数学文化 衡水中学高三数学 (原卷版)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（ ） U Z ={0}A =，2{|2}B x x x ==(C )U A B A ． B ． C ． D ．{1,3}{0,2}{0,1,3}{2}2.若复数，则（ ） 212iz i-=+z =A ． B ．C ．D ．4102-3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）A ．各月的平均最高气温都不高于度 25B ．七月的平均温差比一月的平均温度小C ．平均最高气温低于度的月份有个205高三年级十模考试（文科）数学试卷12，3，D ．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于度104.已知函数，则（ ）3log (),0()(2),0x x f x f x x -<⎧=⎨--≥⎩(2017)f =A ． B ． C ． D ．101-3log 25.设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的22221(0,0)x y a b a b-=>>F 1A 2A F 12A A 垂线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）B C 12A B A C ⊥A ．B ．． D ．12±1±6.已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（ ）{}n a 1n S {}n a n 844S S =10a =A ．B ．C ．D ． 17219210127.函数的图象可能是（ ）sin ()ln(2)xf x x =+A ．B ．C ．D ． 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D 9.给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框301247111630图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（ ）A ．和B ．和30?i ≤1p p i =+-31?i ≤1p p i =++C ．和 D ．和31?i ≤p p i =+30?i ≤p p i =+10.已知函数满足，若函数与的图象的交点为()()f x x R ∈()2()f x f x -=-1x y x+=()y f x =，，…，，则等于（ ）11(,)x y 22(,)x y (,)m m x y 1()mi i i x y =+∑A ．B ．C ．D ．0m 2m 4m 11.正四面体的所有棱长均为，球是其外接球，，分别是与的A BCD -12O M N ABC ∆ACD ∆重心，则球截直线所得的弦长为（ ）O MN A ． B ． C ．412.已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于，两C 22(0)y px p =>(1,2)-F l C A B 点，，若，则（ ） 7(,0)2Q -BQ BF ⊥BF AF -=A ． B ． C ． D ． 1-32-2-4-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件，则的最大值是 ．x y 11040y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩2z x y =+14.某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是 ．15.已知平面向量与的夹角为，，，则 ．a b 3π(a =2a b -= b = 16.正整数数列满足，已知，的前项和的最大值为，把{}n a 11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶是奇72a ={}n a 7S 的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则 ． 1a {}n b {}n b T S T -=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，是边上的点，，. ABC ∆DBC AB AD ==1cos 7BAD ∠=（1）求；sin B （2）若，求的面积.4AC =ADC ∆18.如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，S ABCD -//AD BC 60ASC ∠= ，.AD DC ==2SA SC SD ===（1）求证：； AC SD ⊥（2）求三棱锥的体积.B SAD -19.一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的组观测数据如y x 6下表： 温度/x C212324 27 2932产卵数/y 个611 20 27 5777经计算得：，，，，611266i i x x ===∑611336i i y y ===∑()()61557i ii x xy y =--=∑()62184ii x x =-=∑，线性回归模型的残差平方和，，其中()6213930ii y y =-=∑ ()621236.64i ii y y =-=∑8.06053167e ≈，分别为观测数据中的温差和产卵数，.i x i y 1,2,3,4,5,6i =（1）若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到）； y x y bx a =+ 0.1（2）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数.y x0.23030.06xy e =20.9522R =（i ）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.2R （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.35C 附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘11(,)x y 22(,)x y (,)n n x y y bx a =+ 估计为，；相关指数()()()121n iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ a y bx =- ()()212211n i ii n ii y y Ry y ==-=--∑∑20.已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，22221(0)x y a b a b +=>>121(,0)F c -.2(,0)F c（1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且l 12y x m =-+A B 12F F C D 满足的方程. AB CD =l21.已知函数. ln ()1xf x x =-（1）确定函数在定义域上的单调性；()f x （2）若在上恒成立，求实数的取值范围.()xf x ke ≤(1,)+∞k （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正l cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=-+⎩t 0ϕπ≤<O x 半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点，. C 1ρ=l C 1P 2P （1）求的取值范围；ϕ（2）以为参数，求线段中点的轨迹的参数方程. ϕ12PP M 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数.()42f x x x =-+-（1）求不等式的解集；()2f x >（2）设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围. ()f x M 2x a M +≥[0,1]a高三数学十模试题（文科）答案一、选择题1-5: ABCBC 6-10: BABDB 11、12：CB二、填空题13. 14. 甲 15. 16.7264三、解答题17.解：（1）在中，ABD ∆222BD AB AD =+2cos AB AD BAD-⋅⋅∠， 1772127=+-=得BD =由，得1cos 7BAD ∠=sin BAD ∠=在中，由正弦定理得，所以. ABD ∆sin sin AD BDB BAD =∠sin B ==（2）因为，是锐角，所以 sin B =B cos B =设，在中，，BC x =ABC ∆2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即化简得：， 27216x x +-⋅=290x --=解得或，则x =x =CD BC BD =-=-=由和互补，得 ADC ∠ADB ∠sin sin ADC ADB ∠=∠sin B ==所以的面积ADC ∆. 1sin 2S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠12==18.解：（1）设为的中点，连接，， O AC OS OD ∵，∴， SA SC =OS AC ⊥∵，∴，DA DC =DO AC ⊥又平面，且，,OS OD ⊂SOD OS OD O = 平面，又平面，AC ⊥SOD SD ⊂SOD ∴.AC SD ⊥（2）连接，在中，∵，，为的中点，BD ASC ∆SA SC =60ASC ∠= O AC∴为正三角形，且，ASC ∆2AC =OS =∵在中，，为的中点， ASC ∆2224DA DC AC +==O AC ∴，且，90ADC ∠= 1OD =∵在中，，∴为直角三角形，且， SOD ∆222OS OD SD +=SOD ∆90SOD ∠= ∴又，且，∴平面. SO OD ⊥OS AC ⊥AC DO O = SO ⊥ABCD ∴ B SAD S BAD V V --=13BAD S SO ∆=⋅⋅1132AD CD SO =⨯⋅⋅⋅1132=⨯=19.解：（1）由题意得，，()()()121n iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 557 6.684=≈∴， 33 6.626138.6a=-⨯=-∴关于的线性回归方程为. y x6.6138.6y x =-（2）（i ）由所给数据求得的线性回归方程为，相关指数为6.6138.6y x =-.()()212211n i ii n ii y y R y y ==-=--∑∑236.6413930=-10.06020.9398≈-=因为，0.93980.9522<所以回归方程比线性回归方程拟合效果更好.0.23030.06xy e =6.6138.6y x =-（ii ）由（i ）得当温度时，.35x C =0.2303350.06y e ⨯=8.06050.06e =⨯又∵，∴（个）. 8.06053167e ≈0.063167190y ≈⨯≈即当温度时，该种药用昆虫的产卵数估计为个.35x C = 19020.解：（1）由题设知，解得. 22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩21ab c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=（2）由题设，以为直径的圆的方程为， 12F F 221x y +=∴圆心到直线的距离(0,0)l d由，得，. 1d <m <(*)∴. CD ===设，，11(,)A x y 22(,)B x y 由得， 2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2230x mx m -+-=由根与系数的关系得，，12x x m +=2123x x m =-∴.AB==由，解得. AB CD=1=m =(*)∴直线的方程为l 12y x =-+12y x =--21.解：（1）函数的定义域为，， ()f x (0,1)(1,)+∞ 211ln '()(1)x x f x x --=-令，则有， 1()1ln g x x x =--21'()x g x x-=令，解得，所以在上，，单调递增， 21'()0x g x x -==1x =(0,1)'()0g x >()g x 在上，，单调递减.(1,)+∞'()0g x <()g x 又，所以在定义域上恒成立，即在定义域上恒成立，(1)0g =()0g x ≤'()0f x <所以在上单调递增，在上单调递减.()f x (0,1)(1,)+∞（2）由在上恒成立得：在上恒成立. ()x f x ke ≤(1,)+∞ln 1x x ke x ≤-(1,)+∞整理得：在上恒成立. ln (1)0xx k x e --≤(1,)+∞令，易知，当时，在上恒成立不可能，∴， ()ln (1)xh x x k x e =--0k ≤()0h x ≤(1,)+∞0k >又，， 1'()x h x kxe x=-'(1)1h ke =-当时，，又在上单调递减，所以在1 1k e ≥'(1)10h ke =-≤1'()x h x kxe x=-(1,)+∞'()0h x ≤上恒成立，则在上单调递减，又，所以在上恒成立.(1,)+∞()h x (1,)+∞(1)0h =()0h x ≤(1,)+∞当时，，，又在上单调2 10k e <<'(1)10h ke =->11'0k h k e k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1'()x h x kxe x =-(1,)+∞递减，所以存在，使得，0(1,)x ∈+∞0'()0h x =所以在上，在上，0(1,)x '()0h x >0(,)x +∞'()0h x <所以在上单调递增，在上单调递减， ()h x 0(1,)x 0(,)x +∞又，所以在上恒成立， (1)0h =()0h x >0(1,)x 所以在上恒成立不可能. ()0h x ≤(1,)+∞综上所述，.1k e ≥22.解：（1）（2）（为参数） 2(,33ππsin 21cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=--⎩ϕ23.解：（1） （2）(,2)(4,)-∞+∞ 1a ≥。

2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ，所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为3.故选:B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2．已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由1z i i ⋅=-，得1i1i iz -==--， 所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。

为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A ．83.5；83 B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.5【答案】B【解析】根据茎叶图，即可求出A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数. 【详解】解：A 小区“空巢老人”年龄的平均数为7878818584859091848+++++++=，B 小区“空巢老人”年龄的中位数为848584.52+=.故选：B 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题. 4．已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【解析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 且522π<<，所以a c b <<. 故选:D. 【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ） A ．518B ．13C ．718D ．49【答案】C【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6．4sincos 3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）A ．34B．4C ．34-D ．14-【答案】A【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】4sincos sin cos 33636221514tan tan 44ππππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．21cos 1xx -+ B ．2||1sin1x x ++ C ．2sin 1xx + D ．2sin 1x xx ⋅+ 【答案】D【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C ，再取特殊值，即可求解.由图可知，该函数的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 为偶函数， 所以选项C 不符合；又因为()0f π=，所以选项A ，B 不符合. 故选:D. 【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题. 8．已知向量()1,2a =，()2,1b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 【答案】A【解析】首先求出a b +的坐标，根据()a b c +⊥，则()0a b c +⋅=得到x ，y 的关系式，由||cos ,||b cb bc c ⋅〈〉=计算b 在c 上的投影. 【详解】解：由()1,2a =，()2,1b =-，得()1,3a b +=-， 所以()a b c +⊥，则()0a b c +⋅= 得30x y -+=，3x y ∴=所以b 在c 上的投影为22||cos ,2||b c x b b c c x ⋅-+〈〉====±+． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．-2 B ．-6C ．-8D ．-12【答案】D【解析】将初始值10S =，1n =代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】当10S =，1n =不满足条件；执行第一次循环：1028S =-=，2n =，不满足条件； 执行第二次循环：28(2)12S =+-=，3n =，不满足条件； 执行第三次循环：312(2)4S =+-=，4n =，不满足条件； 执行第四次循环：44(2)20S =+-=，5n =，满足条件；执行第五次循环：520(2)120S =+-=-≤，6n =，满足条件，退出循环，所以输出S 的值为-12. 故选:D. 【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.10．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F 的直线的斜率在(,)b ba a-之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出ba的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题. 11．在如图所示的平面四边形ABCD 中，4AB =，30CAB ∠=，AC CB ⊥，120ADC ∠=，则22DA DC +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B【解析】在ABC 中由三角函数求出AC ，在ADC 中由余弦定理得2212DA DC DA DC =++⋅，再由基本不等式可得222DA DC DA DC ≥+⋅即可求出22DA DC +的最小值.【详解】解：在ABC 中，因为30CAB ∠=︒，AC CB ⊥，所以cos AC BAC AB ∠=cos 42AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯=在ADC 中，因为120ADC =∠︒，所以由余弦定理得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即2212DA DC DA DC =++⋅，又由不等式的性质可知222DA DC DA DC ≥+⋅，即得222DA DC DA DC +⋅≤，所以()22223122DA DC DA DC DA DC =++⋅≤+，从而228DA DC ≥+，当且仅当2DA DC ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题. 12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()f x 转化为关于1x的二次函数，配方求出()f x 的最小值，只需min ()0f x <，解关于θ的不等式，即可得出结论.【详解】2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可化为222112cos (12cos )()cos 1sin cos 2cos 4cos 112cos 4sin cos 1cos ,2cos 4cos f x x xθθθθθθθθθθθθθ++⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭+-⎛⎫=-+⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当01x <<时，11x >，所以当112cos 2cos x θθ+=时，min 4sin cos 1()4cos f x θθθ-=，由题意可知，min ()0f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到12sin 21sin 22θθ<⇒<， 所以026πθ<<或520612ππθπθ<<⇒<<或5122ππθ<<. 故选:C. 【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题. 二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】求导，求出(1),(1)f f '，即可得出结论. 【详解】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-， 令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 故答案为:-2 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________.【答案】4【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，即可求解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得|||MF MF '+=即4MF '+=.∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得2||4MF ON '==，代入（）式，解得16a =，故其离心率4e ==.故答案为:4. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________. 【答案】6【解析】由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q 或2q =-， 又因为90a >，所以2q，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325nnn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-， 又因为*n ∈N ，所以min 6n =. 故答案为:6 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=与x 轴，y 轴的正方向分别交于点A ，B ，点P 为劣弧AB 上一动点，且OQ OA OP =+，当四边形OAQP 的面积最大时，OQ 的值为___________.【解析】设AOP θ∠=，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形，所以2sin OAQP AOPS S θ==，当sin 1θ=时取得最大值，即可求出Q 点的坐标，则OQ的值可求. 【详解】 解：如图所示：则1,0A ，()0,1B ，因为点P 在圆弧221(0,0)x y x y +=≥≥上运动，所以可设AOP θ∠=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则()cos ,sin P θθ，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形， 所以12211sin sin 2OAQP AOPS Sθθ==⨯⨯⨯⨯=，当sin 1θ=时，OAQP S 最大，此时点P 与点B 重合，点()1,1Q ，()1,1OQ ∴=||2OQ ∴=.【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题17．在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N.（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，()*12n Na n n +∈=，(2)3(23)nn +【解析】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.参考数据：【答案】（1）有, （2）21【解析】（1）根据列联表求出2K，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1）22100(35361514)3005050514917.64710.82178 K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯>⨯，所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关. （2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为5:2，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a ，b ，e ，d ，e ；女性2人分别为A ，B ， 从7人中任意选取2人的所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，aB ， bc ，bd ，be ，bA ，bB ，cd ，ce ，cA ，cB ，de ，dA ，dB ，eA ，eB ，AB ， 共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以1121P =， 所以这2人中至少有一名女性的概率为1121. 【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题. 19．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AA AB a ==. （1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析，（2 【解析】（1）AB BC ⊥ ，1AA ⊥ 底面ABC ，可证BC ⊥平面11A ABB ，即可求证； （2）取11B C 的中点F ，连接1A F ，可证1A F ⊥平面11BCC B ，求出三棱锥11A B BC V -，根据等体积法，1111B A BC A B BC V V --=，求出1A BC ∆的面积，即可求解. 【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1BC AA ⊥， 又BC AB ⊥，1ABAA A =，所以BC ⊥平面11A ABB ，又1AB ⊂平面11A ABB ，所以1BC AB ⊥.（2）设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以1111B A BC A B BC V V --=， 由题可知，所有棱长均为2a ，所以在1A BC 中，2BC a =，11A B AC ==，所以12122A BCSa =⨯=. 取11B C 的中点F ，连接1A F ，由题易知111A F B C ⊥， 从而得到1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A F 是点1A 到平面1B BC 的距离，所以1A F =，又1212222B BCSa a a =⨯⨯=， 所以由等体积法1111B A BC A B BC V V --=可知，1111133A DCB DCS d S A F ⨯⨯=⨯⨯，2227d a d ⨯=⇒=，所以点1B 到平面1A BC . 【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点(),M x y 1y =+.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线C '的切线12,l l ，证明12,l l 的交点必在曲线C 上. 【答案】（1）214y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）将方程两边平方化简即得解；（2）求出曲线在()00,P x y 处的切线方程，联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别求出曲线C '上在A ，B 两点处的切线1l ，2l 的方程，求出1l ，2l 的交点，即可得证.【详解】（1|1|y =+， 两边平方并化简，得24x y =， 即214y x =， 所以点M 的轨迹C 的方程为214y x =. （2）由（1）及题意可知曲线C '：214y x =-，又由214y x =知12y x '=， 所以点()00,P x y 处的切线方程为()00012y y x x x -=-， 即20001122y x x x y =-+， 又因为点()00,P x y 在曲线C 上， 所以20014y x =， 所以切线方程为2001124y x x x =-， 联立2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 整理得220020x x x x +-=，>0∆，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1202x x x +=-，2120x x x =-，（）又由214y x =-，得12y x '=-， 所以曲线C '上点2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线1l 的方程为()21111142y x x x x +=--， 即2111124y x x x =-+， 同理可知，曲线C '上点2221,4B x x ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线2l 的方程为2221124y x x x =-+， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，121224x x x x x y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩ 又由（）式得1202012244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 所以1l ，2l 的交点为20,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点在曲线C 上，故1l ，2l 的交点必在曲线C 上. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线综合问题，属于中档题. 21．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，极大值为1ln 22-，无极小值，（2）当2e m <-时，函数()f x 没有零点；当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点；当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【解析】（1）求导，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）求导，求出()f x 单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对m 分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当2m =-时，2()ln 21f x x x =-+，所以1(12)(12)()4x x f x x xx-+'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 所以当12x =时，()f x 有极大值， 且极大值为21111ln 21ln 22222f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.（2）由2()ln 1f x x mx =++，得2112()2mx f x mx x x+'=+=. 当0m ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，当10m x e--<<时，()()211()110m m f x f em m e----<=--++≤，又(1)10f m =+>，所以函数()f x 有且只有一个零点；当0m <时，令()0f x x '=⇒=，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为2111ln 1ln 222f m m ⎛⎫=+⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ①当111ln 0222m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即得11ln 1ln 2m e ⎛⎫-<-= ⎪⎝⎭时， 解得2e m <-，此时函数()f x 没有零点；②当111ln 0222m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2e m =-时，函数()f x 有1个零点； ③当111ln 0222m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即02e m -<<时，()2442110f e me me ---=-++=-+<.当1x >时，令()ln g x =x-x ， 则1()10g x x'=-<在(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)1g x g <=-，即ln 1x x <-， 所以221()ln 1f x x mx x mx mx x+m ⎛⎫=++<+= ⎪⎝⎭， 故当1x >且1x m>-时，()0f x <.当02e m -<<时，有21e m-<<-， 所以函数()f x 有2个零点.综上所述：当2em <-时，函数()f x 没有零点； 当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点； 当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）6cos 8sin ρθθ=-，（2 【解析】（1）利用22sin cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普通方程，再运用 cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为222(3)(4)5x y +=-+， 即22680x x y y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，代入上式得6cos 8sin ρθθ=-.（2）直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），将2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22680x x y y -++=，整理得280t +-=，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，128t t =-，1832500∆=+=>， 因为1t ，2t 异号，所以1212121111||||8t t PM PN t t t t -+=+===.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--. （1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥； （2）当12x ≥时，不等式2()4f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当2a =时，不等式()3f x x ≥，即为|224||3|x x x -+-≥， 当4x ≤-时，由4223x x x --+-≥，得3x ≤-，所以4x ≤-， 当41x -<<时，由4223x x x ++-≥，得20≥，所以41x -<<，当1x ≥时，由4223x x x +-+≥，得32x ≤，所以312x ≤≤， 故不等式()3f x x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）当12x ≥时， 22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+， 由2|2|ax x x -≤+，得2211x a x x x-+-≤≤++，当12x ≥时，由基本不等式得211x x++≥，当且仅当2x x=，即x = 因为函数21y x x =-+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以当12x =时，21y x x=-+-取最大值为52，故实数a 的取值范围是512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.。

2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题一、单选题1．设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A ．1或-1B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】 ∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选：B 【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==.本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】A【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 【考点】等比中项.4．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,23)-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程为22916x y λ-=，将点(3,23)-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2916=+，本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,,．由题意知．．．故D 正确．【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A ．(sin 2)sin f x x = B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】 A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，，可得，，①，② 由①②得，的周长为，故选C. 8．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形 【答案】D【解析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3131'3'cos sin 3''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC V 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 【考点】三视图10．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2019πB ．42019π C ．22019πD ．4038π【答案】C【解析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】 解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F BC ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．202⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭，C ．30⎛ ⎝⎭，D ．60⎛ ⎝⎭， 【答案】A【解析】分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出．【详解】 如图所示，线段FC 的垂直平分线为：211bx --=，线段BC 的中点122b ⎛⎫⎪⎝⎭，．∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， 把211b x m --==代入上述方程可得：221b b y n --==．∵0m n +>，2221110b b b ----．化为：21b b -01b <<， 解得212b <． ∴22102c e c b a ⎛- ⎝⎭==，． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12．设()()22D 22x x a e aa =-+-+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A ．2B ．3C ．21+D ．31+【答案】C【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值. 详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ =+=，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案． 【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤， 则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-=【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 点D 在直线l 的下方，则22102tt -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为：()()22445x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π 【解析】5和角度关系，分析即可解决． 【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=∴A 'F 2251R OF -=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =--=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16．已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=Q ，3R =2sin sin sin a b cR A B C∴=== 23a A ∴=，3c C =)233 23sin sin 23sin sin 23sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203A π<<Q 5666A πππ∴<+<36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦1sin 1x Q -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。

河北省衡水中学高三数学（文）试题一、选择题1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为4．已知平面向量和的夹角为，则（）A. B. C. D.5．设等差数列的前项和为，已知，若，则（）A. B. C. D.6．如图，网络纸上小正方形的长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）A. B. C. D.9．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A. 41m q元 B. 51m q元 C.411m q qq元 D.511m q qq元10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A. B. C. D.11．已知符号函数那么的大致图象是（）A. B. C. D.12．已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为__________．14．实数满足则目标函数的最大值为__________．15．如果圆上总存在到原点的距离的点，则实数的取值范围是__________．16．已知三棱锥的体积为底面，且的面积为，三边的乘积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题17．如图，在△中，为边上一点，，已知，．（1）若△是锐角三角形，，求角的大小；（2）若△的面积为，求边的长．18．参加衡水中学数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行统计，得到如下数据和散点图：定价（元/）年销售（参考数据：）（I）根据散点图判断，与，与哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（II）根据（I）的判断结果有数据，建立关于的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）；（III）定价为多少元/时，年利润的预报值最大？附：对一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.19．如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且. （I）证明：平面平面；（II）求三棱锥的体积.20．已知椭圆的一个焦点为，左，右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（I）求椭圆的方程；（II）记与的面积分别为和，求的最大值.21．已知函数.（I）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；（II）若函数在区间内无零点，求实数的最小值.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆的圆心，半径．（1）求圆的极坐标方程；（2）若点在圆上运动，点在的延长线上，且，求动点的轨迹方程．23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求不等式的解集；（II）若存在，使得，求实数的取值范围.河北省衡水中学高三数学（文）试题（解析版）一、选择题1．已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，所以，选C.【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数在复平面内对应的点为，得，即，故选 B.3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为【答案】D【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%；男生中不喜欢理科的有40%．故选C．4．已知平面向量和的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,又，，，，选D.5．设等差数列的前项和为，已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】国为为等差数列，，，所以,所以k=7.选B.6．如图，网络纸上小正方形的长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形形成的，故7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得函数的最小正周期，则，当时，，。