(完整版)高中数学选修2-2综合测试题及答案

一、选择题1．已知函数x y a =（1a >）与log ay x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1e 1e a << B ．1e a <<C ．1e e e a <<D ．e a >2．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或154．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <6．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-7．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） A 23B 3C 33D 3 9．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,)π-∞-C ．(,)2π-∞-D ．(,)π-∞10．若函数1()21xf x e x =--(e 为自然对数的底数)，则()y f x =图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f >12．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数()2e 2=++xf x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________．14．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．15．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．16．已知函数()2xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．321313y x x x =--+的极小值为______． 18．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．19．设()22,0ln ,0x mx x f x x mx x ⎧-+<=⎨->⎩，若方程()f x x =恰有三个零点，则实数m 的取值范围为______.20．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()4ln f x x x =根的个数． 22．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+()0a ≠.（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()00121f x x >-+，求a 的取值范围.23．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；24．已知函数()2(1)xf x x e ax =--，（a R ∈）．（1）若12a =，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 25．设函数()ln 1x f x x+=， （1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 26．已知函数()22x bg x ax +=+，()1,1x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b的值，并解答后面的问题.①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=；②已知函数()()0,1xf x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4③已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数.（1）证明()g x 在()1,1-上的单调性； （2）解不等式()()120g t g t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 将问题转化为()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln xa x=有两解，再构造新函数()ln xf x x=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】因为函数()()1,log 1xa y aa y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln xa x=有两解， 令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 大致图象如下图所示：所以()10ln a f e e<<=，所以11e a e <<， 故选：A. 【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系： 已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数. 2．B解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．C解析：C 【分析】 由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.4．C解析：C 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.5．C解析：C 【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确；令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.6．B解析：B 【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集． 【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 7．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C8．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得2303h R <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当23h =时，圆柱的体积最大.故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.9．A解析：A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+，因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立， 即()h x 在[)0,+∞单调递减；又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数. 由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又()cos 22f x x π+>--，即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故22x ππ+<，则0x <.故选：A . 【点睛】本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.10．C解析：C 【分析】代入特殊值()10f <可判断,A B 选项，记()21x g x e x =--，结合函数单调性可得当x →+∞时，()0f x >，从而可选出正确答案.【详解】记()21x g x e x =--，则有()2x g x e '=-， 当ln 2x <时，()20x g x e -'=<，()g x 是减函数，当ln 2x >时，()20x g x e -'=>，()g x 是增函数，因为()130g e =-<，所以()10f <，排除,A B 选项；()2250g e =->，所以当x →+∞时，()0>g x ，即x →+∞时，()0f x >，则D 错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于中档题.11．B解析：B 【分析】构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+， 又()10f x '+<，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=， 所以()(1)g e g <，即()0f e e +<， 所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．C解析：C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax fxx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=， 若()f x 在()1,3上不单调， 令2241g xax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.二、填空题13．【分析】原不等式可化为当时该不等式恒成立当时不等式可化为从而构造函数求导并判断单调性可求出令即可【详解】由题意不等式可化为当时恒成立；当时不等式可化为令则求导得所以在上单调递减在上单调递增所以则综上 解析：(3,e ⎤-∞⎦【分析】原不等式可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2x a x ≥-，从而构造函数()e 2xg x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可.【详解】由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，()e 2xa x ≥-恒成立；当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-， 令()e 2xg x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，求导得()()()2e 32x x g x x -'=-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，所以()()3min 3e g x g ==，则3e a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是(3,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(3,e ⎤-∞⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为e 2xa x ≥-，通过构造函数()e 2xg x x =-，令()min g x a ≥，可求出a 的取值范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln2,)-+∞【分析】把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2x f x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20x f x e '=-=，解得ln 2x =， 所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞， 所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln 2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln2,)-+∞. 故答案为：(22ln2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立， 所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数， 所以()230xg x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，即23xe a x ≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，令2()3xe h x x=，所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e，所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求导根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为计算得到答案【详解】则当和时函数单调递增；当时函数单调递减故函数极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求极值意在考查学生的计算能力和应 解析：8-【分析】求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为()3f ，计算得到答案. 【详解】()321313y f x x x x ==--+，则()()()2'2331f x x x x x =--=-+， 当()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，函数单调递增； 当()1,3x ∈-时，()'0f x <，函数单调递减， 故函数极小值为()32313333183f ⨯--⨯+=-=. 故答案为：8-. 【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．【分析】将问题转化为与图像交点个数有3个的问题利用导数研究函数单调性和最值数形结合即可求得结果【详解】当时等价于；当时等价于；令则方程恰有三个零点等价于与直线有三个交点当时则令解得故该函数在区间单调 解析：221m <-【分析】将问题转化为()2,0,0x x xh x lnx x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩与1y m =+图像交点个数有3个的问题，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果. 【详解】当0x <时，22y x mx x =-+=，等价于21x m x+=+； 当0x >时，y lnx mx x =-=，等价于1lnxm x=+； 令()2,0,0x x xh x lnx x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则方程()f x x =恰有三个零点，等价于()y h x =与直线1y m =+有三个交点. 当lnx y x =时，则21lnx y x-='，令0y '=，解得x e =， 故该函数在区间()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减. 且x e =时，1y e=；又x e >时，0y >； 而当2y x x=+时，由对勾函数性质，容易知： 当2x =-时，函数取得最大值22y =-. 故()h x 的图像如下所示：数形结合可知，要满足题意，只需122m +<-， 解得221m <-. 故答案为：221m <-. 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合中档题.20．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函 解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围. 【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-， 当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得x =，且1>-<①当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数， ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数， ③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩， 解得15a ≤≤. 故答案为：15a ≤≤. 【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.三、解答题21．（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3． ∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，140g x g ≤=-<， 当3x >时，()55553ee202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定.22．（1）答案见解析；（2）⎛⎫⎪+∞⎪⎭. 【分析】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；（2）由（1）知()00g x =，即202210ax ax +-=，()20012a x x =+，先求得01x ，进而可得答案即可.【详解】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点， 故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为12x =-，若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，()f x 在()1,-+∞有两个极值点；若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+……（*） 由0a >且010x +>得00x >，又∵()()00121f x x >-+，∴()()20001ln 121ax x x -+>-+代入（*）式，()()()00001ln 12121x x x x -+>-++， 即()01ln 102x -+>解得01x <，∴001x <<， ∴.()20012a x x ⎛⎫⎪=∈+∞⎪+⎭. 【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查fx 在0fx的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 23．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞. 【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果. 【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x ah x x x x x+'=+=>， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>；()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-， 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2at x x x'=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200ax x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，()2max21x x -+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 24．（1）极大值是112e-，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【分析】（1）()()2112xx f x e x =--，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()xf x e a '=-，讨论a 的范围得解 【详解】 （1）当12a =时，()()2112xx f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()12f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x e g x x-=()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x xx e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0xf x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10xf x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题25．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题（1）根据题意可得，()2f e e=， ()2ln 'xf x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e =-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥，所以()12g x ax x-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增， 所以()()10g x g ≥=， 所以不等式()()21a x f x x->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减，21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+，()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-<⎪⎝⎭，所以存在10g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以102a <<不符合题意； ②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤26．选法见解析；2a =，0b =；（1）证明见解析；（2）103t <<. 【分析】（1）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到2a =，0b =，再求导证明单调性.（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案. 【详解】（1）①由()()220f x f x -++=得()f x 对称中心为()2,0即得2a =，0b =； ②(i )当1a >时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a --=， 得2a =，0b =；(ii )当01a <<时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；③由()24f x x ax =-+得()()2125f x x a x a +=+-+-，因为()1f x +在[]1,1b b -+上是偶函数，则202a -=，且()()110b b -++=， 所以2a =，0b =； 由①或②或③得()222xg x x =+，()1,1x ∈-，()()222121x g x x -'=+， 由11x -<<得()0g x '>，则()g x 在()1,1-上单调递增. （2）因为()()222xg x g x x --==-+，则()g x 为奇函数.由()()120g t g t -+<即()()21g t g t <-又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则121,111,21,t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩解得103t <<.【点睛】本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z1，z2∈C，则z1z2＋z1z2是()A．纯虚数B．实数C．虚数D．不能确定解析：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1z2＋z1z2＝(a＋b i)(c－d i)＋(a －b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案：B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3(m－3)2＝－1，m2－3m－3(m－3)2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案：B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案：B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析： 后一种化合物应有4个C 和10个H ， 所以分子式是C 4H 10. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ， ∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ，∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0.∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4.∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ①(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明： 已知a >b >c ，因为a －ca －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 22(x －1)，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )． 因为f (x )＝x 22(x －1)，所以a ＝a 22(a －1).又a >1，所以a ＝2(a －1)，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，由(1)知a n ＝2.当a ≠2时，因为a 1＝a ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2(a n －1)，所以a 2＝a 212(a 1－1)＝a 22(a －1).所以a 2－2＝a 22(a －1)－2＝a 2－4a ＋42(a －1)＝(a －2)22(a －1)>0，即a 2>2.因为a 3－2＝a 222(a 2－1)－2＝(a 2－2)22(a 2－1)>0，所以a 3>2.猜想当n ≥2时，a n >2. 下面用数学归纳法证明：①n ＝2时，a 2>2，显然猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k >2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a 2k2(a k －1)，所以a k ＋1－2＝a 2k －4a k ＋42(a k －1)＝(a k －2)22(a k －1).由a k >2，知a k ＋1－2>0，所以a k ＋1>2.根据①和②可知，当a ≠2时，对于一切不小于2的正整数n 都有a n >2.综上所述，当a ＝2时，a n ＝2；当1<a <2时，a 1<2，a n >2(n ≥2)；当a >2时，a n >2.模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 求出复数z ，再确定z 对应的点的坐标．∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 答案： D2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析： 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．答案： B3．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析： 推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0<a <1时，y ＝a x 是减函数；当a >1时，y ＝a x 是增函数．答案： A4．若复数z ＝1＋b i2＋i (b ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数z 的共轭复数是( )A ．35iB ．－35iC ．iD ．－i解析： 因为z ＝1＋b i 2＋i ＝(1＋b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2＋b 5＋2b －15i 是纯虚数，所以2＋b ＝0且2b －1≠0，解得b ＝－2.所以z ＝－i ，则复数z 的共轭复数是i. 答案： C5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．② C ．③D ．①②③解析： 三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．答案： B6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析： 由题意知f ′(－1)＝0，当x <－1时f ′(x )<0，当x >－1时f ′(x )>0， ∴当x <－1时，x ·f ′(x )>0， 当－1<x <0时，x ·f ′(x )<0， 当x >0时，x ·f ′(x )>0. 答案： B7．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2且a >1，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析： ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a ＝2. 答案： A8．观察式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出一般式子为( )A ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜12n －1(n ≥2)B ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n ＋1n (n ≥2)C ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n －1n (n ≥2)D ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n2n ＋1(n ≥2)解析： 由合情推理可得． 答案： C9．在平面内有n (n ∈N ＋，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (9)等于( )A ．18B ．22C ．37D ．46解析： f (3)＝7， f (4)－f (3)＝4， f (5)－f (4)＝5， …f (n )－f (n －1)＝n . 以上各式相加： ∴f (n )＝7＋4＋5＋…＋n∴f (9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋6×(4＋9)2＝46.答案： D10．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2 解析： 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， ∴y 0＝0.∴x 0＝－1.∴a ＝2. 答案： B11．定义复数的一种运算z 1* z 2＝|z 1|＋| z 2 |2 (等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A ．92B ．322C ．32D ．94解析： z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94， ∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案： B12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 由题意知g (x )＝f xx 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0，∵f (x )是R 上的奇函数， ∴g (x )是R 上的偶函数． f (x )x的草图如图所示： 由图象知：当x >1时，f (x )>0，当－1<x <0时，f (x )>0.∴不等式f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析： 根据题意先求出P ，Q 的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点． 因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P ，Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0， 将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 答案： －414.⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝________.解析： ⎠⎛011－x 2d x ＝14π，⎠⎛01x d x ＝12x 2| 10＝12－0＝12， ∴⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝14π＋12.答案： 14π＋1215．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632. 答案： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 63216．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m 要使f (x )是R 上的单调函数， 需使Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.答案： m ≥13三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使得az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 解析： 由z ＝1＋i ，可知z ＝1－i ，代入az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得a (1＋i)＋2b (1－i)＝[a ＋2(1＋i)]2，即a ＋2b ＋(a －2b )i ＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝(a ＋2)2－4，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析： 当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n <(n ＋1)n . 证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k <(k ＋1)k ；那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1<(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)<(k ＋2)k ＋1＝[(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边<右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n ∈N *都成立．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ， 所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a <1，f ′(－1)·f ′(1)<0，解得－12<a <12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 21．(本小题满分13分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解析： (1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104， ∴P ＝25×104x ＝500x， ∴总利润L (x )＝x ·500x －1 200－2x 375＝－2x 375＋500x －1 200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，所以当产量定为25时，总利润最大． 这时L (25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元． 22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[－a,1]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0. ∴－a3≤1且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.(2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2＋8x －3＝0得x ＝13或x ＝－3.∵f (－4)＝12，f (－3)＝18，f ⎝⎛⎭⎫13＝－1427，f (1)＝2， ∴f (x )在[－a,1]上的最大值是f (－3)＝18.(3)若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0， ∴b >－7且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．。

一、选择题1．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞-B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e3．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞4．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或155．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞6．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()+∞7．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A ．3R B ．3R C ．2R D ．2R 11．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．012．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．12二、填空题13．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.16．已知函数()2xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______. 18．函数()ln xf x x=在(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围为______. 19．已知在正四棱锥P ABCD -中，4PA =，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于______.20．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.23．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围． 24．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以当1x =时，()0h x '=； 当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.3．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.5．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.6．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.7．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.8．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9．B解析：B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()212g x f x x =-， 则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-， 故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<， 令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即当23h =时，圆柱的体积最大. 故选：A .【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.11．D解析：D【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D .【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x '-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33 【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值.【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增，(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33故答案为：33【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论 解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230x g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 令2()3xe h x x=， 所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ， 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的 解析：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可.【详解】解：()321213f x x x ax =+-+， 可得()'222f x x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩， 可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩， 解得1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力. 18．【分析】先求出得到在上单调递增要使得在上单调递增则从而得到答案【详解】由函数有由得得所以在上单调递增在上单调递减又函数在上单调递增则则解得：故答案为：【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性求参数的范 解析：[]0,1e -【分析】先求出()21ln x f x x-'=，得到()f x 在()0e ，上单调递增，要使得在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆，，从而得到答案.【详解】由函数()ln x f x x =有()()2ln 1ln 0x x f x x x x -'==> 由()0f x '>得0x e <<，()0f x '<得x e >.所以()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又函数()ln x f x x =在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆， 则01a a e≥⎧⎨+≤⎩ ，解得：01a e ≤≤-.故答案为：[]0,1e -【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性，求参数的范围，属于基础题.19．【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积【分析】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系，进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数，判断单调性，由单调性即可求得最值，并求得取最值时的高h 的值.【详解】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，因为4PA =，所以22162a h +=， 即22322a h =-，所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333V a h h h h ==->， 可得232'23V h =-，令'0V =，解得h =当03h <<，可得'0V >，可知V 在03h <<内单调递增，当h >'0V <，可知V 在h >所以当h =P ABCD -的体积取得最大值，即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了正四棱锥的性质与应用，四棱锥的体积公式，利用导数求函数的最值及取最值时的自变量，属于中档题.20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++， 即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>， 即为()()()lg lg 22f x f x f +->， 即有()()lg 2f x f >， 可得()()lg 2f x f >， 即有lg 2x >，即lg 2x >或lg 2x <-，解得100x >或10100x <<， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-，sin 0x ∴<，()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增， 又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上必存在一个零点； 综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞.【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231x f x e x x a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负，∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.23．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x ≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围.【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<； ∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g =； 函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =.（2）由（1）知431()4f x x x =-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即 2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,5x =， 当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增， 则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 24．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意；当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22a x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立. 综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln a m x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -， 直线370x y +-=的斜率为13-， 由垂直直线的斜率关系可知232a -=， 解得2a =-.（2）21(),()ln 2f x xg x a x ==， 则(),()a f x x g x x '='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减， 只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-.综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+． 令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。