最新中山大学高等代数试题

中山大学高代部分０３年５.（２０）设A 为n 阶实阵矩（3≥n ），证明：（１） 若A 的每个元素都等于它的代数余子式，且至少有一个元素不为零，则A A '＝I ； （２） 若,0≠A 则存在正交阵P 与正定阵B ，使A=PB０４年部分１（１０）计算：21...000.. 00...2100..12100...012=n D２（１０）设n αα,...1是数域P 上的线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组13221,...,αααααα+++n 的线性相关性。

３（１０）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010101001A ，（１）证明：I A A A n n -+=-22；（２）求100A 。

４（２０）设3R 的线性变换A 在标准正交基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ，（１）求A 的特征值和特征向量；（２）求3R 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角阵。

５（２０）设β为n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义A 的线性变换A 如下： A α＝V ∈∀-αβαβα),(2证明：（１）A 是第二类正交变换（称为镜面反射）；（２）V 的正交变换B 是镜面反射⇔1是B 的特征根，且对应的特征子空间的维数为n-1０５年部分 １．（１５）由三个函数１，t t sin ,cos 生成的实线性空间记为V ，求线性变换T :V V →：)3/()(π+t f t f 的迹、行列式和特征多项式。

２．（１５）设A 是秩为n 的n m ⨯的实矩阵，b 是m 维向量。

若n 维向量x 满足：b A Ax A TT=，证明：对一切不等于x 的n 维向量y ，有：）　注：),((x x x Ayb Ax b =-- ３．（１５）设=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A ，复阵０。

００１１。

０００。

０。

１０００。

０１０＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---021201110...............a a a a a a a a a n n n ，（1）A 是否相似于对角阵；（2）求B 的行列式。

数学与应用数学高等代数试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 在多项式f(x)=x^3 - 3x^2 + 2x - 1与g(x)=x^2 - x + 1的带余除法中，f(x)除以g(x)的商式q(x)和余式r(x)分别为（）A. q(x)=x - 2，r(x)= - 3x + 1B. q(x)=x - 1，r(x)= - 2xC. q(x)=x，r(x)= - 3x - 1D. q(x)=x + 1，r(x)= - 2x + 12. 设A=(12 34)，则| A|=（）A. - 2.B. 2.C. - 1.D. 1.3. 向量空间V = { (x,y,z)mid x + y + z = 0,x,y,z∈ R}的维数是（）A. 1.B. 2.C. 3.D. 0.4. 设α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则α·β=（）A. 32.B. 30.C. 28.D. 26.5. 若n阶方阵A可逆，则r(A)=（）A. n - 1B. nC. 1D. 06. 设A=(100 020 003)，则A的特征值为（）A. 1,2,3B. - 1,- 2,- 3C. 0,1,2D. 0, - 1, - 27. 二次型f(x,y,z)=x^2 + 2y^2+3z^2 - 2xy + 4yz的矩阵为（）A. (1- 10 - 122 023)B. (110 12 - 2 0 - 23)C. (1- 10 - 12 - 2 0 - 23)D. (110 122 023)8. 设W_1={(x,0)mid x∈ R}，W_2={(0,y)mid y∈ R}，则W_1+W_2=（）A. {(x,y)mid x,y∈ R}B. {(x,0)mid x∈ R}C. {(0,y)mid y∈ R}D. {(x,x)mid x∈ R}9. 若线性方程组Ax = b（A为系数矩阵）有解，则（）A. r(A)=r(A,b)B. r(A)>r(A,b)C. r(A)D. r(A)与r(A,b)无关系。

《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。

3 0 8 6． 设 A 3 1 6 ，则 A 的若当标准形为______________________________. 2 0 5
7． 实二次型 q( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3 的符号差等于____________. 8． 设 f ( x) x 4 2 x 3 x 2 4 x 2 ， g ( x ) x 4 x3 x 2 2 x 2 ，则它们的首一最大 公因式 ( f , g ) ______________________. 9． 设 x (1, 2, 2, 3), y (3,1,5,1) R 4 ，则 x 与 y 的夹角 ( x, y ) _______________. 10． 设 W {( x, y, z ) : x y 2 z 0} R 3 ，则 W 的正交补 W _______________. 二、证明题（每小题 10 分. 写出详细步骤） 1. 设 A 为数域 F 上 m n 矩阵，定义 LA : F F ， x Ax . 证明： LA 是单射当且仅
（ 2） （6 分）设 A 为元素都是整数的 n 级方阵. 证明：若整数 k 是 A 的一个特征值，则 k 是 A 的一个因子. 四、 （15 分）就 a 取何值时讨论以下方程组解的情况，有解时求解：
ax y z a 3 x ay z 2 . x y az 2
1
A1 亦正定.
a b 如果 a d 2 ， ，其中 a, b, c, d 是实数，且 ad bc 1 . 证明： c d cos sin sin . cos
k
则存在实数 和实可逆矩阵 T ，使得 T 1 AT