元素的集合所有的子集个数为2n ．▲例2．已知集合{}{}211,R ,log 1,R A x x x B x x x =-∈=>∈≥，则“x A ∈”是“x B ∈”的( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件答：B ．分析：因为{}11,(,0][2,)A x x x =-∈=-∞+∞R ≥，{}2log 1,(2,)B x x x R =>∈=+∞，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件．故正确选项为B ． 2．函数概念与性质例1．求函数y =的定义域．解：由 0,(1)0x x x ⎧⎨-⎩≥≥ 得函数的定义域为{1}{0}D x x =≥；例2．求函数y =的定义域．解：由 22210,10,11x x x ⎧-≥⎪-≠⎨⎪-≠⎩得函数的定义域为 (1,0)(0,1)-；▲例3． 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，函数11()()()33g x f x f x =++-的定义域为( )．A ．11[]33-， B ．2[0,]3C ．12[,]33D ．1[,1]3答：C ．分析：因为()f x 的定义域为[0,1]，所以 101,3101,3x x ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤ 解得()g x 的定义域为12[,]33．▲例4． (2005．16) 设函数()f x 的定义域是[]0,1，则函数()()()sin π1cos πg x f x f x =++的定义域是( )．A ． 6B ． (0)1f =-C ． 0.5x ≤D ． 0.51x ≤≤分析：考虑10,10,0s i n π1,01cos π1x x x x -⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≥≤≤≤≤得11,0sin π1,1cos π0,x x x -≤≤⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤解得0.5x ≤≤．即正确选项为D ．▲例5．函数1()(1)1x f x x x -=>+的反函数为( )． A ．1,(0,)1x y x x +=∈+∞- B ．1,(1,)1xy x x+=∈+∞- C ．1,(0,1)1xy x x+=∈- D ．1,(0,1)1x y x x +=∈- 答：C ．分析：由1(1)1x y x x -=>+得1(01)1y x y y +=<<-，所以函数1()(1)1x f x x x -=>+的反函数为1,(0,1)1xy x x+=∈-．故正确选项为C ． ▲例6．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =-，则当0x <时，()f x =( )． （A ）2x x +（B ）2x x -（C ）2x x -(D)2x x --答：A ．分析：当0x <时，根据奇函数的概念可知22()()[()()]f x f x x x x x =--=----=+．▲例7．已知0a ≠，函数32()f x ax bx cx d =+++的图像关于原点对称的充分必要条件是( )． (A)0b =(B)0c =(C)0d =(D)0b d ==分析：函数32()f x ax bx cx d =+++的图像关于原点对称的充分必要条件是函数()f x 为奇函数，故其偶次项的系数为0，即0b d ==．注：也可利用(0)0,(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩求得0b d ==，在说明当0b d ==时，()y f x =的图像关于原点对称．▲例8．（2010）函数()f x 是奇函数，()g x 是以4为周期的周期函数，且(2)(2)6f g -=-=．若2(0)((2)(2))1(20(2))2f g f g g f +-+-=，则(0)g =( )． A ．2 B ．1C ．0D ．1-答 A ．分析：因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，且由(2)6f -=知(2)6f =-．又(2)6g -=，所以22(0)((2)(2))(12)(20(2))(120)f g f g g g f g +-+-=-．由于()g x 的周期为4，所以(12)(120)(0)g g g =-=． 由题设知2(0)1(0)2g g =，解得(0)2g =． ▲例9．（2012）若()f x 是以3为周期的奇函数，()g x 是以2π为周期的偶函数，π(π)2g =，则πsin((2012)(2))6πcos((3π)2(π))3f fg g +-+=+-+( )． A．2- B．2C．3D分析（代数：函数简单性质，三角：特殊角的三角函数值）ππsin((2012)(2))sin((2)(2))66ππcos((3π)2(π))cos(3(π))33f f f fg g g +-++-+=+-++π1sin63ππ3cos()232===+．答：C▲例10．（2013）定义在实数集上的函数()f x，满足(1)()f x f x+=-，且在区间[1,0]-上严格单调增，则( )．A．(3)(2)f f f<<B．(2)(3)f f f<<C．(3)(2)f f f<<D．(2)(3)f f f<<答A．分析：本题考查了函数的简单性质．因为(1)()f x f x+=-，所以1)2)f f f=--=-，(2)(1)(0)f f f=-=，(3)(2)(0)(1)f f f f=-=-=-．又因为()f x在区间[1,0]-上严格单调增，所以(1)2)(0)f f f-<-<，即(3)(2)f f f<<．▲例11．（2003）函数(1)y f x=+与(1)y f x=-的图形关于( )．A．直线1x=对称B．直线1x=-对称C．直线0x=对称D．直线0y=对称答：C．分析：记()(1),()(1)g x f x h x f x=+=-，由于()(1)[1()]()g x f x f x h x=+=--=-，所以曲线()y g x=上的点(,())x g x关于直线0x=的对称点(,())(,())x g x x h x -=--在曲线()y h x =上，即函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图形关于直线0x =对称．注：作为选择问题，利用特殊值代入法处理本题是最有效的．如取()f x x =，则(1)1y f x x =+=+与(1)1y f x x =-=-是两条关于y 对称的直线．故正确选项为C ．3． 函数运算例1．（样题）设函数()1xf x x =-，0,1x x ≠≠，则1()()f f x =( )． (A)1x - (B)11x -(C)1x x - (D)1x -答：A ．分析：111()()111()11()x f x x f x x f x f x x-===----，0,1x x ≠≠．▲例2．（2008）设,>0()1,<0x x f x x x ⎧=⎨-⎩，则有( )．A ．2(())(())f f x f x =B ．(())()f f x f x =C ．(())()f f x f x >D ．(())()f f x f x <答：B ．分析：因为,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 易知()0f x >，所以(),()0,(())()1(),()0f x f x f f x f x f x f x >⎧==⎨-<⎩．▲例3．(2012)已知(1)ln2xf x x -=-．若(())ln fg x x =，则()g x =( )． A ．11x x -+B ．11x x +-C ．11x x-+D ．11x x+-答：B ．分析：由(1)ln 2x f x x -=-，令1x t -=，得1()ln 1t f t t +=-，所以()1(())ln()1g x f g x g x +=-．由题意得 ()1ln ln ()1g x x g x +=-，所以()1()1g x x g x +=-，解得1()1x g x x +=-．▲例4．（2013）若函数f 和g 满足()e 4x f x =+，2(())f g x x =，则()g x 的定义域是( )．A ．(2,2)-B ．(0,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2+-∞-∞，）答 D ．分析：本题考查了函数的复合运算，考查了指数、对数的性质和函数定义域的概念．由()e 4x f x =+，得()(())e 4g x f g x =+．又2(())f g x x =，所以()2e 4g x x +=，即 2()ln(4)g x x =-．故()g x 的定义域是{|||2}x x >．▲例5．（2013）设函数3,010,()107,10.x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪-⎩≤≤ 若,a b 是正整数，且31()()5f b f a -=，则a b +=( )． A ．15 B ．21C ．32D ．40答 B ．分析：本题考查了分段函数的概念和函数的求值运算，考查了简单整数方程．由题意可知，正整数,a b 不可能同时小于10或同时大于10．不妨设a b <，则10a <，10b ≥，所以3()10af a =，()7f b b =-．由31()()5f b f a -=，得3317105a b --=，整理得 101323b a =+，解得6a =，15b =，所以21a b +=． 4．简单函数▲例1．对于01a <<，给出下列四个不等式： （1）111a aa a++<（2）111a aa a ++>（3）1log (1)log (1)a a a a+<+（4）1log (1)log (1)a a a a+>+其中成立的是( )． A ．（1）与（3） B ．（1）与（4） C ．（2）与（3）D ．（2）与（4）答：D ．分析：当01a <<时，函数()x f x a =与()log a g x x =均是单调递减函数，又因为111a a +<+，所有11(1)(1),(1)(1)f a f g a g a a+>++>+，即111a aa a++>，1log (1)log (1)a a a a+>+．▲例2．（2009）若()max{2,f x x =-，则函数()f x 的最小值等于( )． A ．0 B ．12C ．1D ．2答：C ．分析：如图，函数()f x 的最小值在直线2y x =-与曲线y =由2x -=得1x =，所以要求的最小值为(1)1f =．▲例3． 若e 0,ln 0aa b b +=+=，121110,log 0255c c d d -=-=，则A ．,a b c d <<B ．,a b c d <>C ．,a b c d ><D ．,a b c d >>21642211答：B ．（数形结合） 三、代数方程 【内容综述】1．一元一次方程、二元一次方程组ax b =；111222,.a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩当1122a b a b ≠时，方程组有唯一解；当111222a b c a b c =≠时，方程组无解；当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多解． 2．一元二次方程：20ax bx c ++= （1）求根公式（判别式）： 24b ac ∆=-； 根据2224()24b b acax bx c a x a a-++=+-,可知20ax bx c ++=与2224()24b b acx a a-+=等价． 所以当0∆>时，方程有两个不同的实根1,22b x a-±=；当0∆=时，方程有一个二重实根 2b x a=-； 当0∆<时，方程有一对共轭复根,22b b x x a a-+--==． （2）根与系数的关系：1212,b cx x x x a a+=-=3． 一元二次函数的图像：2y ax bx c =++称为一元二次函数，其图象是xOy 平面上的一条抛物线．当0a >时，抛物线的开口朝上，当0a <时，抛物线的开口朝下．根据2224()24b b acy ax bx c a x a a-=++=+-，可知抛物线的对称轴为垂直于x 轴的直线2bx a=-，顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．4．简单的指数方程和对数方程 【典型例题】 1．一次方程组▲例1．（2007|20x y +=的解为( )．A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．42x y =⎧⎨=-⎩分析：|20x y +=,得等价联立方程0|20x y =+=⎪⎩，，即，2020.x y x y +-=⎧⎨+=⎩， 解得42.x y =⎧⎨=-⎩，2．一元二次方程▲例1．设0c ≠，若12,x x 是方程20x bx c ++=的两个根，求2221121212,x x x x x x x x +-+，，3312x x +．分析：根据韦达定理可知 1212,x x b x x c +=-=，所以2222121212()22x x x x x x b c +=+-=-；12x x -===222212112122x x x x b cx x x x c+-+==； 3322212121122()()(3)x x x x x x x x b c b +=+-+=-．▲例2．（2010）若图中给出的函数2y x ax a =++的图像与x 轴相切，则a =（ ）． A ．0 B ．1 C ．2D ．4答 D ．分析：由于2y x ax a =++的图像与x 轴相切，所以方程20x ax a ++=有重根，故yx240a a ∆=-=．由图知0a ≠，所以4a =．▲例3．（2004）已知1ab ≠，且满足22200830a a ++=和23200820b b ++=，则( )．A ．320a b -=B ．230a b -=C ．320a b +=D ．230a b +=答：B ．分析： 根据求根公式得20082008,46a b -±-±==当20082008,46a b -+--==时，易知1ab =，不满足条件．类似可知20082008,46a b ---+==也不满足条件．所以,a b 表达式中根号前的符号一致，从而230a b -=． ▲例4．（2007）两个不等的实数a 与b ，分别满足231x x -=．则22b a a b+的值等于（C ）． A ．18-B ．18C ．36-D ．36分析：两个不等的实数a 与b ，分别是二次方程2310x x --=的两个实数根．根据韦达定理，得3,1a b ab +==-．所以 22b a a b +332()[()3]b a a b a b a b a b a b+++-== 23[33(1)]31236(1)1--⨯===---▲例5．（2008）两个正数,()a b a b >的算术平均值是其几何平均值的2倍，则与ab最接近的整数是（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．15分析：根据题意得2a b +=21410a a b b ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得7a b =±，即与ab最接近的整数是14．故正确选项为C ．▲例6．（2013）某个锐角的正弦和余弦是二次方程20ax bx c ++=的不同的两个根，则,,a b c 之间的关系是( )． A ．224b a ac =- B ．224b a ac =+ C ．222b a ac =- D ．222b a ac =+答 D ．分析 本题考查了二次方程根与系数的关系及两数和的平方公式，考查了简单的三角关系式．设该锐角为x ．由题意可知sin cos b x x a +=-，sin cos cx x a=，所以 []22222sin cos sin cos 2sin cos 2b cx x x x x x a a+=+-=-，即2221b ca a-=． 整理得222b a ac =+．▲例7．若曲线3221y x a x ax =++-与x 轴有三个交点，其中一个是(1,0)-，则非负实数a 的值及其他两个交点的距离分别是( )．A ．2,B ．32,2C ．1,D ．31,2答：A ．分析：根据题意，当1x =-时，3221y x a x ax =++-的值为零，即2110a a -+--=，解得正数 2a =． 由于3223221421(1)(31)y x a x ax x x x x x x =++-=++-=++-，所有另外两交点的距离为12x x -====．▲例8．（2006）方程22006||2007x x -=所有实数根的和等于( )． A ．2006 B ．4 C ．0 D ．2006-答：C ． 分析：解1：方程22006||2007x x -=等价于 方程22006||20070x x --=． 显然，该二次方程必有实数根． 又由于该方法的左端关于正、负x 的值不变，通常称为关于正、负x 是对称的． 因此，若x 是方程的一个根，则x -也为其根．因此, 方程的根成对出现, 且互为相反数，而每一对相反数之和为0，所以方程22006||2007x x -=所有实数根之和等于0．解2：亦可利用二次代数方程求解．由二次方程根与系数的关系：方程22006||2007x x --=之根为：20062x ±=． 由绝对值性质可知，则原方程的根满足条件为：1003x =+．该方程之根为：110003x =, 21003x =--所以方程220062007x x -=的所有实数根之和120x x +=． 3．一元二次函数的图象▲例1．（2003）函数2(0)y ax bx c a =++≠在(,0]-∞上单调减的充要条件是( )． A ．0a <，且0b ≥ B ．0a <，且0b ≤ C ．0a >，且0b ≥ D ．0a >，且0b ≤答：D ．分析：函数2(0)y ax bx c a =++≠在(,0]-∞上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的横坐标非负，所以0a >且 02ba-≥，故0a >，且0b ≤．即正确选项为D ．注：如果不会做时，您也不要猜选项A 或选项B ．因为您肯定知道开口朝下的抛物线不会在(,0]-∞上单调减．▲例2．（2008）抛物线243y x x =-+-的图象不经过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限分析：由于抛物线243y x x =-+-的开口朝下、对称轴是22b x a=-=、顶点坐标为(2,1)，所以此抛物线只可能不经过第二象限．故正确选项为B ．▲例3． （2012）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ．如果60ACB ∠=，那么24b ac -的值是( )．A ．4B ．8C ．10D ．12 答 ：D ．分析：抛物线2y ax bx c =++的顶点C 的纵坐标为244ac b a-，又||||||A B AB x x a =-===，所以21||32tan30434||AB b ac a ===-．故2412b ac -=． ▲例4．已知条件：（1）y x b =+与2y x a =+有且只有一个交点； （2）2(R)x x b a x --∈≥，且“=”能够取到； （3）2(R)x x b a x --∈≤，且“=”能够取到．则能推出“直线y x b =+是抛物线2y x a =+的切线”的条件为 A ．（1） B ．（2） C ．（3） D ．（1）或（2）答：D ． 4．其他方程▲例1．指数方程组4216236x y x y ⎧=⎨=⎩的解( )．A ．只有一组B ．只有两组C ．有无穷多组D ．不存在 答：A ．分析：在方程组4216236x y x y ⎧=⎨=⎩中每个方程的两端取对数，得ln 4ln 2ln16,ln 2ln3ln 6,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 由于x 与y 的系数不成比例，所以此方程组只有一组解．故正确选项为A ． 四、不等式 【内容综述】1．不等式的基本性质及基本不等式（1）性质 不等式a b >与0a b ->等价，常用的不等式性质有 1）若,a b b c >>，则a c >； 2）若,0a b k >>，则ka kb >； 3）若,0a b k ><，则ka kb <；4）若,a b c d >>，则a c b d +>+，a d b c ->-．（2）常见的基本不等式有① 算术平均值与几何平均值的关系设,a b是非负实数，则有2a b+""= 当且仅当a b =时成立； ② 绝对值不等式设,a b 是两个任意实数，则有a b a b ++≤，""= 当且仅当,a b同号时成立． 2． 解不等式的例子 （1）一元二次不等式考虑不等式20ax bx c ++>，如果记一元二次方程的两个不同实根分别为12,x x ，且12x x <，根据一元二次函数的图象可知： 当0a >时，这个不等式的解集是12{}x x x x x <>或； 当0a <时，它的解集是12{}x x x x <<．类似的方法可以求解不等式20ax bx c ++≥，20ax bx c ++<或20ax bx c ++≤．（2）绝对值不等式不等式()0f x a >>等价于()f x a >或()f x a <-；不等式()f x a <等价于(),()f x a f x a>-⎧⎨<⎩或()a f x a -<<．[典型例题]▲例1．（2012）一次选举有四个候选人甲、乙、丙、丁，若投票结果是：丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是( )．A ．甲、丁、丙、乙B ．丁、乙、甲、丙C ．丁、甲、乙、丙D ．甲、丁、乙、丙答 D ． 分析： 设四个候选人的得票数也分别用甲、乙、丙、丁表示．由题意，得丁>乙，（1） 甲+乙>丙+丁， （2） 甲+丙=乙+丁，（3）由(2)(3)+，得 甲>丁；由(2)(3)-，得 乙>丙． （4）由（1），（4）可知 甲>丁>乙>丙．▲例2．如果函数()(0)kf x x k x=+>在(0,)+∞上的值恒大于1，那么k 的取值范围是( )． A ．1(,)4+∞ B ．1(,)2+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞答：A ．分析：在(0,)+∞上，因为()k f x x x =+=≥知1>，即14k >．故正确选项为A ．▲例3． 若0x >，则22(1)(1)x x x++-的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．6答：C ．分析：22(1)(1)12()24x x x x x ++-=+⨯=≥．▲例4．已知不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于( )． A ．4-B ．14C ．10-D ．10答：C ．分析：由于220ax bx ++>的解集是11(,)23-，所有方程220ax bx ++=的两个根是11,23-．根据根与系数的关系可知1112111,236236b a a -=-+=-=-⨯=-， 解得 12,2a b =-=-　，所有10a b -=-．故正确选项为C ． ▲例5．若不等式26ax +<的解集是区间(1,2)-，则a 等于( )． A ．4- B ．2-C ．0D ．2答：A ．分析：26ax +<等价于84ax -<<．此不等式当0a >时的解集是84(,)a a -不可能为(1,2)-；当0a <时的解集是48(,)a a -，在4a =-时，48(,)(1,2)a a-=-． ▲例6．已知{23}A x x =-<，2{(1)0}B x x a x a =+--<，若B A ⊆，则a 的取值范围为( )．A ．1a <-B ．15a -<≤C ．15a -<≤D ．15a -≤≤答：D ．分析：集合{23}(1,5)A x x =-<=-．方程2(1)0x a x a +--=的两个根为1,2112a ax -±+==， 所有当1a <-时，集合{1}B x a x =<<-；当1a ≥-时，集合{1}B x x a =-<<．因此当1a <-时，不会有B A ⊆；当1a -≥时，若B A ⊆，则5a ≤． ▲例7．解不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭．分析：原不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于282x x -<，即(4)(2)0x x -+<，解得24x -<<．五、数列 【内容综述】 1． 基本概念将一些编上号的数按其编号（不是按数本身）从小到大放到一起就构成了一个数列，数列一般记作 123,,,,,n a a a a 或{}n a ，其中na 称为数列的通项．1nn k k S a ==∑称为数列的前n 项和．2． 等差数列设{}n a 是一数列，若1n n a a d +-=对所有的n 都成立，则称{}n a 为等差数列，d 称为公差．等差数列的通项为1(1)n a a n d =+-，前n 项的平均值为12na a +，前n 项和为11(1)2n S na n nd =+-，且其通项满足1()(1,2,,1)2n n k n k a a a k n -+=+=-．最后一个等式说明：在等差数列中，任何一项都是其前后“对称”位置上的两项的算术平均值． 3． 等比数列设{}n a 是一数列且0n a ≠，若1n na q a +=对所有的n 都成立，则称{}n a 是等比数列，q 称为公比．等比数列的通项为11n n a a q -=，前n 项和为111nn qS a q-=-，且其通项满足(1,2,,1)n a k n ==-．最后一个等式说明：在等比数列中，任何一项的绝对值都是其前后“位置”上的两项的几何平均值．【典型例题】▲例1：若非负数列{}n a 满足ln 21n S n =+，则1nn a a -= A ．e B ．2eC ．2e 1-D ．2e 1+答：B ．分析：因为ln 21n S n =+，所以21e n n S +=，2121e (e 1)n n n n a S S --=-=-，从而21e nn a a -=． ▲例2． （2011）已知数列123,,,,,n a a a a 的通项是121(1)4n n n a +++-=，则该数列前101项的和等于( )．A ．2651B ．2601C ．2551D ．2501答：B ．分析：本题主要考查了等差数列前n 项和公式、组合法．因为10113203(21)101104032n n =++=⨯=∑， 10111(1)(11)(11)(11)11n n +=-=-+-++-+=∑，所以 ()12101110403126014a a a +++=+=． ▲例3．（2013）数列12,,,,n a a a 按如下规则构成：15a =，21(k k a a -=的数字和)1+，2,3,4,k =，如28a =，则50a =( )．A ．5B ．7C ．8D ．11答 C ．分析：本题主要考查了数列的递推公式，考查了数的表示和数列的周期． 因为2264a =，由题意可知 3(64)111a =++=． 类似地，由23121a =可知 4(121)15a =+++=．所以 15a =，28a =，311a =，45a =．因此数列{}n a 是以3为周期的周期数列，即3k k a a +=．所以50163228a a a ⨯+===．▲例4．若方程组,4,2x y a y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解,,x y z 成等差数列，则a =( )．A ．0B ．2C ．4D ．8答：A ．分析：由,4,2x y a y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩中的第二个方程减第三个方程，得 2y x -=；第三个方程减第一个方程，得2z y a -=-，因为,,x y z 成等差数列，所以z y y x -=-，即22a -=，故0a =．▲例5．如果6,,a c 和2236,,a c -都是等差数列，那么c 的取值是( )． （A ）6-（B ）2（C ）2或6（D ）2或6-答：D ．分析：因为6,,a c 和2236,,a c -都是等差数列，所以2262,362.c a c a +=⎧⎨-=⎩ 当0a =时，6c =-；当0a ≠时，由62,6c a c a+=⎧⎨-=⎩解得2c =．故正确选项为D ．▲例6．（2005）三个不相同的非0实数,,a b c 成等差数列，又,,a c b 恰成等比数列，则a b等于( )． A ．4 B ．2C ．4-D ．2-答：A ．分析：根据条件可知22,b a c c ab =+=，从而2()a c b b =，22()a c c c b b b b=+=+， 由于1c b ≠，所以解得 2c b =-，4ab=．即正确选项为A ． 注：根据条件2ab c =，所以0ab >，故选项C ，D 可被排除．又有2b a c =+可知2a c b b =+，且0c b ≠，故2ab≠，这样选项B 也被排除．故正确选项为A ．▲例7．（2006）设n 为正整数，在1与1n +之间插入n 个正数，使这2n +个数成等比数列，则所插入的n 个正数之积等于（ ）．A ．2(1)nn + B ．(1)n n + C ．2(1)n n +D ．3(1)n n + 答：A分析：设此等比数列的公比为q ，则11n q n +=+，即()111n q n +=+，所以()1(1)23221n n n nqq qq qn +==+．▲例8．（2009）若两个正数的等差中项为15，等比中项为12．则这两数之差的绝对值等于( )．A ．7B ．9C ．10D ．18分析：设两个正数分别为,a b ，则2215,12,a b ab +=⨯⎧⎨=⎩ 所以18a b -=====．正确选项为D ．另解：由2215,12,a b ab +=⨯⎧⎨=⎩得230144(24)(6)0b b b b -+=--=，进一步得6,24a b =⎧⎨=⎩或24,6.a b =⎧⎨=⎩ 所以18a b -=．▲例9．（2012）如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列．如果数阵中所有数的乘积等于1512，那么22a =( )．111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ．18B ．14C ．12D ．1答 C ．分析 ：根据题意311121312a a a a =，321222322a a a a =，331323332a a a a =，且2123222a a a =，所以333911121321222331323312223222a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅==．由9221512a =，得2212a =．特殊值代入法：取(13,13)ij a c i j =≤≤≤≤，则91512c =，所以2212a c ==． 六、排列、组合、二项式定理【内容综述】1． 分类求和原理与分步求积原理（1）分类求和原理：做一件事，完成它有k 类办法．如果在第i 类办法中又有i m 种不同的方法，那么完成这件事共有12k m m m +++种不同的方法．（2）分步求积原理：做一件事，完成它需要分成k 个步骤．如果做第i 个步骤时又有i m 种不同的方法，那么完成这件事共有12k m m m ⋅⋅⋅种不同的方法．2． 排列与排列数从n 个不同元素中任取()m m n ≤个元素按着一定的顺序排成一列，称为从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列．含有相同元素，且元素排列顺序相同的排列是同一个排列，从n 个不同元素中任取m 个元素的不同排列数为(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+．n n A 称为n 个元素的全排列，也叫n 的阶乘，记作!n ．3． 组合与组合数从n 个不同元素中任取()m m n ≤个元素构成一组，称为从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．含有相同元素的组合是同一个组合，从n 个不同元素中任取m 个元素的不同组合数为(1)(1)!m m n n m m A n n n m C A m --+==． 特别地，规定01n n n C C ==．组合数满足：m n m n n C C -=，11m m m n nn C C C -+=+． 4． 二项式定理()n nk k n k n k a b C a b -=+=∑称为二项式公式，二项式系数(0,1,,)k n C k n =满足：02n k n n k C==∑，0(1)0nk k n k C =-=∑． 【典型问题】▲例1．100件产品中，只有3件次品，从中任取3件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？ 12397C C（2）至少有一件次品的取法有多少种？ 3310097C C -（3）至多有两件次品的取法有多少种？331003C C - ▲例2．（2007）48支足球队，等分为8组进行阶段赛，每组中的各队之间都要比赛一场． 小组赛比赛的总场数是（ B ）．A ．48B ．120C ．240D ．288 分析：每组的各队之间要比赛2665152C ⨯==场，8组共赛158120⨯=场．▲例3．4名男生与2名女生站成一排，2名女生相邻的不同排法共有( )种．A ．48B ．120C ．240D ．720答：C ． 分析：为了保证两名女生相邻，在排队过程中认为她们只占一个位置，这样就有55120A =种不同排法．当其他人排好后，两名女生位置对调就会得到另外一种排法，所以不同的排法共有5252240A A =种． ▲例4．从3名男生和3名女生中，选出2名男生和1名女生分别担任3个不同部门的经理，不同的选派方案共有( )．A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种答：C ．分析：按着要求选出2名男生和1名女生的不同选法共有2133C C 种，将选出的3人派到三个不同部门的派法共有33A 种，所以不同的选派方案共有21333354C C A =种． ▲例5．在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5场单打比赛．若女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有A ．6种B ．8种C ．10种D ．12种答：D ．分析：23232612A A =⨯=． ▲例6． 如果7(1)ax -的展开式中3x 的系数等于725，那么a 的值是( )．A ．5B ．5-C ．15D ．15- 答：D ． 分析：由于7770(1)(1)k k k k k a x C a x =-=-∑，所以3k =对应的项是33333735C a x a x -=-．根据题意可知 373525a -=，所以15a =-．例7．求9(1+展开式中所有无理项系数之和．1335577999999922222S C C C C C =++++七、古典概率问题【内容综述】1． 基本概念在给定条件下一定能发生的事件称为必然事件，必然事件发生的概率为1；在给定条件下不会发生的事件称为不可能事件，不可能事件发生的概率为0；当事件A 和事件B 中至少有一个发生时，就称它们的和事件发生，记作A B 或A B +；当事件A 和事件B 都发生时，就称它们的积事件发生，记作A B 或AB ；若AB 是不可能事件，则称A 和B 是互斥事件（又称互不相容事件）；若事件A 和事件B 满足：A B +是必然事件，AB 是不可能事件，则称A 和B 是对立事件，事件A 的对立事件记作A ．2． 概率的性质设,A B 是两个事件，∅是不可能事件，则0()1P A ≤≤，()0P ∅=，()()()()P A B P A P B P A B =+-．3． 几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型）：()m P A n=，其中n 是总的可能情形数，m 是事件A 发生的情形数． （2）互斥事件： ()()()P A B P A P B =+，其中事件A 与事件B 互斥．（3）对立事件：()()1P A P B +=，其中事件A 与事件B 互为对立事件．（4）相互独立事件：()()()P A B P A P B =，其中事件A 与事件B 相互独立，即一件事是否发生与另外一件事是否发生无关．（5）独立重复试验如果在一次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 ()(1)k k n k n nP k C p p -=-． 【典型问题】▲例1．设A ,B ,C 表示三个随机事件，试将下列事件用A ,B ,C 表示出来：（1）三个事件中至少有一个出现；（2）不多于一个事件出现；（3）不多于两个事件出现；（4）A ,B 至少有一个出现，C 不出现．分析：在处理概率问题时，将一个事件用简单事件表示往往是解题的关键．本题中列举了几种常见问题加以练习．（1）三个事件中至少有一个出现表示的是三个事件的和事件，即A B C ；（2）不多于一个事件出现表示所有事件都不发生或只有一个事件发生，即ABC ABC ABC ABC ；（3）不多于两个事件出现的对立事件是三个事件都发生，所以不多于两个事件出现可表示成ABC ；（4）A ,B 至少有一个出现，C 不出现可表示成()A B C ．▲例2．（2003）一批产品的次品率为0.1，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为( )．A ．0.271B ．0.729C ．0.001D ．0.081答：A ．分析：根据题意可知该批产品的合格品率为0.9，连续连续三件检测中都是合格品的概率为30.90.729=，所以连续三件检测中至少有一件是次品的概率为310.90.271-=．例3．（2007）有两个独立的报警装置． 在紧急情况发生时各报警装置发出信号的概率分别是0.95和0.92．则紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是（ D ）．A ．0.920B ．0.935C ．0.950D ．0.996 分析：在紧急情况发生时, 各报警装置发出信号的概率分别是0.95和0.92． 由于两个报警装置是独立的，所以，在紧急情况发生时, 每个报警装置不发出信号的概率分别是0.05与0.08， 因此，两个报警器同时不发出信号的概率是0.050.080.004⨯=．所以，紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是。