高中数学 全称量词与存在量词

感悟“全称量词与存在量词”全称量词与存在量词是《课程标准》中新增加的内容，是现实生活世界中经常使用的两类量词，它可以更好地帮助同学们学习与掌握数学逻辑知识。

但学习这部分知识有一定难度，需要同学们从生活和数学中的一些实例来进行理解与领悟，本文对该部分内容作一阐释，供参考。

一、要点点拨1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

2．全称命题与存在性命题（1）全称命题：含有全称量词的命题。

“x Mp x”。

∀∈，()（2）存在性命题：含有存在量词的命题。

“x Mq x”。

∃∈，()3．同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，在应用中应灵活选择。

4．对于全称命题和存在性命题进行否定时，要仔细推敲。

从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题。

常见词语的否定如下：二、范例剖析例1 下列语句是不是全称或者存在性命题： （1）有一个实数a ，a 不能取对数； （2）所有不等式的解集A ，都有A R ⊆； （3）三角形都是周期函数吗？ （4）有的向量方向不定。

分析：利用全称量词与存在量词的概念来判断。

解析：（1）存在性命题； （2）全称命题； （3）不是命题； （4）存在性命题。

评注：（3）由于不是命题，当然就不是全称或者存在性命题了。

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p ：x R ∀∈，2104x x -+≥； （2）q ：所有的正方形都是矩形； （3）r ：x R ∃∈，2220x x ++≤。

分析：（1）、（2）是全称命题，其否定应为存在性命题；（3）是存在性命题，其否定应为全称命题。

解析：（1）p ⌝：x R ∃∈，2104x x -+<，假命题。

全称量词和存在量词预习导学基础梳理．全称量词与全称命题．语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．．存在量词和特称命题．语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．．全称命题的否定．般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．称命题的否定是特称命题．．特称命题的否定．般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．称命题的否定是全称命题．,►自测自评．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．随堂巩固．下列命题是特称命题的是(D)．偶函数的图象关于y轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在无理数大于等于3．有下列命题：1)所有的素数是奇数；2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；3)有的无理数的平方是无理数；4)∃x0∈R，使2x20＋x0＋1＝0；5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；6)∃x 0∈R ，x 20≤0.中是真命题的为________________(填序号)．案：(2)(3)(6)．给下列四个结论：“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．中正确结论的序号是______．案：③④．判断下列命题的真假．1)有的正方形不是矩形；2)有理数是实数；3)存在一个数，它的相反数是它本身；4)∀x ∈N ，x 2＞0；5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；2)是真命题，所有的有理数都是实数；3)是真命题，0的相反数就是它本身；4)是假命题，自然数0的平方不大于0；5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立； 6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0. ．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围． 析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4， 4x －2x ＋1＋2－a ＜0，化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1， 命题p 等价于∀t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1. t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10， 以只须a ＞10，即可得p 为真命题，所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．课时达标．下列是全称命题且是真命题的是(B)．∀x∈R，x2＞0．∀x∈Q，x2∈Q．∃x∈Z，x20＞1．∀x，y∈R，x2＋y2＞0．下列命题中，真命题是(A)．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)，f(x)是偶函数．∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．A对，B、C、D错．故选A.．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0”的否定是(C)．∃x0∈R，x20＋4x0＋5＞0．∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C)．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称．下列命题中的真命题是(D)．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x．∃x0∈R使得x20＋x0＝－1．∀x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)．∃x0∈R，f(x)≤f(x0)．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是__________________________． 案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. ．有以下三个命题：∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x .中正确命题为______(填序号)．析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；为假，sin x ＞cos x .案：②．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 案：[－8，＋∞)0．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 1．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：1)直线与x 轴都有交点；2)正方形都是菱形；3)梯形的对角线相等；4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2. p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．体验高考．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(D)．∀x0∉R，x20≠x0．∀x0∈R，x20＝x0．∃x∉R，x20≠x0．∃x0∈R，x20＝x0．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为(B)．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1．∀x＞0，总有(x＋1)e x0≤1．∀x≤0，总有(x＋1)e x0≤1析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)e x＞1”改为“(x0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1”，故选B.．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(A)．存在x0∈R，使得x20＜0．对任意x∈R，都有x2＜0．存在x0∈R，使得x20≥0．不存在x∈R，使得x20＜0．(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B ) ．p ∧q B ．綈p ∧q．p ∧綈q D ．綈p ∧綈q析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题． 上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。

第10讲：全称量词与存在量词【课程目标】1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.了解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．【知识梳理】知识点：全称量词和存在量词【考点解读】考点一：全称量词与存在量词命题的识别 例1．用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立； （3）存在实数x ，使得32x x >.一偶三反1：下列命题中，存在量词命题的个数是（ ） ①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存在整数n ，使n 能被11整除. A ．1 B ．2 C ．3 D ．0一偶三反2：给出下列命题：①存在实数01x >，使201x >；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使210ax ax -+=的根为负数.其中存在量词命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4一偶三反3：下列命题不是存在量词命题的是（ ） A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．在实数范围内，有些一元二次方程无解D ．有一个m 使2m -与||3m -异号考点二：全称量词与存在量词命题真假判断例2．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使12x>一偶三反1：下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等C ．x R ∀∈xD ．正方形是矩形一偶三反2：下列四个命题，真命题的是（ ） A ．2,10x Q x ∀∈-= B ．,510x Z x ∃∈-= C ．,143x N x ∃∈<<D ．2,20x R x x ∀∈++>一偶三反3：下列四个命题中真命题的是（ ） A ．,033x Z x ∃∈<< B ．,410x Z x ∃∈+= C ．2,40x R x ∀∈-=D ．2,60x R x x ∀∈++>考点三：含量词的命题真假求参（一）例3．若“任意1{|2x x x ∈≤≤，x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为（ ）A ．-12B ．-2C ．12D ．2一偶三反1：若命题“x R ∀∈，不等式210x ax ++≥”为真命题，则a 的最大值是（ ） A ．0 B ．2C ．52-D ．3-一偶三反2：若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a >B ．2aC ．2a >-D ．2a -一偶三反3：已知命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13a < B ．103a <≤C ．13a >D ．13a ≤考点四：含量词的命题真假求参（二）例4．已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =≤≤=+≤≤-－，（1）若命题:,p x B x A ∀∈∈是真命题，求m 的取值范围； （2）命题:,q x A x B ∃∈∈是真命题，求m 的取值范围.一偶三反1：命题:p 存在实数x ∈R ，使得方程2210ax x 成立。