高中数学 全称量词

1.5全称量词与存在量词【知识要点】1.一、全称量词命题与存在量词命题及其真假判断 1.下列不是”3,2>∈∃x R x ”的表述方法的有（ ） A.有一个R x ∈，使得32>x 成立 B.对有些R x ∈，32>x 成立C.任选一个R x ∈，都有32>x 成立D.至少有一个R x ∈，使得32>x 成立 2.下列命题是全称量词命题的有（ ） A.有些实数没有倒数 B.所有矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 3.下列命题为真命题的是（ ）A.∀R x ∈，0412≥+-x xB.所有的矩形都是正方形C.∃R x ∈，0222≤++x xD.∃R x ∈，012=+x4.在下列命题中，真命题有（ ） A.03,2=++∈∃x x R xB.12131,2++∈∀x x Q x 是有理数C.10y 23,,=-∈∃x Z y x 使D.01,23≤+-∈∀x x R x5.下列命题为真命题的是（ ）A.设A,B 为两个集合，若B A ⊆,则对任意A x ∈，都有B x ∈B.设A,B 为两个集合，若A 不包含于B,则存在A x ∈，使得B x ∉C.}{是无理数，数是无理2|x y y x ∈∀D.}{是无理数，数是无理3|x y y x ∈∃6.下列命题为真命题的是（ ）A.所有平行四边形的对角线都互相平分B.若x,y 是无理数，则xy 一定是有理数C.若m<1，则关于x 的方程022=++m x x 有两个负根D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比7.指出下列命题中，那些是全称量词命题，那些是存在量词命题，并判断其真假. (1)存在一个四边形不是平行四边形；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x 轴交点； (3)每个二次函数的图象都有最低点； (4)矩形有一个外接圆.二、全称量词命题与存在量词命题的否定及其真假判断 1.已知命题p ：为则p ,1,12⌝≤<∃x x （ ）A.1,12>≥∀x xB.1,12><∃x xC.1,12><∀x xD.1,12>≥∃x x2.已知:①01,2>++∈∀x x R x ；②不存在实数x ，使得013=+x ；③n n R n ≥∈∀2,；④至少有一个实数x ，使得013=+x .以上命题的否定为真命题的是__________.3..写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)命题p:}{0|≥∈∃x x x ，012>+-kx x ; :p ⌝_______________________________________________________________( ）. (2)命题p:021,<-∈∀x R a ，则:p ⌝_______________________________________________________________( ）.(3)命题q:梯形的内角和是 360; :q ⌝________________________________________________________________( ）. (4)命题q:R a ∈∀，二次函数a x y 792+=的图象关于y 轴对称; :q ⌝________________________________________________________________( ）.三、全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用1.已知命题p ：08,2=++∈∃a x x R x 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.0<a<4 B.a>16 C.a<0 D.a ≥42.若”}{31|≤≤∈∃x x R x ,2x+a ≥0”为假命题，则实数a 的取值范围为_________.3.命题”}{31|≤≤∈∀x x x ，032≥-a x ”为真名命题的一个必要不充分条件是（ ） A.a ≤4 B.a ≤2 C.a ≥3 D.a ≤04.命题“[]0,1,22>---∈∃a x x x ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A.a ≤41B.a ≤0C.a ≥6D.a ≤8 5.已知命题p ：044,2=--∈∃x x R x 是真命题，则实数a 是( )A.-2B.-1C.0D.36.若“[]0,1,4>--∈∃a x x ”为假命题，则a 的取值可以为（ ）A.5B.3C.1D.-17.已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实数根；命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实数根.(1)若命题p ⌝为真，求实数m 的取值范围；(2)若命题p ，q 中有且仅有一个为真一个为假，求实数m 的取值范围8.已知命题p:}{21|≤≤∈∀x x x ，02≥-+a x x ，命题q:03,2=-+∈∃a x x R x . (1)当p 为假命题时，求实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围.。

探究2 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法： (1)对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”： ①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立； ②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可 (通常举反例)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，p(x)”： ①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(通 常举正例)． ②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
(2)求解含有量词的命题中参数范围的策略： ①对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等 式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． ②对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等 式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．
要点3 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 全称量词命题：∀x∈M，p(x)， 它的否定：∃x∈M，綈p(x)．
(2)存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)， 它的否定：∀x∈M，綈p(x)．
(3)对全称量词命题与存在量词命题的否定要注意以下两点 ①解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时 应先将命题写成完整形式，再写出其否定形式． ②要注意命题的否定形式不唯一．
思考题2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∃x∈R，使得x2＋1<0. 【解析】 (1)是全称量词命题，(2)(3)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是 一一对应的，所以该命题是真命题． (2)真命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除． (3)对任意x∈R，x2＋1>0，所以命题(3)是假命题．

1.5.1 全称量词与存在量词
[跟进训练]
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数 m 的
取值范围是( )
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B [命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 Δ＜0，即 m＞
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题
的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个 60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于 0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
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(5)存在一个实数 x，使等式 x2＋x＋8＝0 成立．
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[解] (1)真命题，因为 x2≥0，
所以 x2＋1≥1，x2＋1>12恒成立． (2)真命题，例如 α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4 等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不
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[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程 ax＋b＝0 恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x 既能被 2 整除，又能被 3 整 除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y 是四边形}，x 不是平行四边形．

聚焦全称量词与存在量词该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；会正确的写出这两类命题的否定；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示。

一、要点梳理1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

2．全称命题与特称命题（1）全称命题：含有全称量词的命题。

“对∀x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”。

（2）特称命题：含有存在量词的命题。

“∃x∈M，有p（x）成立” 简记成“∃x∈M，p （x）”。

3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。

4．常见词语的否定如下表所示：二、范例点悟例1 判定下列命题的真假： （1）3,0x Z x ∃∈<； （2）4,1x N x ∀∈≥。

分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合M 中至少找到一个x =x 0值，使P （x 0）成立；否则，这一命题为假。

要判定一个全称命题真，必须对限定集合M 中的每一个x 验证P （x ）成立；但要判定全称命题假，只要能举出M 中一个x =x 0，使P （x 0）为假。

解析：（1）∵1Z -∈，当1x =-时，能使30x <， ∴命题“3,0x Z x ∃∈<”是真命题。

（2）∵0N ∈，当0x =时，41x ≥不成立， ∴命题“4,1x N x ∀∈≥”是假命题。

评注：应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法。

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假： （1） 每一个素数都是奇数； （2） 某些平行四边形是菱形； （3）:p 21,04x R x x ∀∈-+≥； （4）2:,220r x R x x ∃∈++≤。