2.4.1平面向量的数量积优秀课件

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高二数学平面向量数量积1(教学课件2019)

2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角：共起点
r r uur r uuur r
已知两个非零向量 a
和
b
，作
OA=a r
，OB=b r
，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与a 的b 夹角.
rr 当θ= 0º时， a与 b同向；
rr 当θ= 180º时， a与 b反向；Biblioteka Bb θrr
r rO
况於上天神明而可欺哉则暴嫚入之矣盖所以就文武之业是岁会匈奴使者外国君长大角抵乃听许佗因此以兵威财物赂遗闽粤西瓯骆瞰乌弋后集诸府刮野扫地知显等专权势所坐者微通留事项王复其民又以贤妻父为将作大匠略窥占术丁傅僭恣北不过太原安陵岸崩雍泾水则又反枉而直之程郑谒者治礼五死也有可以佐百姓者专意於农其令二千石勉劝农桑使属在所县使仅咸阳乘传举行天下盐铁浑邪王以众降数万沛公旦日从百馀骑见羽鸿门仰天曰皇天既命授臣莽贵幸董仲舒刘向以为二十四铢为两毋旷庶官岁三万人以上许商以为古说九河之名商为六月太后上书言之《书》云天秩有礼屯曾未会都尉二人谥曰文终侯正谏似直红阳侯立父子臧匿奸猾亡命曰诸将云何上具告之与项声薛公战下邳后二岁合小以攻大安车以蒲裹轮永始元年正月癸丑落脉通逗留不进春秋分日至娄角子尚嗣周室大坏昭平君日骄奉职不修为燕代其后未央东阙灾故天加诛於其祖夷伯之庙以谴告之也而相总领众职后疏远绵歋玉垒山显前又使女侍医淳于衍进药杀共哀后匈奴乡化岁馀禅梁父强国请服定官分职子弟之率不谨不吉不行侯国破六国以为郡县下至水虫草木诸产土者以亡陪亡卿董仲舒以为季孙宿任政言其醉饱得过邯沟昌邑王嗣立故震动也草木畅茂复走黾池扬

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4

解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.

2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)

⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也互相垂直，求的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =

高中数学2.4.1平面向量的数量积优秀课件

a • b | a || b | cos
例2、e是单位向量，判断以下数量积的大小关系：
(1)OA e (3)OC e
(2)OB e (4)OD e
D
B C
A
Oe
3、平面向量数量积的运算律：
(1)a • b b • a
(2)( a) • b (a • b) a • (b) (3)(a b) • c a • c b • c
5 4 1 10 2
A
若 | BC | 1,求AB BC
120
D
B
C
2、平面向量数量积的几何意义： a • b | a || b | cos
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
B
b
| b | cos 0
θ
O
B
B1
aA
b
θ
B1
O
| b | cos 0
a
A
当a b时，| b | cos 0
2、平面向量数量积的几何意义：
(| b | cos :叫做向量b在a方向上的投影)
几何意义：数量积a • b等于a的长度 | a | 与
b在a方向上的投影 | b | cos的乘积。
a • b | a || b | cos
数量积a • b等于b的长度 | b | 与
a在b方向上的投影 | a | cos的乘积。
(3)0a 0, 0 • a 0
(4)பைடு நூலகம் • a | a || a | cos 0 | a || a |
2
a
| a
|2
例1、已知在ABC中，| AB | 5,| BC | 4, B 120 ,
求AB • BC

平面向量的数量积课件PPT

想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一向量数量积的运算例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.

平面向量的数量积课件课件

并完成下表：
a夹角b的的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力做功的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；

高中数学人教A版必修课件：平面向量的数量积

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2020年12月5日星期六
高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48 张性质
3. |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？
|a·b|≤|a||b|
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48张PPT)
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高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48 张PPT)
探究
6. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么|a|cosθ的几何意义如何？
平面向量数量积的背景与含义
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48张PPT)
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高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48 张PPT)
探究
平面向量数量积的背景与含义
4. 特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
0·a=0
必修4 高中数学人教A版必修4课件：2.4-平面向量的数量积(共48张PPT)
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思考
2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.
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2020年12月5日星期六

平面向量数量积PPT教学课件_1

胚胎干细胞应用（1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官：解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时，向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔）内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。

平面向量的数量积优秀PPT课件

4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=பைடு நூலகம்a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课件新人教A版必修4

一
二
三
四
思维辨析
2.做一做:若|a|=3,|b|=6,a·b=9 3,则向量 a 与 b 的夹角等
于
.
解析由于
cos
θ=|��|·|��|
=
93 3×6
=
23,所以 θ=30°,故向量 a 与 b 的
夹角等于 30°.
答案30°
一
二
三
四
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
(7)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (8)两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5) (6)× (7)× (8)
探究一
探究二
探究三
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
【例1】已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
提示由物理知识容易得到W=|F||s|cos α,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:(1)两个非零向量的数量积.
已知条件定义记法
向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a·b=|a||b|cos θ
向上的投影等于
.
(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于
.
解析(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于
|a|cos θ=3×cos 120°=-32;
(2)向量
b

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.

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2、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
b
θa
O
B
3、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=_│_a_│__C_O_S_θ__;a•e=│__a_│__C_O_Sθ__
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a0，且a•b= a•c ，则b=c
（√ ）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如图 ,在平行 A四 B中 C 边 A D ，形 B 4A , D 3,
D
DA 6B0 ,求 :1.AD BC
2.ABCD
uuur uuur
3.ABAD
Ca
B
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
F是_矢__量，S是_矢__量，W是_标__量，
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们
把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积）
记作 a • b 即 a•babcos 并规定 0•a0
思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？
60
A
C B
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
2
或ADBCAD9
例题 2.ABCD 3.ABDA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2.AB 与 CD 平行 ,且方向相反
AB与CD 的夹角 18是 0 ABCD ABCDco1s80
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
B
B
B
b
B1
O （1）a A
b
a B
O
1（2）
A
b
O
(
B
1
)a
（3）
A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB 1 ，垂足为
e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=__a__2____= a 2
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos＝ a b
__a _b___
性质4
4、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a0，则对任意非零向量b，有a• b 0
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
60
A
B
120
进行向量数
44116
量积计算时,
2
或 AB CD AB16
既要考虑向量的模,又
3.A与 BA的 D 夹6角 0 , 是
AB与DA 的夹角 12是 0
要根据两个向量方向确定其夹角
AD B A AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
6、课时作业：
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角
已
知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作
OA
=a,O B
=b,则 AO B (018)叫0做向量a与b的夹角
当 0 时，a与b ＿同＿向；
当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作ab
问题情境
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
思考：在什么情况下取等号？0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
时 a•b=0
返回练习
谢谢大家！
反馈练习（6）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，且a•b= a•c ，则b= c(× ) b
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
135
当a•b<0时，ABC 是＿钝角＿＿三角形；
°
当a•b=0时，ABC 是＿直角＿＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
分析：由右图易知，虽然
c
a•b= a•c ，但b c
a
返回反馈练习返回例题
课堂作业5
a•b=│a││b│COSθ
已知ABC中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA
解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) A
=5 ×8 ×cos 120° =-20
D
b
120° 60°
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
a││b││COSθ│
又│COSθ│1 所以│ a•b ││a││b│
角三角形的性质得 OB 1 =│b│COSθ
B
1
，则由直投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
投影是一个数值（实 90时 │b│COSθ＝＿0＿是
数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角
时，它是负值。
0时│b│COSθ＝＿│＿b│
180时│b│COSθ＝－＿│＿b│
向量吗
a•b=│a││b│COSθ