向量数量积的物理背景与定义(优秀公开课)

有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

(2)向量b在a上的投影不是向量而是数量，如图所示，即 为|b|cosθ，它的符号取决于角θ的范围．
(3)a·b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积，其中a在b 的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的．
2．两个向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量， (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ；当 a 与 b 反向时，a·b ＝ －|a||b| .特别地，a·a＝a2＝ |a|2 或|a|＝ a·a. (3)|a·b|≤ |a||b| .
3．平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数 λ. (1)交换律：a·b＝ b·a . (2)结合律：(λa)·b＝ λ(a·b)＝a·(λb) ． (3)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
上)的投影 几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 意义 _|_b_|c_o_s_θ__的乘积
[破疑点](1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向 量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负 (当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ ＝90°时)．
平面向量数量积的物理背景及其含义
1．平面向量的数量符号
已知两个非零向量a与b，我Байду номын сангаас把数量_|_a_||_b_|c_o_s_θ_ 定义
叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0
_|_a_|c_o_s_θ_ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向 投影

(3)向量数量积的几何意义：向量 a 与向量 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向是_b_的__长__度__|b_|_与_a_在__b_方__向__上__的___正__射__影__的__数__量__| _ _a_|c_o_s_〈__a_，__b_〉_的乘积．

【解析】 a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫 做数量．故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正 确，由向量夹角的范围可知⑦不正确． 故选③⑤. 【答案】 ③⑤
跟踪训练1 已知向量a、b满足|b|＝2，a与b的夹角为 60°，则b与a上的投影是________． 【解析】 ∵|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°， ∴b 与 a 的投影是|b|·cos60°＝2×12＝1. 【答案】 1
2．向量在轴上的正射影 (1)已知向量 a 和轴 l 如图所示，作O→A＝a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1、A1，则向量O→1A1叫 做向量 a 在轴 l 上的__正__射__影____(简称射影)．
(2)a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的 数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，al＝__|_a_|·_c_o_s_α__. (3)射影的坐标是数量，当 α 为锐角时，al 为正值；当 α 为 钝角时，al 为负值；当 α＝0 时，al＝_|_a_| _；当 α＝π 时， al＝_－__|_a_| .
解：(1)A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cosA＝1×1×cos60°＝12. (2)A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos120°＝1×1×(－12)＝－21. (3)B→C·A→C＝|B→C|·|A→C|cos60°＝1×1×12＝12.
命题方向1 向量在轴上的射影 例1 已知向量a与轴l.则下列命题 ①a在l上的射影为正数；②a在l上的射影为非负数； ③a在l上的射影为向量；④a在l上的数量为非负数； ⑤a在l上的数量为实数；⑥a在l上的数量为向量； ⑦〈a，l〉＝－π2.其中正确的是________．

2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义
1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及 其物理意义；(重点） 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数 量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的 判断和运算.（重点、难点）
我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 s， 力 F 所做的功W应当怎样计算？
=a a+a b+b a+b b
2
2
=a +2a b+b ；
(2) a+b a b =a a a b+b a b b
2
2
=a b 。
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60°, 求(a 2b) (a - 3b).
解：（a 2b）（ a 3b） a a a b 6b b | a |2 a b 6 | b |2
F
θ
S
W=| F|| s|cosθ
其中θ是 与F 的s 夹角.
功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个 向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这 两个向量的一种运算的结果呢？
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概 念.
向量的夹角的概念
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a, OB b ， 则 AOB 叫做向量 a 和 b 的夹角．记作 a,b .
设 a、b 是非零向量，
(1)a b a b 0.
a b 90 cos 0.
a b cos 0.
a b 0.
(2)当a与b同向时，a b | a || b |; 当a与b反向时，a b | a || b |;
特别地，a a | a |2 或 | a | a a. 当a与b同向时， =0 ,cos 1， a b cos | a || b |，a b | a || b | .