2013年中山大学高等代数考研真题

2013年中山大学高等代数考研真题

1、设E 为数域,,E F

⊂且E 作为F 上的线性空间，维数为.m 设V 为

E

上的n 维线性空间.证明：V 作为F 上的线性空间维数为.mn

2、设f 是F 上线性空间)(F M n

到F 的线性映射，,)(n I f =且对任意

的矩阵)(,F M

B A n

∈有).()(BA f AB f =证明：0tr f =（注：tr

为迹函数，

))(=A tr ）.

3、设),(,F M B A n

∈,

)(n A rank <且,

2

1

k B B

B A =其中.,,2,1,2k i B B i i ==证

明：)).(()(A rank n k A I rank

-≤-

4、设.n

m F A ⨯∈若对任意n 维向量,n

F b ∈线性方程组b

AX

=有解.证

明：.)(m A rank

=

5、设2

3

)

1()(,)(x x g x x f -==.

(1)求

)

(),(x v x u 使

）；

x g x v x f x u x g x f ()()()())(),((+=（2）设

.

1)(,2)(21=+=x r x x r 求一多项式)(x h 使下列同余方程式成立：

)).()(mod ()()),()(mod ()(21x g x r x h x f x r x h ≡≡

6、设σ是F 上线性空间V 上的线性变换.W 是σ的不变子空

间.m

λλ，，

1

是σ的两两不同的特征根，m

αα,,1

分别是属于m

λλ，，

1

的根向量.若,1W m ∈++=ααα 证明.,,1,m i W i =∈α

7、设复矩阵

.10

1

1020011112320

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛----=A 求A 的Jordan 标准型和最小多项

式.

8、设W 为下列实线性方程组的解空间.分别求W 与⊥

W （W 的正交

补）的一个标准正交基：.0,023214321

=-+=+-+x x x x x x x

9、设实矩阵.32

4262

423⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛------=A 求正交矩阵使AP P 1-为对角矩阵.

10、设B A ,都是n 阶实矩阵，其中A 正定，B 半正定.证明：

.det )det(A B A ≥+

（这是考试记录下来的资料，答案目前还没弄好，有时间再上传）