2011年高考数学数列试题汇编
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数列1．设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS +=(n ∈N *，,1)r R r ∈≠-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．3．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . （1）若a =1，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.4．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==，*n ∈N ，且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列； （III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==求数列{}n a 的通项公式.设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．7．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .8．若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.9．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值.10．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。
(I)求数列{}n b 的通项公式； (II)数列{}n b 的前n 项和为nS ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列。
11．设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式。
（江苏）12．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%．（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （II ）设12,nn a a a A n+++=若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．13．（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ，若数列{}n a 唯一，求a 的值；（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差∙不为0的等差数列？若存在，求{}{}n n b a ,的通项公式；若∙不存在，说明理由．14．等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．15．如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记k P 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.（Ⅰ）试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤ （Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++16．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
⑴求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由； ⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ∈）。
17．已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和． （Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．18．已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n N a -+++-+=-+=∈=且（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈19．已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．20．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小．21．设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。
22．设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ； （II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤有23．设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C d n C d nC d n N n--=+++-+∈ (1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。
若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
⑴求1234,,,c c c c ；⑵求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ； ⑶求数列{}n c 的通项公式。
25．设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ==<∑记S 证明：26．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．27．若数列12,,...,(2)n nA a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足051=-a a ，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。
