高中数学 量词课件

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三、解答题 6．用符号“∀”与“∃”表示下列命题，并判断真假． (1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根； (2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0. [解析] (1)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根． 当m＝－1时，方程无实根，是假命题． (2)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0，
∵x
2
12 15 ＋x＋4＝x＋2 ＋ 4 >0，
∴不存在 x∈R，使 x2＋x＋4≤0，是假命题．
存在性命题“∃x∈A，p(x)” ①存在x∈A，使p(x)成立； ②至少有一个x∈A，使 p(x)成立； ③对有些x∈A，使p(x)成 立； ④对某个x∈A，使p(x)成 立； ⑤有一个x∈A，使p(x)成 立.
表 述 方 法
• 设集合 S ＝ { 三角形 } ， p(x) ：“内角和为 180°”．试用 不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”． • [解析] 对所有的三角形x，x的内角和为180°； • 对一切三角形x，x的内角和为180°； • 每一个三角形x的内角和为180°； • 任一个三角形x的内角和为180°； • 凡是三角形，它的内角和为180°.
• 4．要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中， p(x0) 成立即可．否则，这一存 能够找一个x＝x0，使 在性命题为假．
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[例1] 判断下列全称命题的真假： (1)所有的质数是奇数． (2)∀x∈R，x2＋1≥0. (3)对任何一个无理数x，x2也是无理数．
[解析]
(1)假；2 是质数，但不是奇数．
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一、选择题 1．下列命题中是存在性命题的是 A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 [答案 •
2．下列全称命题中真命题的个数为 ( ①末位是0的整数，可以被2整除． ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ③正四面体中两侧面的夹角相等． A．1 B．2 C．3 D．0 [答案] C
• 1 ．短语“所有”在陈述句中表示所述事物的全体，逻 辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“ ∀ ”表示，含有 全称量词的命题，叫做 全称命题 ． • 2 ．短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈 述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫 做存在量词 ，并用符号“ ∃ ”表示，含有存在量词 的命题，叫做 存在性命题 ． • 3．要判定一个全称命题为真，必须限定集合M中的每一 个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明，要 判定一个全称命题为假，只须 举一个反例 即可．
• (2)假．因为垂直于同一平面的两直线平行，所以不存在 两条相交直线垂直于同一平面． • (3)真．因为全等三角形一定是相似三角形，所以当两个 相似三角形是全等三角形时对应边相等． • [说明] 要判定一个存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命 题，只需在集合 M 中找一个元素 x0 ，使 p(x0) 成立即可， 如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，那么这个 存在性命题为假命题．
(2)真；∀x∈R，都有 x2≥0，所以 x2＋1≥0 成立． (3)假； 2是无理数，但( 2)2＝2 是有理数．
• [说明] 要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需 要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集 合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全 称命题为假命题．
[例2] 判定下列存在性命题的真假： (1)存在一个实数x，使x2＋x＋1＝0. (2)存在两条相交直线垂直于同一平面． (3)存在相似三角形对应边相等．
2
[ 解析]
(1) 假．因为 ∀ x∈R ， x
1 2 3 ＋ x ＋ 1 ＝x＋2 ＋ 4
3 ≥4，所以使 x2＋x＋1＝0 的实数 x 不存在．
• 本节重点：理解全称量词与存在量词的概念． • 本节难点：判断全称命题与存在性命题的真假．
• 1 ．用集合的观点看，全称命题就是陈述某集合所有元 素都具有某种性质的命题，是全体都具有的性质．而存 在性命题是陈述在某集合中一些元素具有某种性质的命 题，是指个体具有的性质． • 2 ．全称命题、存在性命题就是含有全称量词、存在量 词的命题，学会自然语言与符号语言的转化． • 3 ．同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法．
• (2010·湖南文，2)下列命题中的假命题是( • • • •
)
A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0 [答案] C [ 解析 ] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判 断． • 对于选项C，∀x∈R，x3≥0，故C是假命题.
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[规律方法] 同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不 同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.
命 题
全称命题“∀x∈A，p(x)” ①所有的x∈A，p(x)成 立； ②对一切x∈A，p(x)成 立； ③对每一个x∈A，p(x) 成立； ④任选一个x∈A，p(x) 成立； ⑤凡x∈A，都有p(x)成
• 1．知识与技能 • 理解全称量词、存在量词以及全称命题、存在性命题， 并能判断命题的真假． • 2．过程与方法 • 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量 词的意义． • 3．情感态度与价值观 • 通过本节的学习认识到两种命题在刻画现实问题、数学 问题中的作用，从而激发学生的创新精神．
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判断下列存在性命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)∃x∈Q，x2＝5. [ 解 析 ] (1) 由 于 － 1∈Z ， 当 x ＝ － 1 时 ， 能 使 x3<1 成 立．所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)由于使 x2＝5 成立的数只有± 5，而它们都不是有 理数．因此，没有任何一个有理数的平方等于 5.所以命题 “∃x∈Q，x2＝5”是假命题．
• [例3] 试用不同的表述写出全称命题“矩形都是平行四 边形．” • [解析] 对所有的矩形x，x都是平行四边形； • 对一切矩形x，x都是平行四边形； • 每一个矩形x都是平行四边形； • 任一个矩形x都是平行四边形； • 凡是矩形x都是平行四边形． • 设集合 S ＝ { 矩形 } ， p(x) ： “ x 是平行四边形 ”． 则命题 为“∀x∈S，p(x)”．
)
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二、填空题 5．给出下列命题： ①所有的单位向量都相等； ②对任意实数x，均有x2＋2>x； ③不存在实数x，使x2＋2x＋3<0. 其中所有正确命题的序号为________． [答案] ②③
[解析]
单位向量的方向不一定相等，故①错误；由 x2
12 7 －x＋2＝(x－2) ＋4>0 知，∀x∈R，x2＋2>x 成立；∀x∈R， x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0；故②③正确．
)
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3．在下列存在性命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A [ 解析 ] 因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数 为0.
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4．下列命题中是真命题的是 ( A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z [答案] B [解析] 当x＝1时，3x＋1＝4是整数，故选B.